圆锥曲线与立体几何综合测试

1圆锥曲线与立体几何综合测试一、选择题（每小题5分，共60分）1.已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，OCOBOAxOM3121则x的值为（）A．61B．31C．21D．02.若A)1,2,1(，B)3,2,4(，C)4,1,6(，则△ABC的形状是（）A．不等边锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形3.在ABC中，已知(4,0),(4,0)AB，且sinsinAB1sin2C，则C的轨迹方程是（）A．221412xyB．221(2)412xyxC．221124xyD．221(1)124xyy4.已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上中线长为（）（A）2（B）3（C）4（D）55．如图，空间四边形ABCD中，M、G分别是BC、CD的中点，则BDBCAB2121等于（）A．ADB．GAC．AGD．MG6.已知a=(1,2,3),b=（3，0，-1），c=53,1,51给出下列等式：①∣cba∣=∣cba∣②cba)(=)(cba③2)(cba=222cba④cba)(=)(cba其中正确的个数是()A、1个B、2个C、3个D、4个7.有以下命题：①如果向量ba,与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么ba,的关系是不共线；②,,,OABC为空间四点，且向量OCOBOA,,不构成空间的一个基底，则点,,,OABC一定共面；③已知向量cba,,是空间的一个基底，则向量cbaba,,也是空间的一个基底。其中正确的命题是（）（A）①②（B）①③（C）②③（D）①②③8.若函数()yfx在点xa处的导数是A,0(4)(5)limtfatfatt()A.-AB.AC.0D.不存在9.若直线2kxy与双曲线622yx的右支交于不同的两点，那么k的取值范围是（）（A）（315,315）（B）（315,0）（C）（0,315）（D）（1,315）10.试在抛物线xy42上求一点P，使其到焦点F的距离与到1,2A的距离之和最小，则该点坐标为（）（A）1,41（B）1,41（C）22,2（D）22,211.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，如果AB=BC=1，AA1=2，那么A到直线A1C的距离为（）（A）263（B）362（C）233（D）6312.已知点F1、F2分别是椭圆22221xyab的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2为正三角形，则该椭圆的离心率e为（）（A）12（B）22（C）13（D）33二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）13．在平行六面体1111ABCDABCD中，1AB，2AD，13AA，90,BAD1BAA1DAA60，则1AC的长为．14.在△ABC中，BC边长为24，AC、AB边上的中线长之和等于39．若以BC边中点为原点，BC边所在直线为x轴建立直角坐标系，则△ABC的重心G的轨迹方程为：．15.若椭圆193622yx的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是___________。16.已知抛物线7)(2bxaxxf通过点（1，1）,且过此点的切线方程为0334yx，a=,b=三、解答题（共6题，满分70分）217．(本题10分)在边长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，F是DD1的中点，（1）求点A到平面A1DE的距离；（2）求证：CF∥平面A1DE,（3）求二面角E－A1D－A的平面角大小的余弦值。18.（本题满分12分）如图，已知三棱锥OABC的侧棱OAOBOC，，两两垂直，且1OA，2OBOC，E是OC的中点。（1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；（2）求直线BE和平面ABC的所成角的正弦值。19.（本题12分）双曲线C的中心在原点，右焦点为0,332F，渐近线方程为xy3（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）设直线l：1kxy与双曲线C交于A、B两点，问：当k为何值时，以AB为直径的圆过原点；20.（本题满分12分）已知椭圆的焦点在x轴上，短轴长为4，离心率为55.(1)求椭圆的标准方程；（2）若直线l过该椭圆的左焦点，交椭圆于M、N两点，且1659MN，求直线l的方程.21.（本题满分12分）如图，棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=22.