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1物理培优——高考压轴题三、机械能1．如图所示，物体A放在足够长的木板B上，木板B静止于水平面。t=0时，电动机通过水平细绳以恒力F拉木板B，使它做初速度为零、加速度aB=1.0m/s2的匀加速直线运动。已知A的质量mA和B的质量mB均为2.0kg，A、B之间的动摩擦因数μ1=0.05，B与水平面之间的动摩擦因数μ2=0.1，最大静摩擦力与滑动摩擦力大小视为相等，重力加速度g取10m/s2．求（1）物体A刚运动时的加速度aA；（2）t=1.0s时，电动机的输出功率P；（3）若t=1.0s时，将电动机的输出功率立即调整为P′=5W，并在以后的运动过程中始终保持这一功率不变，t=3.8s时物体A的速度为1.2m/s。则在t=1.0s到t=3.8s这段时间内木板B的位移为多少？【解答】解：（1）若A相对于B滑动，则对物体A进行受力分析，水平方向只受摩擦力，根据牛顿第二定律得：f=μ1mAg=mAaA解得：aA=0.5m/s2＜1.0m/s2，所以A的加速度为0.5m/s2；（2）对物体B进行受力分析，水平方向受到拉力F、地面对B的摩擦力、A对B的摩擦力，根据牛顿第二定律得：F﹣μ1mAg﹣μ2（mB+mA）g=mBaB代入数据解得：F=7N，v=aBt=1m/s所以P=Fv=7W（3）电动机的输出功率调整为5W时，设细绳对木板B的拉力为F′，则P′=F′v1，代入数据解得F'=5N，对木板进行受力分析，木板B受力满足F′﹣μ1mAg﹣μ2（mA+mB）g=0所以木板B将做匀速直线运动，而物体A则继续在B上做匀加速直线运动直到A、B速度相等。设这一过程时间为t′，有v1=aA（t1+t′），这段时间内B的位移s1=v1t′，A、B速度相同后，由于F′＞μ2（mA+mB）g且电动机输出功率恒定，A、B将一起做加速度逐渐减小的变加速运动，由动能定理得：，由以上各式代入数据得：木板B在t=1.0s到t=3.8s这段时间的位移s=s1+s2=3.03m答：（1）物体A刚运动时的加速度aA为0.5m/s2；（2）t=1.0s时，电动机的输出功率P为7W；（3）在t=1.0s到t=3.8s这段时间内木板B的位移为3.03m。2．如图，位于竖直平面内的光滑轨道由四分之一圆弧ab和抛物线bc组成，圆弧半径Oa水平，b点为抛物线顶点。已知h=2m，s=m．取重力加速度大小g=10m/s2。（1）一小环套在轨道上从a点由静止滑下，当其在bc段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，求圆弧轨道的半径；（2）若环从b点由静止因微小扰动而开始滑下，求环到达c点时速度的水平分量的大小。2【解答】解：（1）当其在bc段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，则在bc上只受重力，做平抛运动，则有：=…①则在b点的速度…②，从a到b的过程中，根据动能定理得：…③解得：R=0.25m。（2）从b点下滑过程中，初速度为零，只有重力做功，b到c的过程中，根据动能定理得：…④因为物体滑到c点时与竖直方向的夹角等于（1）问中做平抛运动过程中经过c点时速度与竖直方向的夹角，设为θ，则根据平抛运动规律可知…⑤，根据运动的合成与分解可得…⑥由①②③④⑤⑥解得：v水平=m/s答：（1）圆弧轨道的半径为0.25m；（2）环到达c点时速度的水平分量的大小为m/s。3．如图所示，一条带有圆轨道的长轨道水平固定，圆轨道竖直，底端分别与两侧的直轨道相切，半径R=0.5m，物块A以V0=6m/s的速度滑入圆轨道，滑过最高点Q，再沿圆轨道滑出后，与直轨上P处静止的物块B碰撞，碰后粘在一起运动。P点左侧轨道光滑，右侧轨道呈粗糙段，光滑段交替排列，每段长度都为L=0.1m。物块与各粗糙段间的动摩擦因数都为μ=0.1，A、B的质量均为m=1kg（重力加速度g取10m/s2；A、B视为质点，碰撞时间极短）。3（1）求A滑过Q点时的速度大小V和受到的弹力大小F；（2）若碰后AB最终停止在第k个粗糙段上，求k的数值；（3）求碰后AB滑至第n个（n＜k）光滑段上的速度VAB与n的关系式。