第22章二次函数与反比例函数总复习

第22章二次函数与反比例函数总复习(904班专用)第1页第22章:二次函数与反比例函数总复习题型1：二次函数的判定例1.下列函数中，哪些是二次函数？分析：一般地，形如2yaxbxc（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。判断函数是否是二次函数，①首先是要看它的右边是否为整式，②若是整式且仍能化简的要先将其化简，③然后再看自变量是否为2，④最后看二次项系数是否为0这个关键条件题型2：有关二次函数与一次函数、反比例函数的图象与系数的关系的问题.二次函数2yaxbxc中图象与系数的关系:（1）二次项系数a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小．a0时，开口向上，a0时，开口向下。a越大，开口越小。a越小，开口越大。（2）一次项系数b，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．若0ab，则对称轴abx2在y轴左边，若0ab，则对称轴abx2在y轴的右侧。若b=0，则对称轴abx2＝0,即对称轴是y轴.概括的说就是“左同右异,y轴0”（3）常数项c，c决定了抛物线与y轴交点的位置．当0c时，交点在y轴的正半轴上;当0c时，抛物线经过原点，;当0c时，交点在y轴的负半轴上,简记为“上正下负原点0”(4)△=b2－4ac决定了抛物线与x轴交点的个数.①当0时，抛物线与x轴有两个交点②当0时，抛物线与x轴只有一个交点；③当0时，抛物线与x轴没有交点.另外当0a时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有0y；当0a时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有0y．一次函数:y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)中图象与系数的关系:（1）走向：k0，图象经过第一、三象限；k0，图象经过第二、四象限b0，图象经过第一、二象限；b0，图象经过第三、四象限00bk直线经过第一、二、三象限00bk直线经过第一、三、四象限00bk直线经过第一、二、四象限00bk直线经过第二、三、四象限（2）增减性：k0，y随x的增大而增大；k0，y随x增大而减小.（3）截距:当b0时，图象交于y轴正半轴,当b0时，图象交于y轴负半轴,当b=0时，图象交于原点.（4）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴.反比例函数:y＝xk（k为常数，k≠0）中图象与系数的关系:说明：1）反比例函数的增减性不连续，在讨论函数增减问题时，必须有“在每一个象限内”这一条件。2）反比例函数图像的两个分只可以无限地接近x轴、y轴，但与x轴、y轴没有交点。2222322221(1)(2)41(3)0.8(220)(4)55(1)1(5)34(6)2(7)36()(1)3()3yxyxbayxxxxyxxyxyaxxaymxm为定值(8)为定值第22章二次函数与反比例函数总复习(904班专用)第2页例2图24bac3）越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大，双曲线越靠近坐标轴．反比例函数y＝xk（k为常数，k≠0）k的取值k＜0k＞0图像性质a)x的取值范围是x≠0；y的取值范围是y≠0;b)函数的图像两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大。a)x的取值范围是x≠0；y的取值范围是y≠0;b)函数的图像两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小。例1：.函数y=ax+b的图象经过一、二、三象限，则二次函数y=ax2+bx的大致图象是(B)B【解析】本题考查【解析】由函数y=ax+b的图象经过一、二、三象限，可得：aO，bO，则函数y=ax2+bx的开口向上，对称轴为x=－b2a0，例2（’09湖北黄石市）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0②2a+b＜0③4a－2b+c＜0④a+c＞0，其中正确结论的个数为（）A、4个B、3个C、2个D、1个分析:从图像的开口方向和图像与y轴交点的纵坐标可以直接得到a0,c0.对于b,要根据抛物线的对称轴来确定.若抛物线对称轴在y轴右侧,即－b2a0,则ba0,所以a、b异号;反之,a，b同号.本题中抛物线对称轴在y轴右侧,所以b0;所以abc0.对于2a+b,需要根据抛物线顶点横坐标与1的大小比较.观察图像可得,－b2a1,所以2a+b＜0.而4a－2b+c是二次函数当自变量取值为－2时的函数值,观察图像可发现点(－2,4a－2b+c)在x轴下方,所以4a－2b+c0.又由图像可得当x=1时的函数值a+b+c的绝对值大于x=－1时的函数值a－b+c的绝对值,所以a+b+c+(a－b+c)0,所以a+c0.故选答案B.【点拨】由抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴的位置判定b的符号，由抛物线与y轴交点位置判定c的符号。由抛物线与x轴的交点个数判定第22章二次函数与反比例函数总复习(904班专用)第3页的符号，若x轴标出了1和－1，则结合函数值可判定ba2、cba、cba的符号。例3.二次函数y＝ax2＋bx＋c与一次函数y＝ax＋c在同一坐标系中的图象大致是（）ABCD【解析】本题考查同一直角坐标系中两个函数图像的位置关系.首先通过计算可以知道这两个函数图像与y轴交于同一点(0,c),然后再采用排除法.对于A、B,直线y＝ax＋c与二次函数y＝ax2＋bx＋c不经过同一点(0,c),所以不正确.