(浙江专用)2020版高考数学新增分大一轮复习-5.3三角函数的图象与性质讲义(含解析)

1§5.3三角函数的图象与性质最新考纲考情考向分析1.理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义及其图象与性质．2.了解三角函数的周期性.以考查三角函数的图象和性质为主，题目涉及三角函数的图象及应用、图象的对称性、单调性、周期性、最值、零点．考查三角函数性质时，常与三角恒等变换结合，加强数形结合思想、函数与方程思想的应用意识．题型既有选择题和填空题，又有解答题，中档难度.1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，π2，1，(π，0)，3π2，－1，(2π，0)．(2)在余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，π2，0，(π，－1)，3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR错误!值域[－1,1][－1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数2递增区间错误![2kπ－π，2kπ]kπ－π2，kπ＋π2递减区间错误![2kπ，2kπ＋π]无对称中心(kπ，0)kπ＋π2，0kπ2，0对称轴方程x＝kπ＋π2x＝kπ无概念方法微思考1．正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少？相邻两个对称中心的距离呢？提示正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；相邻两个对称中心的距离也为半个周期．2．思考函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)是奇函数，偶函数的充要条件？提示(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝π2＋kπ(k∈Z)；(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y＝sinx在第一、第四象限是增函数．(×)(2)由sinπ6＋2π3＝sinπ6知，2π3是正弦函数y＝sinx(x∈R)的一个周期．(×)(3)正切函数y＝tanx在定义域内是增函数．(×)(4)已知y＝ksinx＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(×)(5)y＝sin|x|是偶函数．(√)题组二教材改编2．[P35例2]函数f(x)＝cos2x＋π4的最小正周期是________．答案π3．[P46A组T2]y＝3sin2x－π6在区间0，π2上的值域是________．答案－32，3解析当x∈0，π2时，2x－π6∈－π6，5π6，3sin2x－π6∈－12，1，故3sin2x－π6∈－32，3，即y＝3sin2x－π6的值域为－32，3.4．[P47B组T2]函数y＝－tan2x－3π4的单调递减区间为________________．答案π8＋kπ2，5π8＋kπ2(k∈Z)解析由－π2＋kπ2x－3π4π2＋kπ(k∈Z)，得π8＋kπ2x5π8＋kπ2(k∈Z)，所以y＝－tan2x－3π4的单调递减区间为π8＋kπ2，5π8＋kπ2(k∈Z)．题组三易错自纠5．下列函数中最小正周期为π且图象关于直线x＝π3对称的是()A．y＝2sin2x＋π3B．y＝2sin2x－π6C．y＝2sinx2＋π3D．y＝2sin2x－π3答案B解析函数y＝2sin2x－π6的最小正周期T＝2π2＝π，又sin2×π3－π6＝1，∴函数y＝2sin2x－π6的图象关于直线x＝π3对称．6．函数f(x)＝4sinπ3－2x的单调递减区间是______________________．答案kπ－π12，kπ＋512π(k∈Z)解析f(x)＝4sinπ3－2x＝－4sin2x－π3.所以要求f(x)的单调递减区间，4只需求y＝4sin2x－π3的单调递增区间．由－π2＋2kπ≤2x－π3≤π2＋2kπ(k∈Z)，得－π12＋kπ≤x≤512π＋kπ(k∈Z)．所以函数f(x)的单调递减区间是－π12＋kπ，512π＋kπ(k∈Z)．7．cos23°，sin68°，cos97°的大小关系是________．答案sin68°cos23°cos97°解析sin68°＝cos22°，又y＝cosx在[0°，180°]上是减函数，∴sin68°cos23°cos97°.题型一三角函数的定义域1．函数f(x)＝－2tan2x＋π6的定义域是()A.xx≠π6B.xx≠－π12C.xx≠kπ＋π6k∈ZD.xx≠kπ2＋π6k∈Z答案D解析由正切函数的定义域，得2x＋π6≠kπ＋π2，k∈Z，即x≠kπ2＋π6(k∈Z)，故选D.2．函数y＝sinx－cosx的定义域为________．答案2kπ＋π4，2kπ＋5π4(k∈Z)解析方法一要使函数有意义，必须使sinx－cosx≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sinx和y＝cosx的图象，如图所示．5在[0,2π]内，满足sinx＝cosx的x为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为x2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k∈Z.方法二利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图中阴影部分所示)．