2020年全国新高考I卷数学高考真题

2020年新高考全国I卷（山东卷）数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合|13Axx，|24Bxx，则ABA．|23xxB．|23xxC．|14xxD．|14xx【分值】5分【答案】C【解析】略2.212iiA．1B.-1C.iD.i【分值】5分【答案】D【解析】2(2)(2)1214iiiiiii3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3买名，则不同的安排方法共有A．120种B．90种C．60种D．30种【分值】5分【答案】C【解析】126560CC种4.日晷是中国古代用来测量时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间。把地球看成一个球（球心记为O）,地球上一点A的维度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面，在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的维度为北纬o40，则晷针与点A处的水平面所成角为A．o20B．o40C．o50D．o90【分值】5分【答案】B【解析】略5.某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是A.62%B.56%C.46%D.42%【分值】5分【答案】C【解析】略6.基本再生数0R与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数。基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间。在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型：()rtIte描述累计感染病例数()It随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与0R，T近似满足01RrT,有学者基于已有数据估计出03.28R，6T.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln20.69)A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天【分值】5分【答案】B【解析】3.2816r得0.38r，0.38()tIte，0.38()0.382txtee得ln21.80.38x7.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则APAB的取值范围是A．(2,6)B．(6,2)C．(2,4)D．(4,6)【分值】5分【答案】A【解析】设：(1,3),(,),(2,0)APxyB(1,3),(1,3)APxyAB则：32APABxy令32Zxy，由线性规则得，最优解为：(1,3)C和(1,3)F，代入得6Z或2Z。8.若定义在R的奇函数()fx在(,0)单调递减，且(2)0f，则满足(1)0xfxx的的取值范围是A．[1,1][3,)B．[3,1][0,1]C．[1,0][1,)D．[1,0][1,3]【分值】5分【答案】D【解析】(1)0xfx①0x成立②0x＞时，(1)0fx，12012xx或，得：13x。③0x＜时，(1)0fx，21012xx或，得：10x＜。综上所述，x范围为1,01,3。二、选择题：本小题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。9.已知曲线22:1Cmxny.A.若0mn，则C是椭圆，其焦点在y轴上B.若0mn，则C是圆，其半径为nC．若0mn，则C是双曲线，其渐近线方程为myxnD．若0m，0n，则C是两条直线【分值】5分【答案】ABD【解析】略10.右图是函数sin()yx的部分图像，则sin()x=A．sin()3xB．sin(2)3xC.cos(2)6xD．5cos(2)6x【分值】5分【答案】BC【解析】略11.已知a0，b0,且a+b=1,则A.2212abB.122abC.22loglog2abD.2ab【分值】5分【答案】ABD【解析】略12.信息熵是信息论中的一个重要概念，设随机变量X所有可能的值为1,2，...n，且2i=1i=1P((X=i)=0,(i=1,2,...n)=1log)nniiiiHxpppp，，义熵定X的信息，则A.若1n，则()=HX0B.若2n，则H（X）随着ip的增大而增大C.若1=(1,2,...)ipinn，则()HX随着n增大而增大D.若2mn，随机变量Y所有可能的取值为1,2...i=m，，且211,2...()()j=jmjPYmHppxHY（j=）则（）=，，【分值】5分【答案】AC【解析】略三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.斜率为3的直线过抛物线2:4Cyx的焦点，且与C交于A，B两点，则||AB【分值】5分【答案】163【解析】略14.将数列21n与32n的公共项从小到大排列得到数列na，则na的前n项和为【分值】5分【答案】232nn【解析】略15.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的界面如图所示.O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形， BCDG，垂足为C，tan∠35ODC， //BHDG,12,2,EFcmDEcmA到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1，则图中阴影部分面积为______2cm.