西安科技大学电路教案ch8教案

1第8章正弦量与相量教学目的：本章是利用正弦量和复数之间的对应关系引入相量的概念，从而可以将微分方程的特解问题转化成解复数代数方程的问题，使正弦激励下线性正弦稳态电路的求解简单化；为下章分析正弦稳态复杂电路打下基础。要求：1.了解正弦波形的数学描述；2.理解用相量表示正弦量；3.掌握两类约束的相量形式；4.掌握用相量法求解简单正弦稳态电路；5.深刻理解阻抗和导纳；掌握阻抗和导纳的相互转换和串并联等效。重点：1.用相量表示正弦量。2.用相量法求解简单正弦稳态电路。3.阻抗和导纳的概念。难点：用相量表示正弦量并用相量法求解简单正弦稳态电路；相量图，阻抗和导纳。内容：1.正弦量2.正弦量的相量表示3三种基本电路元件和电路定律的相量形式4阻抗和导纳5阻抗（导纳）的串联和并联本章和后续几章只研究电路在正弦激励下的稳态响应。本章介绍电压、电流随时间按正弦规律变化的电路即正弦电流电路，这是一类在理论上和工程上具有重要意义的电路。主要内容包括：正弦量的相量表示、元件方程和基尔霍夫定律的相量形式、阻抗和导纳的概念、电路方程和电路定理的相量形式、含互感的正弦电流电路的计算、正弦电流电路功率的特点及计算方法。§8-1正弦量基本要求：掌握正弦量的振幅、角频率和初相位；正弦量的瞬时值、有效值和相位差。正弦量：随时间按正弦规律变化的（变）量称为正弦量，可用sin或cos表示，这里采用cos表示法。2一、正弦量的三要素设某支路电流按正弦规律变化，其瞬时值表达式为)cos()(imtIti，波形如图8-1所示。1.振幅Im：最大的瞬时值。即2.角频率ω：也称为角速度它是相位随时间变化的快慢程度。即)(itdtd,单位为弧度/秒（rad/s）。角频率跟周期T和频率f之间的关系为f2，Tf/1周期T的单位为s，频率f的单位为1/s，称为赫兹（Hz，简称赫）。我国电力网正弦交流电的频率是50Hz。工程中常以频率区分电路，如音频（20～20×103Hz）电路。3.初相位（角）：)(ut为正弦量的相位或相角，它表示正弦量的变化进程，0t时的相位称为初相位（角），即itit0)(这三个量称为正弦量的三要素。o22TTttimIi2图8-1正弦量)(ti的波形二、有效值的定义、正弦量的有效值1.有效值的定义：周期电流的有效值等于其瞬时值的平方在一个周期内积分的平均值的平方根，故有效值又称方均根值。工程上，对于周期变化的电流、电压而言，如两个值相等的电阻R，分别给它们通入直流电流I和周期变化的电流i（设周期为T），如果在相同的时间T内，设两个电阻消耗的能量相等，即dtRiRTIT022由该式得)cos()(itmtiI3dtiTIT021(8-3)式中I就是周期电流的有效值。2.正弦量的有效值：若周期电流为正弦量，即)cos(imtIi，代入（8-3）式，有mmTimTimIIdttITdttITI707.021])(2cos1[21)(cos102022IIIm414.12UUUm414.12(8-4)最大值是有效值的2倍。正弦电流和正弦电压的瞬时值表达式可以分别写为)cos(2)(itIti，)cos(2)(utUtu工程上电气设备铭牌上所标的额定电流、电压，交流电压表、电流表（电磁系仪表）所测的都是有效值。三、正弦量的相位差1.定义：相位差是两个同频率正弦量之间的相位之差。设两个同频率的正弦电压u和电流i分别为)cos(2)(utUtu，)cos(2)(itIti其波形如图8-2所示。电压和电流之间的相位差为电压的相位减去电流的相位，即iuiutt)()(＝o2tiuu,iui图8-2两个同频率正弦量的相位差相位差是在主值范围180内取值的。相位差反映了同频率正弦量的“超前”、“滞后”的关系。2.结论：当0称u超前i，如图8-2所示。u超前i说明u先到达正的最大值；当0称u滞后i；当0称u和i同相位；当2/称u与i正交；4当称u与i彼此反相。例8-1设有两个同频率的正弦电流分别为A)135cos(210)(1tti，A)sin(25)(2tti，求它们的相位差，并说明超前、滞后关系。解首先将2i改写成用cosine函数的表示形式，即)90cos(25)sin(25)(2ttti根据式（8-6），有013522590(13521＝－）＝因为0，所以1i滞后于2i135。§8-2正弦量的相量表示为了求解一个正弦量激励的电路，如果直接用瞬时值表达式进行运算，计算将很繁琐，有时甚至是不可能的。为此，借助复数来表示正弦量，进而简化正弦量之间的运算，使正弦稳态电路的分析和计算简单化。下面首先复习一下复数。一、复数的复习1.复数F（向量）形式一个复数F可有几种表示形式，在复平面上的如图8-3所示。(1)直角坐标式：jbaF式中1j为虚单位（因为电路中i表示电流，则用j）。cos]Re[FFa，sin]Im[FFb，]arg[F1jaboF图8-3复数的表示(2)三角函数表达式、指数式或极坐标式：利用尤拉公式sincosjej，可得复数F的三角函数表达式、指数表达式以及极坐标表达式，即FeFFjFjbaFjsincos2.复数的运算：（1）复数的加减运算：设111jbaF和222jbaF，)()()()(2121221121bbjaajbajbaFF复数的加减运算可以在复平面上按平行四边形法求得，见图8-4。