高中数学必修一同步讲解与练习

1第一章集合与函数概念1.1集合1.1.1集合的含义与表示集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的，具有某一共同特征的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。一般地，研究对象统称为元素（element），通常用小写字母a,b,c...表示。把一些元素组成的总体叫集合（set），通常用大写字母A,B,C...表示。关于集合的元素的特征（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。如：“接近于0的数”不可以组成集合，而“不等于0的偶数”可以组成集合。（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。如：212xx的解构成集合1，不能表示为1,1。（3）无序性：集合中元素的排列次序无先后之分，如：由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}。例1已知集合2{1,,}Axxx，{1,2,}Bx，若集合A与集合B相等，求x的值．【解析】因为集合A与集合B相等，所以22xx.2x或1x.2当2x时，与集合元素的互异性矛盾．当1x时，符合题意．∴1x.元素与集合的关系；（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belongto）A，记作aA（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（notbelongto）A，记作aA例2已知{330}Axx，则下列各式正确的是()A．3AB．1AC．0AD．1A【解析】集合A表示不等式330x的解集．显然3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式，故选C.常用数集及其记法非负整数集（或自然数集），记作N正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z有理数集，记作Q实数集，记作R3集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。如：{1,2,3,4,5}，2322{,32,5,}xxyxxy，…；（2）描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。如：2{32},{(,)1}xxxyyx，{直角三角形}，…；（3）图示法：韦恩图例1选择适当的方法表示下列集合集．(1)由方程2(23)0xxx的所有实数根组成的集合；(2)大于2且小于6的有理数；(3)由直线y＝－x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合．【解析】(1)方程的实数根为－1,0,3，故可以用列举法表示为{1,0,3}，当然也可以用描述法表示为2{(23)0}xxxx，有限集．(2)由于大于2且小于6的有理数有无数个，故不能用列举法表示该集合，但可以用描述法表示该集合为{26}xQx，无限集．(3)用描述法表示该集合为{(,)4,,}MxyyxxNyN或用列举法表示该集合为{(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)}．4课后习题1.1.1[基础训练A组]一、选择题1．下列各项中，不可以组成集合的是（）A．所有的正数B．等于2的数C．接近于0的数D．不等于0的偶数2．下面有四个命题：（1）集合N中最小的数是1；（2）若a不属于N，则a属于N；（3）若,,NbNa则ba的最小值为2；（4）xx212的解可表示为1,1；其中正确命题的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个3．若集合,,Mabc中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形二、填空题1．用符号“”或“”填空（1）0______N,5______N,16______N（2）1______,_______,______2RQQeCQ（e是个无理数）（3）2323________|6,,xxabaQbQ[综合训练B组]一、选择题1．下列命题正确的有（）（1）很小的实数可以构成集合；（2）集合1|2xyy与集合1|,2xyyx是同一个集合；5（3）3611,,,,0.5242这些数组成的集合有5个元素；（4）集合Ryxxyyx,,0|,是指第二和第四象限内的点集。A．0个B．1个C．2个D．3个2．方程组9122yxyx的解集是（）A．5,4B．4,5C．4,5D．4,5。二、填空题1．已知集合}023|{2xaxxA至多有一个元素，则a的取值范围；若至少有一个元素，则a的取值范围。2．用列举法表示集合：MmmZmZ{|,}101=。三、解答题1．已知集合NxNxA68|，试用列举法表示集合A。1.1.2集合间的基本关系子集：集合与集合之间的“包含”关系；{1,2,3},{1,2,3,4}AB集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A；如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集（subset）。