高等流体力学第2章流体运动的基本方程组

2020/7/26高等流体力学第二章流体运动的基本方程组1第二章流体运动的基本方程组2020/7/26高等流体力学第二章流体运动的基本方程组2建立完整的流体力学基本方程组，是从理论上(包括分析方法和数值方法)，解决流体力学问题的最重要的第一步，也是流体力学理论的核心和关键。建立流体力学基本方程组的依据：流体运动所遵循的物理定律：•质量守恒•动量守恒•动量矩守恒•能量守恒(热力学第一定律)•热力学第二定律•状态方程•本构方程物理定律以数学方程的形式表达即可得流体力学方程；数学表达式可是微分形式，也可是积分形式。由这些物理定律建立的方程组应为封闭方程组，在给定的边界条件及初始条件下，存在适定解。2020/7/26高等流体力学第二章流体运动的基本方程组3主要内容第一节系统与控制体第二节雷诺输运定理第三节基本方程组的一般论述第四节微分形式的连续性方程第五节微分形式的运动方程第六节微分形式的能量方程第七节积分形式的流体力学方程组第八节状态方程第九节初始条件及边界条件第十节流体力学的理论模型2020/7/26高等流体力学第二章流体运动的基本方程组4第一节系统与控制体一、系统一、系统——对应于拉格朗日描述第一节系统与控制体系统：系统指某一确定的流体质点的集合。拉格朗日描述中，以系统作为研究对象。•系统以外的环境称为外界；•系统与外界的界面称为系统的边界。2020/7/26高等流体力学第二章流体运动的基本方程组5第一节系统与控制体一、系统系统的特点：•系统将随系统内的质点一起运动，系统内的质点始终包含在系统内；•系统边界的形状和所包围空间的大小，可以随运动而发生变化；•系统与外界之间可以有力的作用及能量的交换，但无质量的交换。2020/7/26高等流体力学第二章流体运动的基本方程组6第一节系统与控制体一、系统说明：•由于力学中的一些基本定律是建立在质点和质点系上的，因此，当以系统作为研究对象时，流体力学的力学定律就可以直接用原始的数学形式进行表达。•在流体力学的许多问题中，把系统作为研究对象有时不很方便。•流体力学中更感兴趣的是物理量场的分布，因此需要采用控制体的概念。2020/7/26高等流体力学第二章流体运动的基本方程组7第一节系统与控制体二、控制体二、控制体——对应于欧拉描述控制体：控制体是指，在流体所在的空间中，以假想或真实流体边界包围、固定不动、形状任意的空间体积。•控制体以外的环境称为外界；•控制体的边界面称为控制面。2020/7/26高等流体力学第二章流体运动的基本方程组8第一节系统与控制体二、控制体控制体的特点：•控制体的形状大小不变，并且相对于坐标系固定不动(坐标系可以运动)；•控制体可通过控制面与外界环境有质量交换(控制体内的流体质点的组成是可变的)、能量交换以及力的相互作用。2020/7/26高等流体力学第二章流体运动的基本方程组9第二节雷诺输运定理一、物理量的定义一、物理量的定义第二节雷诺输运定理—t时刻的流场中，单位体积的流体所具有的物理量。tf,rd,tfIr—t时刻，流体域τ上流体的总物理量。2020/7/26高等流体力学第二章流体运动的基本方程组10第二节雷诺输运定理一、物理量的定义t—t时刻，流体中取定的一体积tS—t时刻，体积τ(t)的周界面n—周界面S(t)的外法线单位矢量v—周界面S(t)上的流体速度2020/7/26高等流体力学第二章流体运动的基本方程组11通过推导可得：第二节雷诺输运定理二、雷诺输运定理二、雷诺输运定理AtftfttfttItStd,d,d,DDDDnvrrr某一时刻流体中取定体积上系统总物理量的时间变化率某一时刻单位体积的流体所具有的物理量控制体(空间域)中物理量的时间变化率单位时间通过控制体(空间域)边界净输运的流体物理量之和某一时刻流体中取定体积上系统总物理量2020/7/26高等流体力学第二章流体运动的基本方程组12第二节雷诺输运定理二、雷诺输运定理雷诺输运定理：AtftfttfttItStd,d,d,DDDDnvrrr某一时刻系统总物理量的时间变化率，等于该时刻流体所在控制体(空间域)中物理量的时间变化率与单位时间通过该控制体边界净输运的流体物理量之和。2020/7/26高等流体力学第二章流体运动的基本方程组13说明：•控制体运动时，应用雷诺输运定理时，系统总物理量的时间变化率(方程左边项)需相对于随控制体一起运动的坐标系进行计算。•方程右边第二项代表单位时间通过控制体表面的流体净输运物理量，式中的速度应为流体质点相对于控制体表面的速度。第二节雷诺输运定理二、雷诺输运定理AtftfttfttIttd,d,d,DDDDSnvrrr2020/7/26高等流体力学第二章流体运动的基本方程组14第三节基本方程组的一般论述一、描述流体运动的基本定律一、描述流体运动的基本定律第三节基本方程组的一般论述在流体力学里，流体运动必须遵循的定律：•质量守恒定律•动量守恒定律•动量矩守恒定律•能量守恒定律(热力学第一定律)•熵不等式(热力学第二定律)力学定律热力学定律制约流体运动的最基本的物理定律2020/7/26高等流体力学第二章流体运动的基本方程组15第三节基本方程组的一般论述一、描述流体运动的基本定律补充方程：•状态方程•本构方程有关物性方面的方程2020/7/26高等流体力学第二章流体运动的基本方程组16第三节基本方程组的一般论述二、数学表达形式二、数学表达形式1.拉格朗日型基本方程与欧拉型基本方程•以拉格朗日变量为自变量的流体力学方程。•侧重于研究流体质点运动。