【解答】解：（1）由机械能守恒定律可得：mv02=mg（2R）+mv2；解得：v=4m/s；由F+mg=m可得：F=22N；（2）AB碰撞前A的速度为vA，由机械能守恒定律可得：mv02=mvA2得vA=v0=6m/s；AB碰撞后以共同速度vP前进，设向右为正方向，由动量守恒定律可得：mv0=（m+m）vp解得：vP=3m/s；故总动能EK=（m+m）vP2=×2×9=9J；滑块每经过一段粗糙段损失的机械能△EK=fL=μ（m+m）gL=0.1×20×0.1=0.2J；k===45；（3）AB整体滑到第n个光滑段上损失的能量；E损=nE=0.2nJ从AB碰撞后运动到第n个光滑段的过程中，由能量守恒定律可得：（m+m）vP2﹣（m+m）vAB2=n△E，代入解得：vAB=m/s；答：1）A滑过Q点时的速度大小V为4m/s；受到的弹力大小F为22N；（2）k的数值为45；（3）碰后AB滑至第n个（n＜k）光滑段上的速度VAB与n的关系式为vAB=m/s；4．过山车是游乐场中常见的设施。下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B、C、D分别是三个圆形轨道的最低点，B、C间距与C、D间距相等，半径R1=2.0m、R2=1.4m。一个质量为m=1.0kg的小球（视为质点），从轨道的左侧A点以v0=12.0m/s的初速度沿轨道向右运动，A、B间距L1=6.0m。小球与水平轨道间的动摩擦因数为0.2，圆形轨道是光滑的。假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠。重力加速度取g=10m/s2，计算结果保留小数点后一位数字。试求4（1）小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小；（2）如果小球恰能通过第二圆形轨道，B、C间距L应是多少；（3）在满足（2）的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第三个圆形轨道的设计中，半径R3应满足的条件；小球最终停留点与起点A的距离。【解答】解：（1）设小球经过第一个圆轨道的最高点时的速度为v1根据动能定理得：﹣μmgL1﹣2mgR1=mv12﹣mv02①小球在最高点受到重力mg和轨道对它的作用力F，根据牛顿第二定律有：F+mg=m②由①、②得F=10.0N③（2）设小球在第二个圆轨道的最高点的速度为v2，由小球恰能通过第二圆形轨道有：mg=m④﹣μmg（L1+L）﹣2mgR2=mv22﹣mv02⑤由④、⑤得L=12.5m⑥（3）要保证小球不脱离轨道，可分两种情况进行讨论：I．轨道半径较小时，小球恰能通过第三个圆轨道，设在最高点的速度为v3，应满足mg=m⑦﹣μmg（L1+2L）﹣2mgR3=mv32﹣mv02⑧由⑥、⑦、⑧得R3=0.4mII．轨道半径较大时，小球上升的最大高度为R3，根据动能定理﹣μmg（L1+2L）﹣mgR3=0﹣mv02解得R3=1.0m为了保证圆轨道不重叠，R3最大值应满足（R2+R3）2=L2+（R3﹣R2）2解得R3=27.9m综合I、II，要使小球不脱离轨道，则第三个圆轨道的半径须满足下面的条件0＜R3≤0.4m或1.0m≤R3≤27.9m当0＜R3≤0.4m时，小球最终停留点与起始点A的距离为L′，则5﹣μmgL′=0﹣mv02L′=36.0m当1.0m≤R3≤27.9m时，小球最终停留点与起始点A的距离为L〞，则L″=L′﹣2（L′﹣L1﹣2L）=26.0m答：（1）小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小为10.0N；（2）如果小球恰能通过第二圆形轨道，B、C间距L应是12.5m；（3）第三个圆轨道的半径须满足下面的条件0＜R3≤0.4m或1.0m≤R3≤27.9m当0＜R3≤0.4m时，小球最终停留点与起始点A的距离为36.0m当1.0m≤R3≤27.9m时，小球最终停留点与起始点A的距离为26.0m。5．轻质弹簧原长为2l，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为5m的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为l．