对于C、D,直线都经过第一、二、四象限,所以a0,所以抛物线开口向下.答案为D.例4.（2011四川凉山州，12，4分）二次函数2yaxbxc的图像如图所示，反比列函数ayx与正比列函数ybx在同一坐标系内的大致图像是（B）例5.（2011安徽芜湖，10,4分）二次函数2yaxbxc的图象如图所示，则反比例函数ayx与一次函数ybxc在同一坐标系中的大致图象是（D）.例6.（’09安徽省芜湖）如图所示是二次函数2yaxbxc图象的一部分，图象过A点（3，0），二次函数图象对称轴为1x，给出四个结论：①24bac；②0bc；③20ab；④0abc，其中正确结论是（B.）A．②④B．①③C．②③D．①④【解析】本题考查利用函数图像判断代数式的符号或大小问题.由抛物线开口向下能够得到a0;由抛物线与y轴的交点可以得到c0;根据对称轴－b2a=1能够推出b+2a=0,在根据a0例4OxyOyxAOyxBOyxDOyxCOyx1x(30)A，例6第22章二次函数与反比例函数总复习(904班专用)第4页得出b0,所以bc0;当x=1时,y=a+b+c,根据图像可以观察到点(1,a+b+c)是抛物线的顶点,所以a+b+c0.例7．(2008安徽)如图为二次函数的图象，在下列说法中：①；②方程的根为，；③；④当时，随着的增大而增大．正确的说法有①②④．（请写出所有正确说法的序号）题型3:利用二次函数、反比例函数的增减性比较函数值的大小例1若二次函数24yaxbx的图像开口向上，与x轴的交点为（4，0），（-2，0）知，此抛物线的对称轴为直线x=1，此时121,2xx时，对应的y1与y2的大小关系是（C）A．y1y2B.y1=y2C.y1y2D.不确定点拨：本题可用两种解法解法1：利用二次函数的对称性以及抛物线上函数值y随x的变化规律确定：a0时，抛物线上越远离对称轴的点对应的函数值越大；a0时，抛物线上越靠近对称轴的点对应的函数值越大.解法2：求值法：将已知两点代入函数解析式，求出a，b的值再把横坐标值代入求出y1与y2的值，进而比较它们的大小例2、已知抛物线)0(2acbxaxy的对称轴为x=2，且过A（-1，y1）、B（1，y2）、C（27，y3）三点，则y1、y2、y3的大小关系正确的是（）A、y1＜y2＜y3B、y1＜y3＜y2C、y3＜y2＜y1D、y2＜y3＜y1例3、已知点(－1,y1),(－27,y2),(21,y3)在函数y=3x2+6x+12的图象上,则y1,y2,y3的大小为()Ay1y2y3By2y1y3Cy2y3y1Dy3y1y2二次函数的图象与性质附图如下：二次函数y=ax2+bx+c图象的性质。函数的图象图象特点函数性质①当aO时向上无限伸展；当aO时向下无限伸展．①自变量x的取值范围是全体实数．②当aO时开口向上；当aO时开口向下；顶点为(－ab2,abac442)．②aO时，当x=－ab2时，y有最小值为abac442；aO时，当x=－ab2时，y有最大值为abac442．第22章二次函数与反比例函数总复习(904班专用)第5页yxO对称轴为x=－ab2，当aO时，对称轴左侧图象从左到右下降，对称轴右侧图象从左到右上升；当aO时，对称轴左侧图象从左到右上升，对称轴右侧图象从左到右下降．③aO时，当x－ab2时，y随x的增大而减小；当x－ab2时，y随x的增大而增大；aO时，当x－ab2时，y随x的增大而增大；当x－ab2时，y随x的增大而减小．二次函数2()yaxhk的图像和性质a＞0a＜0图象开口向上向下对称轴x=hx=h顶点坐标(h,k)(h,k)最值当x＝h时，y有最小值当x＝h时，y有最大值增减性在对称轴左侧即当xh时y随x的增大而减小y随x的增大而增大在对称轴右侧即当xh时y随x的增大而增大y随x的增大而减小例4:在反比例函数(0)kykx的图像上有三点1x，1y，2x，2y，3x，3y。若3210xxx则下列各式正确的是（A）A．213yyyB．123yyyC．321yyyD．231yyy解：用图像法，在直角坐标系中作出(0)kykx的图像草图,描出三个点，满足3210xxx观察图像直接得到213yyy选A例5.（2008烟台）在反比例函数12myx的图象上有两点A11,xy，B22,xy，当120xx时，有12yy，则m的取值范围是（）A．0mB.0mC.12mD.12m题型4：有关抛物线的平移问题由于抛物线的开口方向与开口大小均由二次项系数a确定，所以两个二次函数如果a相等，那么其中一个函数的图象可以由另一个函数的图象平移得到，所以形如y=ax2，y=ax2+k，y=a(x－h)2+k(a≠O，a、k、h为常数)形式的函数图象可以相互平移得到，而具体平移方式一般由各函数的顶点坐标来确定．平移方式如第22章二次函数与反比例函数总复习(904班专用)第6页下图：任意抛物线y=ax2+bx+c可以由抛物线y=ax2经过适当地平移得到，具体平移方法下图所示：数形结合法：①将抛物线解析式转化成顶点式2yaxhk，确定其顶点坐标hk，；（抓住顶点）②保持抛物线2yax的形状不变，将其顶点平移到hk，处。公式法（结论法）：概括成八个字“左加右减，上加下减”．①沿x轴向左（右）平移h个单位得y=a(x+h)2+b(x+h)+c（或y=a(x-h)2+b(x-h)+c）y=ax2沿x轴向左（右）平移h个单位得y=a(x+h)2（或y=a(x-h)2）y=a(x+h)2+k沿x轴向左（右）平移m个单位得y=a(x+h+m)2+k（或y=a(x+h-m)2+k）②y=ax2+bx+c沿y轴向上（下）平移k个单位得y=ax2+bx+c+k（或y=ax2+bx+c-k）y=ax2沿y轴向上（下）平移k个单位得y=ax2+k（或y=ax2-k）y=a(x+h)2+k沿y轴向上（下）平移n个单位得y=a(x+h)2+n（或y=a(x+h)2+n）注：对于一般式抓住与y轴的交点或顶点，对于顶点式抓住顶点。例1、将二次函数5822xxy的图象向左平移3个单位，再向下平移