一次函数解析式典型例题解析及部分题答案

一次函数解析式典型题型一.定义型（一次函数即X和Y的次数为1）例1.已知函数ymxm()3328是一次函数，求其解析式。解：由一次函数定义知mm28130mm33m3，故一次函数的解析式为yx33注意：利用定义求一次函数ykxb解析式时，要保证k0。如本例中应保证m30二.点斜型（已知斜率和经过的一点）例2.已知一次函数ykx3的图像过点（2，－1），求这个函数的解析式。解：一次函数ykx3的图像过点（2，－1）123k，即k1故这个一次函数的解析式为yx3变式问法：已知一次函数ykx3，当x2时，y＝－1，求这个函数的解析式。三.两点型（已知图像经过的两点）已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是（－2，0）、（0，4），则这个函数的解析式为解：设一次函数解析式为ykxb由题意得024kbbkb24故这个一次函数的解析式为yx24四.图像型例4.已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为y=-2x+2。y2O1x解：设一次函数解析式为ykxb由图可知一次函数ykxb的图像过点（1，0）、（0，2）有020kbbkb22故这个一次函数的解析式为yx22五.斜截型（已知斜率k和截距b）两直线平行，则k1=k2；两直线垂直，则k1=-1/k2例5.已知直线ykxb与直线yx2平行，且在y轴上的截距为2，则直线的解析式为解析：两条直线l1：ykxb11；l2：ykxb22。当kk12，bb12时，ll12//直线ykxb与直线yx2平行，k2。又直线ykxb在y轴上的截距为2，b2故直线的解析式为yx22六.平移型(向上/右平移则截距增加；向左平移则截距减小)例6.把直线yx21向下平移2个单位得到的图像解析式为y=2x-1。解析：设函数解析式为ykxb，直线yx21向下平移2个单位得到的直线ykxb与直线yx21平行k2直线ykxb在y轴上的截距为b121，故图像解析式为yx21七.实际应用型例7.某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系式为Q=-0.2t+20。解：由题意得Qt2002.，即Qt0220.Qt0100，故所求函数的解析式为Qt0220.（0100t）注意：求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围。八.面积型例8.已知直线ykx4与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线解析式为y=2x-4或y=-2x-4。解：易求得直线与x轴交点为（4k，0），所以4412||k，所以||k2，即k2故直线解析式为yx24或yx24九.对称型关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标取相反数；关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标取相反数；关于原点对称，横坐标与纵坐标都取相反数。若直线l与直线ykxb关于（1）x轴对称，则直线l的解析式为ykxb（2）y轴对称，则直线l的解析式为ykxb（3）直线y＝x对称，则直线l的解析式为ykxbk1（4）直线yx对称，则直线l的解析式为ykxbk1（5）原点对称，则直线l的解析式为ykxb例9.若直线l与直线yx21关于y轴对称，则直线l的解析式为__y=-2x-1__________。解：由（2）得直线l的解析式为yx21练习题：1.当m=__-2__时，函数y=(m-2)32mx+5是一次函数，此时函数解析式为y=-4x+5。2.已知直线y=3x+b与两坐标轴所围成的三角形的面积为6，则函数的解析式为.3.直线y=kx＋2与x轴交于点（－1，0），则k=。4.若直线y=kx＋b平行直线y=3x＋4，且过点（1，-2），则k=.5.已知:一次函数的图象与正比例函数Y=-32X平行,且通过点(0,4),(1)求一次函数的解析式.(2)若点M(-8,m)和N(n,5)在一次函数的图象上,求m,n的值6.已知一次函数y=kx+b的图象经过点(-1,-5),且与正比例函数y=12x的图象相交于点(2,a),求(1)a的值(2)k,b的值(3)这两个函数图象与x轴所围成的三角形面积.7函数y=－2x＋4的图象经过___________象限，它与两坐标轴围成的三角形面积为_____周长为8．若函数y=4x＋b的图象与两坐标轴围成的三角形面积为6，那么b=_____9．