【分值】5分【答案】542【解析】略16.已知直四棱柱1111ABCDABCD的棱长均为2，∠60BAD°，以1D为球心，5为半径的球面与侧面11BCCB的交线长为______.【分值】5分【答案】22【解析】1D到M、N、E、F距离均为5交线为正方形MNFE的外接圆周长为22=2217.(10分)在①3ac,②sin3cA,③3cb这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.问题:是否存在ABCΔ,它的内角,,ABC的对边分别为,,,abc且sin3sin,6ABC,______？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【分值】10分【答案】选①：满足sin=3sinAB,c6,ac3∴6c,∴5sin()3sin6BB∴13cossin3sin22BBB,∴sin()06B∴B=6又∵C6,∴b=c,∴ab3且a3b解得3a,b=1,∴c=1，存在△ABC选②：sin=3sinAB,c6,csinA=3∵csinA=3,∴asinC=3,∴a=6又∵a3b,∴23b∴22232cosC3612243122cabab∴23c,∴B=62A3满足条件存在△ABC选③：3cb,sin=3sinAB,c6由①可知，B=6,故△ABC为等腰三角形c=b又∵3cb矛盾故不存在△ABC满足条件。18.(12分)已知公比大于1的等比数列na满足24320,8aaa.(1)求na的通项公式；(2)记mb为na在区间*0,mmN中的项的个数，求数列mb的前100项和100S.【分值】12分【答案】（1）由题意可知na为等比数列2420aa，38a可得3320aaqq得22520qq(21)(2)0qq∵1q∴2q（2）由题意及（1）可得12a112nnnaaq∵mb为na在*0,()mmN中的项的个数当2km时，mbk当12,2kkm时，1mbk，其中kN可知123450,1,1,2,2bbbbb……1006b∴1000214283164325376S48019.（12分）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的2.5PM和2SO浓度（单位：3gm），得下表：（1）估计事件“该市一天空气中2.5PM浓度不超过75，且2SO浓度不超过150”的概率；（2）根据所给数据，完成下面的2x2列联表：（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中2.5PM浓度与2SO浓度有关？附：22()()()()()nadbcKabcdacbd，【分值】12分【答案】（1）设“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO浓度不超过150”为事件A则32186864An64()0.64100AnPAn2分（2）根据所给数据，完成22列联表如下：2SOPM2.50,150150,4750,75641675,11510106分（每空1分）（3）可将（2）中22列联表补全如下：2SOPM2.50,150150,475总0,7564168075,115101020总74261008分2K的观测值22()()()()()nadbcKabcdacbd2100(10641610)36007.4848020267448110分由于7.4846.635故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO浓度有关。12分20（12分）如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，PD底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.（1）证明：l平面PDC（2）已知1PDAD，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.【分值】12分【答案】（1）因为四边形ABCD为正方形，故BC⊥CD又因为PD⊥底面ABCD，故PD⊥BC又由于PD∩DC=D，因此BC⊥平面PDC因为在正方形ABCD中BC∥AD，且AD平面PAD，BC平面PAD故BC∥平面PAD.又因为BC平面PBC，且平面PAD与平面PBC的交线为l故BC∥l因此l⊥平面PDC（2）由已知条件，PABCD底面为正方形，PD⊥底面ABCD，建立如图所示空间直角坐标系因为PD=AD=1，Q在直线l上，设(,0,1)Qa，其中aR，所以(0,0,0)D，(0,1,0)C，(1,1,0)B，(0,0,1)P则设平面QCD法向量为则，则法向量的一组解为设PB与平面QCD成角为则①若0a，则3sin3②若0a，则32sin113aa当1a时，326sin1323取到最大值。综上所述，PB与平面QCD成角的正弦值的最大值为6321.（12分)已知函数1lnlnxfxaexa（1）当ae时，求曲线yfx在点(1,1)f处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若1fx，求a的取值范围【分值】12分【答案】①当ae时，()ln1xfxex'1()xfxex∴'(1)1,(1)1kfefe∴(1)(1)(1)yeex即(1)2yex∴在y轴上的截距为2，在x轴的截距为21e∴1222||211See②1ln1()lnlnlnlnxaxfxaexaexa要使()1fx只需ln1lnln1axexa即xaxaln1lne1ln即xexxxaxxalnln1lneln1ln令()xgxex，故只需(ln1)(ln)gaxgx即可∵()gx为增函数∴只需ln1lnaxx即lnln1axx令()ln1hxxx'1()xhxx∴()hx在(0,1)递增，在(1,)递减∴max()(1)0hxh∴ln0a即1a22.（12