圆综合练习题

OFABCDEFEDCBOACEBODFA圆综合练习题一、与圆有关的中档题：与圆有关的证明（证切线为主）和计算（线段长、面积、三角函数值、最值等）1.如图，BD为⊙O的直径，AC为弦，ABAC，AD交BC于E，2AE，4ED．（1）求证：ABEADB△∽△，并求AB的长；（2）延长DB到F，使BFBO，连接FA，判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由.2.已知：如图，以等边三角形ABC一边AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于点D、E，过点D作DF⊥BC，垂足为F．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若等边三角形ABC的边长为4，求DF的长；（3）求图中阴影部分的面积．3、如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CFAD．（1）请证明：E是OB的中点；（2）若8AB，求CD的长．4．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC=60，P是OB上一点，过P作AB的垂线与AC的延长线交于点Q，连结OC，过点C作OCCD交PQ于点D．（1）求证：△CDQ是等腰三角形；（2）如果△CDQ≌△COB，求BP:PO的值．5．已知:如图,BD是半圆O的直径,A是BD延长线上的一点，BC⊥AE，交AE的延长线于点C,交半圆O于点E，且E为DF的中点.（1）求证：AC是半圆O的切线；（2）若662ADAE，，求BC的长．6.如图，ABC△内接于⊙O，过点A的直线交⊙O于点P，交BC的延长线于点D，且AB2=AP·AD（1）求证：ABAC；（2）如果60ABC，⊙O的半径为1，且P为弧AC的中点，求AD的长.7．如图，在△ABC中，∠C=90°,AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点,以OA为半径的⊙O经过点D.（1）求证：BC是⊙O切线；（2）若BD=5,DC=3,求AC的长.8．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连结AC、OC、BC.OPDCBAOACDBABCDEOGFOQPCBAGFEDCOBA第13题图（1）求证：∠ACO=∠BCD；（2）若BE=2，CD=8，求AB和AC的长.9．如图，已知BC为⊙O的直径，点A、F在⊙O上，BCAD，垂足为D，BF交AD于E，且BEAE．（1）求证：AFAB；（2）如果53sinFBC，54AB，求AD的长．10．如图，已知直径与等边ABC的高相等的圆O分别与边AB、BC相切于点D、E，边AC过圆心O与圆O相交于点F、G。（1）求证：DEAC；（2）若ABC的边长为a，求ECG的面积.11．如图，在△ABC中，∠BCA=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点P，Q是AC的中点．（1）请你判断直线PQ与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠A＝30°，AP=23，求⊙O半径的长.12．如图，已知点A是⊙O上一点，直线MN过点A，点B是MN上的另一点，点C是OB的中点，12ACOB，若点P是⊙O上的一个动点,且∠30OBA,AB=23时，求△APC的面积的最大值．13．如图，等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10，以AC为直径作⊙O交BC于点D，交AB于点G，过点D作⊙O的切线交AB于点E，交AC的延长线与点F.（1）求证：EF⊥AB；（2）求cos∠F的值.14．（应用性问题）已知：如图，为了测量一种圆形零件的精度，在加工流水线上设计了用两块大小相同，且含有30°的直角三角尺按图示的方式测量.(1)若⊙O分别与AE、AF交于点B、C，且AB=AC,若⊙O与AF相切.求证:⊙O与AE相切；(2)在满足(1)的情况下，当Ｂ、Ｃ分别为AE、AF的三分之一点时，且AF=3，求BC的弧长.二、圆与相似综合15．已知：如图，⊙O的内接△ABC中，∠BAC=45°，∠ABC=15°，AD∥OC并交BC的延长线于D，OC交AB于E.（1）求∠D的度数；（2）求证：2ACADCE；ABCMNOPFABCDEGOEB（3）求BCCD的值.16．如图⑴，⊙O的直径为AB，过半径OA的中点G作弦ABCE，在BC上取一点D，分别作直线EDCD、，交直线AB于点MF、.⑴求COA和FDM的度数；⑵求证：FDM∽COM；⑶如图⑵，若将垂足G改取为半径OB上任意一点，点D改取在上，仍作直线EDCD、，分别交直线AB于点MF、.试判断：此时是否仍有FDM∽COM成立若成立请证明你的结论；若不成立，请说明理由。三、圆与三角函数综合17．已知⊙O过点D（4，3），点H与点D关于y轴对称，过H作⊙O的切线交y轴于点A（如图1）。⑴求⊙O半径；⑵求sinHAO的值；⑶如图2，设⊙O与y轴正半轴交点P，点E、F是线段OP上的动点（与P点不重合），联结并延长DE、DF交⊙O于点B、C，直线BC交y轴于点G，若DEF是以EF为底的等腰三角形，试探索sinCGO的大小怎样变化请说明理由。四、圆与二次函数（或坐标系）综合18、如图，⊙M的圆心在x轴上，与坐标轴交于A（0，3）、B（－1，0），抛物线233yxbxc经过A、B两点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）设抛物线的顶点为P．试判断点P与⊙M的位置关系，并说明理由；（3）若⊙M与y轴的另一交点为D，则由线段PA、线段PD及弧ABD围成的封闭图形PABD的面积是多少19．如图，在平面直角坐标系中，O是原点，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点，图1图2OxyD(4,3)AHCFEPBGOxyD(4,3)图1图2开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点P在⊙C上．