高考文科数学练习题等差数列及其前n项和

1课时跟踪检测（三十二）等差数列及其前n项和[A级基础题——基稳才能楼高]1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，a5＝5，则S7的值是()A．30B．29C．28D．27解析：选C由题意，设等差数列的公差为d，则d＝a5－a35－3＝1，故a4＝a3＋d＝4，所以S7＝7a1＋a72＝7×2a42＝7×4＝28.故选C.2．(2019·北京丰台区模拟)数列{2n－1}的前10项的和是()A．120B．110C．100D．10解析：选C∵数列{2n－1}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴S10＝a1＋a10×102＝1＋19×102＝100.故选C.3．(2019·豫北重点中学联考)已知数列{an}中a1＝1，an＋1＝an－1，则a4等于()A．2B．0C．－1D．－2解析：选D因为a1＝1，an＋1＝an－1，所以数列{an}为等差数列，公差d为－1，所以a4＝a1＋3d＝1－3＝－2，故选D.4．(2019·张掖质检)设等差数列{an}的公差为d，且a1a2＝35,2a4－a6＝7，则d＝()A．4B．3C．2D．1解析：选C∵{an}是等差数列，∴2a4－a6＝a4－2d＝a2＝7，∵a1a2＝35，∴a1＝5，∴d＝a2－a1＝2，故选C.5．(2019·南昌模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝50，S10＝200，则a10＋a11的值为()A．20B．40C．60D．80解析：选D设等差数列{an}的公差为d，由已知得S5＝5a1＋5×42d＝50，S10＝10a1＋10×92d＝200，即2a1＋2d＝10，a1＋92d＝20，解得a1＝2，d＝4.∴a10＋a11＝2a1＋19d＝80.故选D.[B级保分题——准做快做达标]1．(2019·惠州调研)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a9＝12a12＋6，a2＝4，则数列1Sn的前10项和为()A.1112B．1011C.910D．89解析：选B设等差数列{an}的公差为d，由a9＝12a12＋6及等差数列的通项公式得a1＋5d＝12，又a2＝4，∴a1＝2，d＝2，∴Sn＝n2＋n，∴1Sn＝1nn＋1＝1n－1n＋1，∴1S1＋1S2＋…＋1S10＝1－12＋12－13＋…＋110－111＝1－111＝1011.选B.2．(2019·昆明适应性检测)已知等差数列{an}各项均为正数，其前n项和为Sn，若a1＝1，S3＝a2，则a8＝()A．12B．13C．14D．15解析：选D法一：设等差数列{an}的公差为d，由题意得3＋3d＝1＋d，解得d＝2或d＝－1(舍去)，所以a8＝1＋7×2＝15，故选D.法二：S3＝a1＋a2＋a3＝3a2，由S3＝a2可得3a2＝a2，解得a2＝3或a2＝0(舍去)，则d＝a2－a1＝2，所以a8＝1＋7×2＝15，故选D.3．(2019·南宁名校联考)等差数列{an}中，a3＋a7＝6，则{an}的前9项和等于()A．－18B．27C．18D．－27解析：选B法一：设等差数列的公差为d，则a3＋a7＝a1＋2d＋a1＋6d＝2a1＋8d＝6，所以a1＋4d＝3.于是{an}的前9项和S9＝9a1＋9×82d＝9(a1＋4d)＝9×3＝27，故选B.法二：由等差数列的性质，得a1＋a9＝a3＋a7＝6，所以数列{an}的前9项和S9＝9a1＋a92＝9×62＝27，故选B.34．(2019·中山一中统测)设数列{an}的前n项和为Sn，且an＝－2n＋1，则数列Snn的前11项和为()A．－45B．－50C．－55D．－66解析：选D∵an＝－2n＋1，∴数列{an}是以－1为首项，－2为公差的等差数列，∴Sn＝n[－1＋－2n＋1]2＝－n2，∴Snn＝－n2n＝－n，∴数列Snn是以－1为首项，－1为公差的等差数列，∴数列Snn的前11项和为11×(－1)＋11×102×(－1)＝－66，故选D.5．(2019·南昌模拟)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为()A．1升B．6766升C.4744升D．3733升解析：选B设该等差数列为{an}，公差为d，由题意得a1＋a2＋a3＋a4＝3，a7＋a8＋a9＝4，即4a1＋6d＝3，3a1＋21d＝4，解得a1＝1322，d＝766.∴a5＝1322＋4×766＝6766.故选B.6．(2019·云南统一检测)已知等差数列{an}中，a1＝11，a5＝－1，则{an}的前n项和Sn的最大值是()A．15B．20C．26D．30解析：选C设数列{an}的公差为d，则d＝a5－a15－1＝－3，所以an＝a1＋(n－1)d＝－3n＋14，由an≥0，an＋1≤0⇒14－3n≥0，11－3n≤0，解得113≤n≤143，即n＝4，所以{an}的前4项和最大，且S4＝4×11＋4×32×(－3)＝26，故选C.7．(2019·四川三地四校联考)在等差数列{an}中，a1＝－2015，其前n项和为Sn，若S1212－S1010＝2，则S2018＝()A．2018B．－20184C．4036D．－4036解析：选C设等差数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，则Snn＝An＋B，∴Snn是等差数列．∵S1212－S1010＝2，∴Snn的公差为1，又S11＝a11＝－2015，∴Snn是以－2015为首项，1为公差的等差数列，∴S20182018＝－2015＋2017×1＝2，∴S2018＝4036.故选C.8．(2019·太原模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)在函数y＝x2－10x的图象上，等差数列{bn}满足bn＋bn＋1＝an(n∈N*)，其前n项和为Tn，则下列结论正确的是()A．