三角函数高考复习高品质版

考纲要求考情分析1.了解任意角的概念．2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.1.从考查内容看，主要考查终边相同的角的表示和三角函数的定义，其中三角函数的定义是考查的重点，且常与三角恒等变形结合在一起考查．2.从考查形式看，常以选择题、填空题为主，难度不大，属中低档题.一、任意角1．角的分类按始边的旋转方向分为、、．正角负角零角2．象限角3．象限界角4．终边相同的角所有与角α终边相同的角(连同α在内)，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．1．终边相同的角相等吗？“角α是锐角”是“角α为第一象限角”的什么条件？提示：相等的角终边一定相同，终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．角α为锐角，则α一定是第一象限的角，反之不一定成立．故角α是锐角是角α为第一象限角的充分不必要条件．二、弧度制及常用公式2．弧度制和角度制在同一问题中能同时用吗？提示：弧度制和角度制是两种不同的单位制，在解题中不能同时运用，否则将产生混乱．三、任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝，cosα＝，tanα＝(x≠0)．各象限符号ⅠⅡⅢⅣ口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦yxyx正正正正负负负负正负正负三角函数正弦余弦正切终边相同的角的三角函数(k∈Z)(公式一)sin(α＋2kπ)＝____cos(α＋2kπ)＝______tan(α＋2kπ)＝______三角函数线有向线段___为正弦线有向线段为余弦线有向线段____为正切线MPOMATsinαcosαtanα3．如何去认识三角函数线？提示：(1)三角函数线是三角函数的几何表示，它能帮助我们理解和运用三角函数的定义，(2)要用运动的观点理解角α与对应的三角函数线即三角函数值的变化情况．1．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在()A．第一或第三象限B．第一或第二象限C．第二或第四象限D．第三或第四象限解析：当k＝2n(n∈Z)时，α＝2n·180°＋45°(n∈Z)，在第一象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时，α＝2n·180°＋225°，(n∈Z)在第三象限．答案：A2．点A(sin2011°，cos2011°)在直角坐标系上位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：sin2011°＝sin(5×360°＋211°)＝sin221°0，cos2011°＝cos(5×360°＋211°)＝cos211°0，故点A在第三象限．答案：C3．已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是()A．1B．4C．1或4D．2或4解析：设此扇形的半径为r，弧长是l，则2r＋l＝6，12rl＝2，解得r＝1，l＝4或r＝2，l＝2.从而α＝lr＝41＝4或α＝lr＝22＝1.答案：C4．角α终边上有一点P(x,5)，且cosα＝x13(x≠0)，则sinα＝______.解析：∵r＝x2＋25，∴cosα＝xr＝xx2＋25＝x13.∵x≠0，∴x2＋25＝13，∴x2＝144，x＝±12.∴r＝13.∴sinα＝yr＝513.答案：5135．已知角α(0≤α＜2π)的终边过点Psin2π3，cos2π3，则α＝________.解析：依题意得，点P的坐标为32，－12，位于第四象限，且tanα＝－1232＝－33；又0≤α＜2π，于是α＝11π6.答案：11π6【考向探寻】1．终边相同的角的应用．2．判断有关角是第几象限角．【典例剖析】(1)若角θ的终边与67π的终边相同，则在[0,2π)内终边与θ3角的终边相同的是________．(2)如果α是第三象限的角，试确定－α，2α的终边所在位置．(1)写出θ的值→写出θ3的表达式→根据范围求解；(2)写出α的范围→写出－α，2α的范围→判断终边的位置.(1)解析：∵θ＝67π＋2kπ(k∈Z)，∴θ3＝27π＋23kπ(k∈Z)．依题意，令k＝0,1,2得θ3＝27π，2021π，3421π.答案：27π，2021π，3421π(2)解：由α是第三象限的角得π＋2kπ＜α＜3π2＋2kπ，(k∈Z)，∴－3π2－2kπ＜－α＜－π－2kπ，(k∈Z)．即π2＋2kπ＜－α＜π＋2kπ(k∈Z)．∴角－α的终边在第二象限；由π＋2kπ＜α＜3π2＋2kπ，得2π＋4kπ＜2α＜3π＋4kπ(k∈Z)．∴角2α的终边在第一、二象限及y轴的非负半轴．【互动探究】在本例(2)的条件下，判断α3的终边所在的位置．解：∵π＋2kπα3π2＋2kπ(k∈Z)，∴π3＋2kπ3α3π2＋2kπ3(k∈Z)．当k＝3n(n∈Z)时，π3＋2nπα3π2＋2nπ(n∈Z)；当k＝3n＋1(n∈Z)时，2π3＋2nπα35π6＋2nπ(n∈Z)；当k＝3n＋2(n∈Z)时，5π3＋2nπα3116π＋2nπ(n∈Z)．∴α3的终边在第一、二、四象限．(1)已知α的终边位置，确定kα，αk(k∈N*)的终边位置的方法：先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出kα或αk的范围，然后根据k的可能取值讨论确定kα或αk的终边所在位置．(2)当已知α分别为第一、二、三、四象限角时，记住α2所在象限，对有关问题的解决很有帮助(如图)：Ⅰ区表示α为第一象限角时α2的位置，其余相同.【考向探寻】1．任意角的三角函数的定义．2．求终边给定的角的三角函数值．3．三角函数值符号的判定．4．三角函数线的应用．【典例剖析】(1)如果点P(sinθ·cosθ，2cosθ)位于第三象限，则角θ的终边在第________象限．(2)(2013·佛山模拟)如图所示，角的终边与单位圆(圆心在原点，半径为1的圆)交于第二象限的点Acosα，35，则cosα－sinα＝________.(3)已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα＋cosα＋45tanα的值．