51j1F2F21FFo2F1j1F2F21FFo（a）代数和（b）代数差图8-4复数的加减运算图示法（2）复数的乘法与除法运算：用指数或极坐标方式比较方便，设11111FeFFj和22222FeFFj，它们的乘法2121)(2121212121FFeFFeFeFFFjjj除法运算2121)(2111212121FFeFFeFeFFFjjj图8-5为两个复数相乘的图解表示。两个复数相乘结果是模相乘，辐角相加；两个复数相除结果是模相除，辐角相减。1j1F2F21FFo1221图8-5复数乘法运算的图示法3.旋转因子：任意复数F乘以单位复数je等于把复数F逆时针旋转一个角度，而模值却不变，称单位复数je为旋转因子。若2/，则jej90，因此称j为90旋转因子。一个复数乘以j等于将该复数逆（或顺）时针旋转90。例8-2将下列复数1051jF，432jF，342jF和40104jF写成极坐标形式。解求解时注意复数所处的象限。4.6318.11)510arctan(105105221jF9.1265)34arctan(4)3(43222jF1.1435)43arctan()3()4(34223jF60.7623.41)1040arctan(40104010224jF例8-3设861jF，13552F，求21FF、21FF和21/FF。解1.5310861jF，5.35.3)135sin135(cos513552jjF，则7.7777.11)5.2/5.11arctan(5.115.25.115.25.35.3862221jjjFF9.171501.18850)1355)(1.5310(21FF9.812)1351.53(213551.531021FF三、相量的定义设复数jeFF，如果t，则)sin()cos()(tFjtFeFFtj取F的实部，即)cos(]Re[tFF设)cos(2)(itIti，则]2Re[]2Re[]2Re[)()(tjtjjtjeIeeIeItiiiijIeIIi定义I为正弦电流)(ti的“有效值”相量，称为电流相量。是一个复数，tjeI2说明给复数I乘以2后，它以角速度逆时针方向旋转，在实轴上的投影就是正弦电流)(ti，这一对应关系如图8-6所示。由于复平面上表示的是相量，所以图8-7称为相量图。因为相量代表着正弦量，所以只有同频率的正弦量所对应的相量才可以画在同一个相量图上。1j0t1t1t2)(titoiI2io图8-6复数与正弦量的对应关系1jIiouU图8-7正弦量的相量图7三、时域运算和相量运算的关系引入相量就是将时域中的正弦量变换到相量域（复数域）的相量（复数）形式，利用复数工具分析正弦稳态电路。时域正弦电压和复数域电压相量之间的对应关系为uuUUtUtu)cos(2)(（时域）（相量域）式中表示了正弦量相量与其对应的正弦量之间的映射关系，它们之间可以相互转换。下面讨论时域正弦量的运算关系映射到相量域的运算关系。1．同频率正弦量的代数和运算设正弦量电压)cos(2111tUu，)cos(2222tUu，…，各自的相量分别为1U，2U，…，设它们的和仍为正弦量电压，则)cos(2]2Re[])(2Re[]2Re[]2Re[211121utjtjtjtjtUeUeUUeUeUuuu21UUU结论：时域正弦量的代数和映射到相量域为对应各相量的代数和。2．微分运算设正弦量电压)cos(2utUu，相量为U，对u求导，)2/cos(2]2Re[]2Re[]2Re[utjtjtjtUeUjeUdtdeUdtddtdu正弦量时域微分和相量域之间的映射关系为Ujdtdu结论：正弦量的导数仍是一个同频率的正弦量，其相量等于原相量U乘以j。3．积分运算设正弦量电压)cos(2utUu，相量为U，对u积分，则)2/cos(2]12[Re]2[Re]2[ReutjtjtjtUeUjdteUdteUtdu正弦量时域积分和相量域之间的映射关系为Ujdtu1结论：正弦量的积分仍是一个同频率的正弦量，其相量等于原相量U除以j。8例8-4已知A)30314cos(241ti，A)20314sin(252ti，用相量映射关系求：（1）21iii；（2）tdid/1；（3）tdi2。解首先写出已知正弦量电流对应的相量，即A3041I，A11052I由（8-9）式，得（1）A0.5722.370.275.170.471.1246.3110530421jjjIII将相量转换到时域，即A)0.57314cos(222.3ti（2）用相量求解。1201256304314/11jIjdtid则瞬时值表达式为)120314cos(21256/11ttdid（3）由（8-11）式，dti2的相量为160016.0200016.031411052jjωI则瞬时值表达式为)160314cos(2016.02tdti可以用复数（相量）表示正弦量。正弦量的代数和、微分、积分仍然是同频率的正弦量。时域正弦量代数和关系映射到相量域仍然为代数和，而时域正弦量微分和积分映射到相量域分别给原相量乘以或除以j。§8-3三种基本电路元件和电路定律的相量关系本节讨论R、L和C的VCR的相量形式。另外讨论电路定律KCL、K