Sn2TnB．b4＝0C．T7b7D．T5＝T6解析：选D因为点(n，Sn)(n∈N*)在函数y＝x2－10x的图象上，所以Sn＝n2－10n，所以an＝2n－11，又bn＋bn＋1＝an(n∈N*)，数列{bn}为等差数列，设公差为d，所以2b1＋d＝－9,2b1＋3d＝－7，解得b1＝－5，d＝1，所以bn＝n－6，所以b6＝0，所以T5＝T6，故选D.9．(2019·长春模拟)已知数列{an}是等差数列，其前n项和Sn有最大值，且a2019a2018－1，则使得Sn0的n的最大值为()A．2018B．2019C．4035D．4037解析：选C设等差数列{an}的公差为d，由题意知d0，a20180，a2018＋a20190，所以S4035＝4035a1＋a40352＝4035a20180，S4036＝4036a1＋a40362＝4036a2018＋a201920，所以使得Sn0的n的最大值为4035，故选C.10．(2019·武汉模拟)设等差数列{an}满足a3＋a7＝36，a4a6＝275，且anan＋1有最小值，则这个最小值为()A．－10B．－12C．－9D．－13解析：选B设等差数列{an}的公差为d，∵a3＋a7＝36，∴a4＋a6＝36，又a4a6＝275，联立，解得a4＝11，a6＝25或a4＝25，a6＝11，当a4＝11，a6＝25时，可得a1＝－10，d＝7，此时an＝7n－17，a2＝－3，a3＝4，易知当n≤2时，an0，当n≥3时，an0，∴a2a3＝－12为anan＋1的最小值；5当a4＝25，a6＝11时，可得a1＝46，d＝－7，此时an＝－7n＋53，a7＝4，a8＝－3，易知当n≤7时，an0，当n≥8时，an0，∴a7a8＝－12为anan＋1的最小值．综上，anan＋1的最小值为－12.11．(2019·广州适应性测试)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a3＝5，且S1，S5，S7成等差数列，则数列{an}的通项公式an＝________.解析：设等差数列{an}的公差为d，∵a3＝5，且S1，S5，S7成等差数列，∴a1＋2d＝5，a1＋7a1＋21d＝10a1＋20d，解得a1＝1，d＝2，∴an＝2n－1.答案：2n－112．(2018·北京高考)设{an}是等差数列，且a1＝3，a2＋a5＝36，则{an}的通项公式为________．解析：法一：设数列{an}的公差为d.∵a2＋a5＝36，∴(a1＋d)＋(a1＋4d)＝36，∴2a1＋5d＝36.∵a1＝3，∴d＝6，∴an＝6n－3.法二：设数列{an}的公差为d，∵a2＋a5＝a1＋a6＝36，a1＝3，∴a6＝33，∴d＝a6－a15＝6.∵a1＝3，∴an＝6n－3.答案：an＝6n－313．(2019·南昌模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＋a7＝4，a6＋a8＝－2，则当Sn取最大值时，n的值是________．解析：依题意得2a6＝4,2a7＝－2，a6＝20，a7＝－10.又数列{an}是等差数列，所以在该数列中，前6项均为正数，自第7项起以后各项均为负数，于是当Sn取最大值时，n＝6.答案：614．(2019·石家庄重点高中摸底考试)设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2，a5，a11成等比数列，且a11＝2(Sm－Sn)(mn0，m，n∈N*)，则m＋n的值是________．解析：设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，因为a2，a5，a11成等比数列，所以a25＝a2a11，所以(a1＋4d)2＝(a1＋d)(a1＋10d)，解得a1＝2d，又a11＝2(Sm－Sn)(mn0，m，n∈N*)，所以2ma1＋m(m－1)d－2na1－n(n－1)d＝a1＋10d，化简得(m＋n＋3)(m－n)＝12，因为mn0，m，n∈N*，所以m－n＝1，m＋n＋3＝12或m－n＝2，m＋n＋3＝6，解得m＝5，n＝4或m＝52，n＝126(舍去)，所以m＋n＝9.答案：915．(2019·江西三校联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝45，S6＝60.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＋1－bn＝an(n∈N*)，且b1＝3，求1bn的前n项和Tn.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则a6＝S6－S5＝15，所以a6＝a1＋5d＝15，S5＝5a1＋10d＝45，解得a1＝5，d＝2，所以an＝2n＋3.(2)bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1＝an－1＋an－2＋…＋a1＋3＝n2＋2n，所以1bn＝1nn＋2＝121n－1n＋2，所以Tn＝121＋12－1n＋1－1n＋2＝3n2＋5n4n2＋12n＋8.16．(2019·辽宁五校协作体模考)已知数列{an}是等差数列，且a1，a2(a1a2)分别为方程x2－6x＋5＝0的两个实根．(1)求数列{an}的前n项和Sn；(2)在(1)中，设bn＝Snn＋c，求证：当c＝－12时，数列{bn}是等差数列．解：(1)∵a1，a2(a1a2)分别为方程x2－6x＋5＝0的两个实根，∴a1＝1，a2＝5，∴等差数列{an}的公差为4，∴Sn＝n·1＋nn－12·4＝2n2－n.(2)证明：当c＝－12时，bn＝Snn＋c＝2n2－nn－12＝2n，∴bn＋1－bn＝2(n＋1)－2n＝2，b1＝2.∴数列{bn}是以2为首项，2为公差的等差数列.