所以定义域为x2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k∈Z.3．函数y＝lg(sinx)＋cosx－12的定义域为________．答案x2kπx≤2kπ＋π3，k∈Z解析要使函数有意义，则sinx0，cosx－12≥0，即sinx0，cosx≥12，解得2kπxπ＋2kπ，k∈Z，－π3＋2kπ≤x≤π3＋2kπ，k∈Z，所以2kπx≤π3＋2kπ(k∈Z)，所以函数的定义域为x2kπx≤2kπ＋π3，k∈Z.思维升华三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．题型二三角函数的值域(最值)例1(1)函数y＝2sinπx6－π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为()A．2－3B．0C．－1D．－1－36答案A解析因为0≤x≤9，所以－π3≤πx6－π3≤7π6，所以－32≤sinπx6－π3≤1，则－3≤y≤2.所以ymax＋ymin＝2－3.(2)函数y＝cos2x＋2cosx的值域是()A．[－1,3]B.－32，3C.－32，－1D.32，3答案B解析y＝cos2x＋2cosx＝2cos2x＋2cosx－1＝2cosx＋122－32，因为cosx∈[－1,1]，所以原式的值域为－32，3.(3)(2018·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝2sinx＋sin2x，则f(x)的最小值是________．答案－332解析f′(x)＝2cosx＋2cos2x＝2cosx＋2(2cos2x－1)＝2(2cos2x＋cosx－1)＝2(2cosx－1)(cosx＋1)．∵cosx＋1≥0，∴当cosx12时，f′(x)0，f(x)单调递减；当cosx12时，f′(x)0，f(x)单调递增，∴当cosx＝12时，f(x)有最小值．又f(x)＝2sinx＋sin2x＝2sinx(1＋cosx)，∴当sinx＝－32时，f(x)有最小值，即f(x)min＝2×－32×1＋12＝－332.思维升华求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：(1)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；(3)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t7的二次函数求值域(最值)．(4)一些复杂的三角函数，可考虑利用导数确定函数的单调性，然后求最值．跟踪训练1(1)(2017·台州模拟)已知函数f(x)＝sinx＋π6，其中x∈－π3，a，若f(x)的值域是－12，1，则实数a的取值范围是__________________．答案π3，π解析∵x∈－π3，a，∴x＋π6∈－π6，a＋π6，∵当x＋π6∈－π6，π2时，f(x)的值域为－12，1，∴由函数的图象(图略)知，π2≤a＋π6≤7π6，∴π3≤a≤π.(2)函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域为__________．答案－12－2，1解析设t＝sinx－cosx，则t2＝sin2x＋cos2x－2sinx·cosx，sinxcosx＝1－t22，且－2≤t≤2.∴y＝－t22＋t＋12＝－12(t－1)2＋1，t∈[－2，2]．当t＝1时，ymax＝1；当t＝－2时，ymin＝－12－2.∴函数的值域为－12－2，1.题型三三角函数的周期性、奇偶性、对称性命题点1三角函数的周期性例2(1)(2016·浙江)设函数f(x)＝sin2x＋bsinx＋c，则f(x)的最小正周期()A．与b有关，且与c有关B．与b有关，但与c无关8C．与b无关，且与c无关D．与b无关，但与c有关答案B解析因为f(x)＝sin2x＋bsinx＋c＝－cos2x2＋bsinx＋c＋12，其中当b＝0时，f(x)＝－cos2x2＋c＋12，f(x)的周期为π；b≠0时，f(x)的周期为2π.即f(x)的周期与b有关但与c无关，故选B.(2)若函数f(x)＝2tankx＋π3的最小正周期T满足1T2，则自然数k的值为________．答案2或3解析由题意得，1πk2，∴kπ2k，即π2kπ，又k是自然数，∴k＝2或3.命题点2三角函数的奇偶性例3函数f(x)＝3sin2x－π3＋φ，φ∈(0，π)满足f(|x|)＝f(x)，则φ的值为________．答案5π6解析由题意知f(x)为偶函数，关于y轴对称，∴f(0)＝3sinφ－π3＝±3，∴φ－π3＝kπ＋π2，k∈Z，又0φπ，∴φ＝5π6.命题点3三角函数图象的对称性例4(1)(2017·温州“十五校联合体”期末联考)已知函数f(x)＝asinx－bcosx(a，b为常数，a≠0，x∈R)在x＝π4处取得最小值，则函数g(x)＝f3π4－x是()A．偶函数且它的图象关于点(π，0)对称B．奇函数且它的图象关于点(π，0)对称C．奇函数且它的图象关于点3π2，0对称D．偶函数且它的图象关于点3π2，0对称答案B9解析已知函数f(x)＝asinx－bcosx(a，b为常数，a≠0，x∈R)，所以f(x)＝a2＋b2sin(x－φ)的周期为2π，若函数在x＝π4处取得最小值，不妨设f(x)＝sinx－3π4，则函数y＝f3π4－x＝sin3π4－x－3π4＝－sinx，所以y＝f3π4－x是奇函数且它的图象关于点(π，0)对称．(2)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω0，|φ|≤π2，x＝－π4为f(x)的零点，x＝