6记作：()ABBA读作：A包含于（iscontainedin）B，或B包含（contains）A当集合A不包含于集合B时，记作AB用Venn图表示两个集合间的“包含”关系)(ABBA或集合与集合之间的“相等”关系；ABBA且，则BA中的元素是一样的，因此BA即ABBABA任何一个集合是它本身的子集例1集合{,}ab的子集有()A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】集合{,}ab的子集有,{},{},{,}abab共4个，故选D.【答案】D真子集的概念若集合AB，存在元素AxBx且，则称集合A是集合B的真子集（propersubset）。记作：AB（或BA）读作：A真包含于B（或B真包含A）例2集合{03,}AxxxZ的真子集的个数是()BA7A．5B．6C．7D．8【解析】由题意知{0,1,2}A，其真子集的个数为3217个，故选C.【答案】C空集的概念不含有任何元素的集合称为空集（emptyset），记作：规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。例3已知集合2{0}xxxa不是是空集，则实数a的取值范围是________．【解析】集合2{0}xxxa不是空集，方程20xxa有实根，21(1)40,4aa.【答案】14a课后习题1.1.2[基础训练A组]一、选择题1．若集合{|1}Xxx，下列关系式中成立的为（）A．0XB．0XC．XD．0X2．下列四个集合中，是空集的是（）A．}33|{xxB．},,|),{(22Ryxxyyx8C．}0|{2xxD．},01|{2Rxxxx3．已知{25}Axx，{121}Bxmxm，BA,求m的取值范围。4．下列式子中，正确的是（）A．RRB．ZxxxZ,0|C．空集是任何集合的真子集D．二、填空题1．用适当的符号填空（1）1|,____2,1,2|______3xyyxxx（2）32|_______52xx，（3）31|,_______|0xxxRxxxx[综合训练B组]一、填空题1．设集合{32}Axx,{2121}Bxkxk,且AB，则实数k的取值范围是。二、解答题1．已知集合|2Axxa,|23,ByyxxA,2|,CzzxxA,且CB,求a的取值范围。2．设集合1,2,3,...,10,A求集合A的所有非空子集元素和的和。1.1.3集合的基本运算并集一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集（Union）记作：AB读作：“A并B”即：{ABxA,或}xBVenn图表示：A∪BA∪BABA9两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。例1设集合{24}Axx，{3782}Bxxx则A∪B等于()A．{3}xxB．{2}xxC．{23}xxD．{4}xx【解析】画数轴(如下图所示)可知选B.【答案】B交集一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集（intersection）。记作：AB读作：“A交B”即：{ABxA,且}xB交集的Venn图表示两个集合求交集，结果还是一个集合，10是由集合A与B的公共元素组成的集合。当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集例2已知集合{1,3,5,7,9}A，{0,3,6,9,12}B，则AB＝()A．{3,5}B．{3,6}C．{3,7}D．{3,9}【解析】{1,3,5,7,9}A，{0,3,6,9,12}B，A和B中有相同的元素3,9，{3,9}AB．故选D.补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe），通常记作U。补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集（complementaryset）,简称为集合A的补集，11记作：CUA即：{uCAxU,且}xA补集的Venn图表示补集的概念必须要有全集的限制例3若全集0,1,2,3,2UUCA，则集合A的真子集共有（）A．3个B．5个C．7个D．8个【解析】0,1,3A，真子集有3217。故选C求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。集合基本运算的一些结论：ABA，ABB，AAA，A,ABBAAAB，BAB，AAA，AA,ABBA()UCAAU，()UCAA若ABA，则AB，反之也成立若ABB，则AB，反之也成立若()xAB，则xA且xB若()xAB，则xA或xB例4已知{25}Axx，{121}Bxmxm，BA,求m的取值范围。【解析】当121mm，即2m时，,B满足BA，即2m；AUCUA12当121mm，即2m时，3,B满足BA，即2m；当121mm，即2m时，由BA，得12215mm即23m；∴3m例5设全集UR，2|10Mmmxx方程有实数根2|0,.UNnxxnCMN方程有实数根求【解析】当0m时，1x，即0M；当0m时，140,m即14m，且0m∴14m，∴1|4UCMmm而对于N，140,n即14n，∴1|4Nnn∴1()|4UCMNxx课后习题1.1.3[基础训练A组]一、选择题1．下列表示图形中的阴影部分的是（）A．()()ACBCB．()()ABACC．()()ABBCD．()ABC2．若全集0,1,2,32UUCA且，则集合A的真子集共有（）A．3个B．5个C．7个D．8个3．若集合}1,1{A，}1|{mxxB，且ABA，则m的值为（）