（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）求二面角P—CD—B余弦值的大小；（3）求点C到平面PBD的距离.22．(本题满分12分)已知椭圆的两焦点为1F(3,0)，2F(3,0)，离心率32e。（Ⅰ）求此椭圆的方程。（Ⅱ）设直线2xym与此椭圆交于P，Q两点，且PQ的长等于椭圆的短轴长，求m的值。（Ⅲ）若直线2xym与此椭圆交于M，N两点，求线段MN的中点P的轨迹方程。PDBCAB1D1C1A1FEDCBA3三、解答题（共6题，满分70分）17、（1）分别以DA,DC,DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A（2,0,0）,A1（2,0,2）,E(1,2,0),D(0,0,0),C(0,2,0),F(0,0,1),则12,0,2,1,2,0,DADE设平面A1DE的法向量是,,,nabc则122020nDAacnDEab，取2,1,2,n点A到平面A1DE的距离是49DAndn。（2）0,2,1CF,220,CFnCFn,所以，CF∥平面A1DE（3）0,2,0DC是面AA1D的法向量，1cos3DCnDCn。18、解：（1）以O为原点,OB、OC、OA分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系.则有(0,0,1)A、(2,0,0)B、(0,2,0)C、(0,1,0).E……………………………3分(2,0,0)(0,1,0)(2,1,0),(0,2,1)EBACCOS,EBAC22,555……………………………5分所以异面直线BE与AC所成角的余弦为52……………………………6分（2）设平面ABC的法向量为1(,,),nxyz则11:20;nABnABxz知11:20.nACnACyz知取1(1,1,2)n，………8分则303065012,cos1nEB，…………………10分故BE和平面ABC的所成角的正弦值为3030…………12分19解：（Ⅰ）易知双曲线的方程是1322yx.（Ⅱ）①由221,31,ykxxy得022322kxxk，由03,02k且，得,66k且3k.设11,yxA、22,yxB，因为以AB为直径的圆过原点，所以OBOA，所以12120xxyy.又12223kxxk，12223xxk，所以212121212(1)(1)()11yykxkxkxxkxx所以22103k，解得1k.，20.解：（1）设椭圆的标准方程为22221xyab，由已知有：524,5cbea(4分)，222abc，解得：225,2,1,1abcc∴所求椭圆标准方程为22154xy①（2）设l的斜率为k，M、N的坐标分别为1122(,),(,)MxyNxy，∵椭圆的左焦点为(1,0)，∴l的方程为(1)ykx②①、②联立可得222(1)154xkx∴2222(45)105200kxkxk∴2212122210520,4545kkxxxxkkzyxABCDEFA1C1D1B14又∵22121216()()59MNxxyy即221216()(1)59xxk∴2212121280()4(1)81xxxxk∴222222104(520)1280()(1)454581kkkkk∴42222212801004(520)(45)(1)(45)81kkkkk∴22221280320(1)(45)81kk∴2221(45)9kk∴21,1kk∴l的方程为1yx或1yx21、解：方法一：证：⑴在Rt△BAD中，AD=2，BD=22，∴AB=2，ABCD为正方形，因此BD⊥AC.∵PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，∴BD⊥PA.又∵PA∩AC=A∴BD⊥平面PAC.解：（2）由PA⊥面ABCD，知AD为PD在平面ABCD的射影，又CD⊥AD，∴CD⊥PD，知∠PDA为二面角P—CD—B的平面角.又∵PA=AD，∴∠PDA=450.（3）∵PA=AB=AD=2，∴PB=PD=BD=22，设C到面PBD的距离为d，由PBDCBCDPVV，有dSPASPBDBCD3131，即d0260sin)22(21312222131，得332d22．．解：（Ⅰ）所以，椭圆的方程为：2214xy。（Ⅱ）得到关于x的方程：222220xmxm由△2244(22)0mm解得：22m设P11(,)xy，Q22(,)xy122xxm，21222xxm221212()()PQxxyy212125()42xxxx25842m2522m所以：305m（Ⅲ）设M11(,)xy，N22(,)xy，MN的中点为P(,)xy又1212x+xxy+y2y=2，，1212y-y1x-x2即20xy因为P在椭圆内部，可求得22x所以线段MN的中点P的轨迹方程为20xy（22x）yzDPABCx3c32ca3c2a2xym2214xy由联立消去y22112222x4y4x4y4两式相减得12121212y-yx+xy+y0x-x（）+4（）