题号分析(1)根据sinθ·cosθ，2cosθ的符号判断θ的位置；(2)由|OA|＝1确定cosα、sinα的值即可；(3)根据三角函数的定义求解，需考虑角终边的位置.(1)解析：因为点P(sinθ·cosθ，2cosθ)位于第三象限，所以sinθ·cosθ＜0,2cosθ＜0，即sinθ＞0cosθ＜0，所以θ为第二象限角．即角θ在第二象限．答案：二(2)解析：由题意得cos2α＋352＝1，∴cos2α＝1625.又cosα0，∴cosα＝－45，∴sinα＝35，∴cosα－sinα＝－75.答案：－75(3)解：∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上，∴在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)，则r＝4t2＋－3t2＝5|t|，当t＞0时，r＝5t，sinα＝－3t5t＝－35，cosα＝4t5t＝45，tanα＝－3t4t＝－34；∴sinα＋cosα＋45tanα＝－35＋45＋45×－34＝－25.当t＜0时，r＝－5t，sinα＝－3t－5t＝35，cosα＝4t－5t＝－45，tanα＝－3t4t＝－34.∴sinα＋cosα＋45tanα＝35－45＋45×－34＝－45.综上所求值为－25或－45.(1)判断三角函数值的符号就是判断角终边所在的位置．(2)定义法求三角函数值的两种情况①已知角α终边上一点P(x，y)的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解，即sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx.②已知角α的终边所在的直线方程，则应分两种情况，转化为(1)求解．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值．【活学活用】1.(1)在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围．并由此写出角α的集合：①sinα≥32；②cosα≤－12.解：①作直线y＝32交单位圆于A、B两点，连接OA、OB，则OA与OB围成的区域(图中阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为α2kπ＋π3≤α≤2kπ＋23π，k∈Z.②作直线x＝－12交单位圆于C、D两点，连接OC、OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为α2kπ＋23π≤α≤2kπ＋43π，k∈Z.(2)已知角θ的终边经过点P(－3，m)(m≠0)且sinθ＝24m，试判断角θ所在的象限，并求cosθ和tanθ的值．解：由题意得，r＝3＋m2，∴m3＋m2＝24m，∵m≠0，∴m＝±5，故角θ是第二或第三象限角．当m＝5时，r＝22，点P的坐标为(－3，5)，角θ是第二象限角，∴cosθ＝－322＝－64，tanθ＝5－3＝－153.当m＝－5时，r＝22，点P的坐标为(－3，－5)，角θ是第三象限角．∴cosθ＝－322＝－64，tanθ＝－5－3＝153.【考向探寻】1．弧度制与角度制的互化．2．求扇形的弧长和面积．【典例剖析】(1)(2013·哈尔滨模拟)已知扇形的面积为3π16，半径为1，则该扇形的圆心角的弧度数是A.3π16B.3π8C.3π4D.3π2(2)(12分)已知扇形的周长为4cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，扇形面积最大？并求出这个最大面积．(1)利用扇形面积公式解题；(2)利用扇形弧长和面积公式，把扇形面积表示成关于圆心角或半径的函数，利用函数知识求解．(1)S扇＝12lr＝12|α|r2＝12|α|×1＝3π16，∴|α|＝3π8.答案：B(2)方法一：设扇形的圆心角为α(0＜α＜2π)，半径为r，面积为S，弧长为l，则有l＝αr.…………………………2分由题意有αr＋2r＝4，得r＝4α＋2(cm).………………………………………4分∴S＝124α＋22·α＝8αα2＋4α＋4＝8α＋4α＋4≤82α·4α＋4＝1(cm2)，当且仅当α＝4α，即α＝2时等号成立，……………8分此时r＝42＋2＝1(cm).………………………………10分故当半径r＝1cm、圆心角为2rad时，扇形面积最大，其最大值为1cm2.…………………………………………12分方法二：设扇形的圆心角为α(0＜α＜2π)，半径为r，面积为S，则扇形的弧长为rα.………………………………2分由题意得2r＋rα＝4，∴α＝4－2rr.…………………4分∴S＝12αr2＝12×4－2rr×r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1，8分∴当r＝1(cm)时，S有最大值1(cm2)，此时α＝4－2rr＝2(rad).………………………………10分故当半径为1cm、圆心角为2rad时，扇形面积最大，其最大值为1cm2.…………………………………………12分在弧度制下，弧长公式为l＝αr，扇形面积公式为S＝12lr＝12αr2，α为圆心角，r为半径，l为弧长，其中α∈(0,2π)．应用上述公式时，要先把角统一为用弧度表示．【活学活用】2．若扇形的周长是一定值C(C＞0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？解：设扇形弧长为l，半径为r，扇形面积为S.则l＋2r＝C，S＝12lr.方法一：把S化为关于r的二次函数，S＝12(C－2r)r＝－r2＋12Cr＝－r－C42＋C216.∵0＜r＜C2，∴当r＝C4时，面积S有最大值C216.此时l＝C－2r＝C－2×C4＝C2.∴a＝lr＝2(rad)即当扇形圆心角为2rad时，扇形面积有最大值C216.方法二：S＝12lr＝14l2r≤14l＋2r22＝14C22＝C216.上式当且仅当l＝2r＝C2时等号成立．∴α＝lr＝2(rad)时，S有最大值C216.已知角θ的终边上一点P(3a,4a)(a≠0)，求角θ的正弦、余弦和正切值．由题意知r＝3a2＋4a2＝25a2＝5a，∴sinθ＝4a5a＝45，cosθ＝3a5a＝35，tanθ＝4