现将该弹簧水平放置，一端固定在A点，另一端与物块P接触但不连接．AB是长度为5l的水平轨道，B端与半径为l的光滑半圆轨道BCD相切，半圆的直径BD竖直，如图所示．物块P与AB间的动摩擦因数μ=0.5．用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度l，然后释放，P开始沿轨道运动，重力加速度大小为g．（1）若P的质量为m，求P到达B点时速度的大小，以及它离开圆轨道后落回到AB上的位置与B点间的距离；（2）若P能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求P的质量mp的取值范围．【解答】解：（1）将弹簧竖直放置在地面上，物体下落压缩弹簧时，由系统的机械能守恒得Ep=5mgl如图，根据能量守恒定律得Ep=μmg•4l+联立解得vB=物体P从B到D的过程，由机械能守恒定律得mg•2l+=解得vD=＞所以物体P能到达D点，且物体P离开D点后做平抛运动，则有2l=x=vDt解得x=2l即落地点与B点间的距离为2l．（2）P刚好过B点，有：Ep=μm1g•4l，解得m1=mP最多到C而不脱轨，则有Ep=μm2g•4l+m2gl，解得m2=m6所以满足条件的P的质量的取值范围为：m≤mP＜m．答：（1）P到达B点时速度的大小是，它离开圆轨道后落回到AB上的位置与B点间的距离是2l．（2）P的质量的取值范围为：m≤mP＜m．6.如图，一轻弹簧原长为2R，其一端固定在倾角为37°的固定直轨道AC的底端A处，另一端位于直轨道上B处，弹簧处于自然状态，直轨道与一半径为R的光滑圆弧轨道相切于C点，AC=7R，A、B、C、D均在同一竖直面内。质量为m的小物块P自C点由静止开始下滑，最低到达E点（未画出），随后P沿轨道被弹回，最高点到达F点，AF=4R，已知P与直轨道间的动摩擦因数μ=，重力加速度大小为g。（取sin37°=，cos37°=）（1）求P第一次运动到B点时速度的大小。（2）求P运动到E点时弹簧的弹性势能。（3）改变物块P的质量，将P推至E点，从静止开始释放。已知P自圆弧轨道的最高点D处水平飞出后，恰好通过G点。G点在C点左下方，与C点水平相距R、竖直相距R，求P运动到D点时速度的大小和改变后P的质量。【解答】解：（1）C到B的过程中重力和斜面的阻力做功，所以：其中：代入数据得：（2）物块返回B点后向上运动的过程中：其中：联立得：物块P向下到达最低点又返回的过程中只有摩擦力做功，设最大压缩量为x，则：整理得：x=R7物块向下压缩弹簧的过程设克服弹力做功为W，则：又由于弹簧增加的弹性势能等于物块克服弹力做的功，即：EP=W所以：EP=2.4mgR（3）由几何关系可知图中D点相对于C点的高度：h=r+rcos37°=1.8r==1.5R所以D点相对于G点的高度：H=1.5R+R=2.5R小球做平抛运动的时间：t=G点到D点的水平距离：L==由：L=vDt联立得：E到D的过程中重力、弹簧的弹力、斜面的阻力做功，由功能关系得：联立得：m′=答：（1）P第一次运动到B点时速度的大小是。（2）P运动到E点时弹簧的弹性势能是2.4mgR。（3）改变物块P的质量，将P推至E点，从静止开始释放。已知P自圆弧轨道的最高点D处水平飞出后，恰好通过G点。G点在C点左下方，与C点水平相距R、竖直相距R，求P运动到D点时速度的大小是，改变后P的质量是m。7．如图所示，一轻绳吊着粗细均匀的棒，棒下端离地面高H，上端套着一个细环．棒和环的质量均为m，8相互间最大静摩擦力等于滑动摩擦力kmg（k＞1）．断开轻绳，棒和环自由下落．假设棒足够长，与地面发生碰撞时，触地时间极短，无动能损失．棒在整个运动过程中始终保持竖直，空气阻力不计．求：（1）棒第一次与地面碰撞弹起上升过程中，环的加速度；（2）从断开轻绳到棒与地面第二次碰撞的瞬间，棒运动的路程S；（3）从断开轻绳到棒和环都静止，摩擦力对环及棒做的总功W．【解答】解：（1）设棒第一次上升过程中，环的加速度为a环，由牛顿第二定律得：kmg﹣mg=ma环解得：a环=（k﹣1）g，方向竖直向上（2）设棒第一次落地的速度