（1）求∠ACB的大小；（2）写出A，B两点的坐标；（3）试确定此抛物线的解析式；（4）在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．20．（以圆为幌子，二次函数为主的代几综合题）如图，半径为1的⊙1O与x轴交于AB、两点，圆心1O的坐标为(20)，，二次函数2yxbxc的图象经过AB、两点，其顶点为F．（1）求bc，的值及二次函数顶点F的坐标；（2）将二次函数2yxbxc的图象先向下平移1个单位，再向左平移2个单位，设平移后图象的顶点为C，在经过点B和点0,3D的直线l上是否存在一点P，使PAC的周长最小，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.五、以圆为背景的探究性问题21．下图中,图(1)是一个扇形OAB，将其作如下划分：第一次划分：如图(2)所示，以OA的一半OA1的长为半径画弧交OA于点A1，交OB于点B1，再作∠AOB的平分线，交AB于点C，交11AB于点C1，得到扇形的总数为6个，分别为：扇形OAB、扇形OAC、扇形OCB、扇形OA1B1、扇形OA1C1、扇形OC1B1；第二次划分：如图(3)所示，在扇形OC1B1中，按上述划分方式继续划分，即以OC1的一半OA2的长为半径画弧交OC1于点A2，交OB1于点B2，再作∠B1OC1的平分线，交11BC于点D1，交22AB于点D2，可以得到扇形的总数为11个；第三次划分：如图(4)所示，按上述划分方式继续划分；……依次划分下去.(1)根据题意,完成右边的表格；(2)根据右边的表格,请你判断按上述划分方式,能否得到扇形的总数为2008个?为什么?xyABO-245-1-32-1-21O1OFABCDE(3)若图(1)中的扇形的圆心角∠AOB=m°，且扇形的半径OA的长为R．我们把图(2)第一次划分的图形中，扇形11OAC（或扇形11OCB）称为第一次划分的最小扇形，其面积记为S1；把图(3)第二次划分的最小扇形面积记为S2；……，把第n次划分的最小扇形面积记为Sn..求1nnSS的值.22．圆心角定理是“圆心角的度数与它所对的弧的度数相等”，记作AOBAB（如图①）；圆心角定理也可以叙述成“圆心角度数等与它所对的弧及圆心角的对顶角所对的弧的和的一半”，记作1()2AOBABCD（如图①）请回答下列问题：（1）如图②，猜测APBABCD与、有怎样的等量关系,并说明理由；（2）如图③，猜测APBABCD与、有怎样的等量关系,并说明理由.（提示：“两条平行弦所夹的弧相等”可当定理用）23．已知：半径为R的⊙O经过半径为r的⊙O圆心，⊙O与⊙O交于M、N两点．（1）如图1，连接OO交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交⊙O于点A、B，求OAOB的值；（2）若点C为⊙O上一动点.①当点C运动到⊙O内时，如图2，过点C作⊙O的切线交⊙O于A、B两点．请你探索OAOB的值与（1）中的结论相比较有无变化并说明你的理由；②当点运动到⊙O外时，过点C作⊙O的切线，若能交⊙O于A、B两点．请你在图3中画出符合题意的图形，并探索OAOB的值（只写出OAOB的值，不必证明）．北京市丰台区2015-2016学年度第一学期初三数学第24章圆综合练习题一、与圆有关的中档题：与圆有关的证明（证切线为主）和计算（线段长、面积、三角函数值、最值等）1.如图，BD为⊙O的直径，AC为弦，ABAC，AD交BC于E，2AE，4ED．（1）求证：ABEADB△∽△，并求AB的长；（2）延长DB到F，使BFBO，连接FA，判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由.1．解：ABAC，ABCC∠∠.CD∠∠，ABCD∠∠．又BAEDAB∠∠，ABEADB△∽△．ABAEADAB．POACDB图②OBDAC图①图③CDOPABDFEBCOA224212ABADAEAEEDAE．23AB（舍负）．（2）直线FA与O相切．连接OA．BD为O的直径，90BAD∠．在RtABD中，由勾股定理，得22212244843BDABAD．11432322BFBOBD．23AB，BFBOAB．（或BFBOABOA，AOB是等边三角形，FBAF．60OBAOAB，30FBAF．）90OAF∠．OA⊥AF．又点A在圆上，直线FA与O相切．2.已知：如图，以等边三角形ABC一边AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于点D、E，过点D作DF⊥BC，垂足为F．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若等边三角形ABC的边长为4，求DF的长；（3）求图中阴影部分的面积．2．（1）证明：连接DO.∵ABC是等边三角形，∴∠C=60°，∠A=60°，∵OA=OD，∴OAD是等边三角形.∴∠ADO=60°.∵DF⊥BC，∴∠CDF=30°.∴∠FDO=180°-∠ADO-∠CDF=90°.∴DF为⊙O的切线.（2）∵OAD是等边三角形，∴CD=AD=AO=21AB=2.RtCDF中，∠CDF=30°，∴CF=21CD=1.∴DF=322CFCD.（3）连接OE，由（2）同理可知E为CB中点，∴2CE.∵1CF，∴1EF.∴233)(21DFODEFSFDOE直角梯形．∴323602602DOES扇形．FEDCBOAFEDCBOACEBODFA∴32233DOEFDOESS扇形直角梯形．3、如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CFAD．（1）请证明：E是OB的中点；（2）若8AB，求CD的长．3、（1）证明：连接AC，如图CFAD，AECD且CFAE，过圆心OACAD，ACCD，ACD△是等边三角形．30FCD在RtCOE△中，12OEOC，12OEOB点E为OB的中点（2）解：在OCEtR中8AB，142OCAB又BEOE，2OE4．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC=60，P是OB上一点，过P作AB的垂线与AC的延长线交于点Q，连结OC，过点C作OCCD交PQ于点D．（1）求证：△CDQ是等腰三角形；（2）如果△CDQ≌△COB，求BP:PO的值．4．（1）证明：由已知得∠ACB=90°，∠ABC=30