已知一次函数的图象经过点A（－1，3）和点（2，－3），（1）求一次函数的解析式；（2）判断点C（－2，5）是否在该函数图象上。10已知2y－3与3x＋1成正比例，且x=2时，y=5,（1）求y与x之间的函数关系式，并指出它是什么函数；（2）若点（a，2）在这个函数的图象上，求a.11．一个一次函数的图象，与直线y=2x＋1的交点M的横坐标为2，与直线y=－x＋2的交点N的纵坐标为1，求这个一次函数的解析式一次函数拓展【典型例题】例1.已知：，当m取何值时，y是x的一次函数，这时，若，求y的取值范围。分析：为一次函数的条件是①，②x的指数n＝1解：据题意，得解得∴当m＝3时，一次函数为由解得例2.已知一次函数（1）当m取何值时，y随x的增大而减小？（2）当m取何值时，函数的图象过原点？（3）是否存在这样的整数m，使函数的图象不过第四象限？如果存在，请求出m的值；如果不存在，请说明理由。分析：一般形式中（1）k0即（2）b＝0即（3）经过一二三象限或一三象限即解：（1）由解得∴当时，y随x的增大而减小（2）由，解得∴当时，函数的图象过原点（3）假设存在满足条件的m，则解得，而m在这个取值范围内无整数解∴不存在这样的整数m。例3.已知：经过点（-3，-2），它与x轴，y轴分别交于点B、A，直线经过点（2，-2），且与y轴交于点C（0，-3），它与x轴交于点D（1）求直线的解析式；（2）若直线与交于点P，求的值。解：（1）过点（-3，-2）解得m＝4的解析式为过点（2，-2），C（0，-3）解得的解析式为（2）在中，由x＝0，得y＝4∴A（0，4），在中，由y＝0，得x＝6∴D（6，0），OD＝6由，得过P点作PM⊥y轴于点M则例4.如图，已知点A（2，4），B（-2，2），C（4，0），求△ABC的面积。分析：直接求显得困难，延长AB交x轴于D点，这样只需求出△ACD和△BCD的面积即可，而这两个三角形底边CD在x轴上，高分别是A、B两点的纵坐标的绝对值。解：延长AB交x轴于D点设过A、B两点的直线的解析式为则解得∴直线AD的解析式为∴由y＝0，得∴x＝－6，∴D（-6，0）例5.如图，已知A（4，0），P是第一象限内在直线上的动点（1）设点P的坐标为（x，y），△AOP的面积为S，求S与y的函数关系式，并写出y取值范围。（2）求S与x的函数关系式，并写出S的取值范围。（3）若S＝10，求P的坐标。（4）若以点P、O及A点构成的三角形为等腰三角形，求出P点坐标。解：（1）作PM⊥OA于M，则PM＝y（2）∵P（x，y）在直线上∵0x6，且解关于S的不等式组得S的取值范围：0S12（3）当S＝10时，解得∴y＝5∴P（1，5）（4）①当PA＝OP时，解得此时P（2，4）②当PA＝OA时解得，∵0x6，0y6此时③当OP＝OA时此时方程组无实数解。综上所述，当P、O、A三点构成等腰三角形时，P点坐标为P（2，4）或例6如图4，直线y=x＋3的图象与x轴、y轴交于A、B两点．直线l经过原点，与线段AB交于点C，把△AOB的面积分为2：1两部分．求直线l的解析式．yAO图4y=x＋3xBC解析：直线3xy与x轴、y轴交点坐标A（－3，0）、B（0，3），则29AOBS．设C点纵坐标为Cy．若S△AOC：S△BOC=1：2，则S△AOC：S△AOB=1：3，所以1Cy．将y=1代入3xy，得2x．所以C（－2，1），所以直线OC的解析式为xy21．若S△AOC：S△BOC=2：1，则S△AOC：S△AOB=2：3，所以2Cy．将32xyy代入，得1x．所以C（－1，2），所以直线OC的解析式为xy2．综上，直线OC的解析式为xyxy221或．7.已知直线过点A（4，0）（1）求这条直线的解析式；（2）画出这条直线；（3）如果x的取值范围，求y的取值范围。8.已知A（－1，－2），B（4，3）和C（6，5）三点，求证：A，B，C三点在同一直线上。9.已知一个正比例函数和一个一次函数，它们的图像都过点P（－2，1），且一次函数的图象与y轴相交于Q（0，3）（1）求出这两个一次函数的解析式；（2）在同一坐标内，画出这两个函数的图象；（3）求出△PQO的周长和面积。10.已知直线（1）若这条直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为12，求m的值；（2）若这条直线与两坐标轴有两个交点，且交点间的距离为，求m的值。11.如图，已知直线PA是一次函数的图象，直线PB是一次函数的图象（1）用m、n分别表示A、B、P三点的坐标；（2）若点Q是PA与y轴的交点，且四边形PQOB的面积是，且AB＝2，试求P点的坐标。7.（1）（2）图略（3）8.提示：证明C点满足直线AB的解析式9.（1），（2）略（3）10.（1）（2）11.（1）A（－n，0），B（，0），P（）（2）P（）