拉格朗日型基本方程：2020/7/26高等流体力学第二章流体运动的基本方程组17第三节基本方程组的一般论述二、数学表达形式•以欧拉变量为自变量的流体力学方程。•侧重于研究流体物理量的分布(场分布)。欧拉型基本方程：由于流体力学中大多数问题是想获得流体物理量的场分布，因此常常采用欧拉型基本方程。说明：2020/7/26高等流体力学第二章流体运动的基本方程组18第三节基本方程组的一般论述二、数学表达形式2.积分形式方程与微分形式方程•基本运动定律的数学表达式以积分的形式出现。•在推导积分形式基本方程时，需在流体中取一个有限体积，通过运用基本定律经积分即可得到积分形式的基本方程。•积分形式基本方程在求总体性流体物理量(如求压强的合力、流量等)时比较简单，但不能获得物理量的场分布。积分形式基本方程：2020/7/26高等流体力学第二章流体运动的基本方程组19第三节基本方程组的一般论述二、数学表达形式•基本运动定律的数学表达式以微分的形式出现。•在推导微分形式基本方程时，需在流体内取一流体微元，对该流体微元运用基本定律，即可直接得到微分形式的基本方程。•通过微分形式基本方程的求解，可以获得物理量的场分布。微分形式基本方程：2020/7/26高等流体力学第二章流体运动的基本方程组20第四节微分形式的连续性方程一、质量守恒定律一、质量守恒定律第四节微分形式的连续性方程对系统而言的质量守恒定律：包含在流体系统中的流体质量在运动过程中保持不变。对控制体而言的质量守恒定律：一个固定空间中的流体质量的变化率等于通过其表面的质量通量。2020/7/26高等流体力学第二章流体运动的基本方程组21第四节微分形式的连续性方程二、欧拉型的连续性方程二、欧拉型的微分形式的连续性方程欧拉型的微分形式的连续性方程：或：0zwyvxut0divvt或：0divDDvtzwyvxuvdiv：散度公式vttDD2020/7/26高等流体力学第二章流体运动的基本方程组22第四节微分形式的连续性方程二、欧拉型的连续性方程两种特殊情况的连续性方程：(1)定常运动0t0DDt(2)不可压缩流体0divv0divv表示从单位体积内净流出的质量为零。表明流体不可压缩时，体积不膨胀不收缩。0divvt0divDDvt2020/7/26高等流体力学第二章流体运动的基本方程组23第四节微分形式的连续性方程二、拉格朗日型的连续性方程三、拉格朗日型的微分形式的连续性方程流体系统：t=t0：微元体积dτ0，密度ρ0t=t：微元体积dτ，密度ρ质量守恒：00dd2020/7/26高等流体力学第二章流体运动的基本方程组24第四节微分形式的连续性方程二、拉格朗日型的连续性方程000000,,,,,,,,,tcbazztcbayytcbaxxt0和t时刻流体质点的位置用质点的拉格朗日变数表示为：tcbazztcbayytcbaxx,,,,,,,,,cbaDzyxddddddd00000变换cbaDzyxddddddd2020/7/26高等流体力学第二章流体运动的基本方程组25其中：cbaDzyxddddddd00000cbaDzyxdddddddczcycxbzbybxazayaxD0000000000czcycxbzbybxazayaxD拉格朗日型的微分形式的连续性方程：00dd00DD第四节微分形式的连续性方程二、拉格朗日型的连续性方程2020/7/26高等流体力学第二章流体运动的基本方程组26第五节微分形式的运动方程第五节微分形式的运动方程动量守恒定律：对一个给定的流体系统，其动量的时间变化率等于作用于其上的外力总和。数学表达式即为运动方程2020/7/26高等流体力学第二章流体运动的基本方程组27第五节微分形式的运动方程一、运动方程一、运动方程根据动量守恒定律，通过一微六面体的受力分析，可以推得微分形式的运动方程：PFvdivDDbρt其中：zyxzyxpppPdiv单位体积流体的惯性力作用于单位体积流体上的质量力作用于单位体积流体上的表面力2020/7/26高等流体力学第二章流体运动的基本方程组28第五节微分形式的运动方程一、运动方程直角坐标系中的运动方程的分量形式：zpypxpρtwzpypxpρtvzpypxpρtuzzyzxzzyyyxyzxyxxxbzbybxFDDFDDFDDPFvdivDDbρt2020/7/26高等流体力学第二章流体运动的基本方程组29第五节微分形式的运动方程二、运动方程的几种特殊形式二、运动方程的几种特殊形式1.纳维-斯托克斯方程(N-S方程)vSFvdivgrad322divgradDDbpρt应变率张量应用应力张量与应变率张量的关系进行变换，可以推得纳维-斯托克斯方程单位体积的惯性力单位体积的质量力作用于单位体积流体的压强梯度力粘性变形应力粘性体膨胀应力PFvdivDDbρt2020/7/26高等流体力学第二章流体运动的基本方程组30第五节微分形式的运动方程二、运动方程的几种特殊形式当流体均质不可压，即：均质不可压时的纳维-斯托克斯方程的形式：0divv常数，常数，vv2bgradFDDpρtwzpρtwvypρtvuxpρtu2bz2by2bxFDDFDDFDD分量形式：经常用到的形式vSFvdivgrad322divgradDDbpρt2020/7/26高等流体力学第二章流体运动的基本方程组31第五节微分形式的运动方程二、运动方程的几种特殊形式2.欧拉方程——无粘性流体的运动方程pρtgradFDDbv3.静力学方程pρgradFbPFvdivDDbρt202