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数据的集中趋势和离散程度一、知识点梳理知识点1：表示数据集中趋势的代表平均数：一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数。121()nxxxxn=+++中位数：将一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数叫做这组数据的中位数。众数：在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。平均数、众数、中位数都是描述一组数据集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中平均数的应用最为广泛。知识点2：表示数据离散程度的代表极差的定义：一组数据中最大值与最小值的差，能反映这组数据的变化范围，我们就把这样的差叫做极差。极差=最大值－最小值，一般来说，极差小，则说明数据的波动幅度小。知识点3：方差的定义在一组数据x1，x2，…，xn中，各数据与它们的平均数差的平方，它们的平均数，即S2=来描述这组数据的离散程度，并把S2叫做这组数据的方差。一组数据的方差越大，说明这组数据的离散程度越大；一组数据的方差越小，说明这组数据的离散程度越小。知识点4：标准差方差的算术平方根，即用S=来描述这一组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的标准差。知识点5：方差与平均数的性质若x1，x2，…xn的方差是S2，平均数是，则有①x1+b，x2+b…xn+b的方差为S2，平均数是+b②ax1，ax2，…axn的方差为a2s2，平均数是a③ax1+b，ax2+b，…axn+b的方差为a2s2，平均数是a+b二、典型例题剖析1、数据5,7,8,8,9的众数是（）A.5B.7C.8D.9【解析】一组数据中的众数是指出现次数最多的数，8出现次数最多。【答案】选：C．【点评】此题考查的是众数的定义，属于基础题。2、重庆农村医疗保险已经全面实施。某县七个村中享受了住院医疗费用报销的人数分别为：20,24,27,28,31,34,38，则这组数据的中位数是___________解析：根据中位数的定义即可求出，答案：28点评：如果所给的数据没按大小顺序排列，第一步首先按大小顺序排列好，第二步，如果数据的个数是奇数个，中间的那位就是中位数，如果有偶数个，中间的两位的平均数是中位数。3、张老师想对同学们的打字能力进行测试，他将全班同学分成5组.经统计，这5个小组平均每分钟打字的个数如下：100，80，x，90，90.已知这组数据的众数与平均数相等，那么这组数据的中位数是.解析：显然众数是90，所以平均数也是90，故100+80+x+90+90=90×5，得x=90.答案：90.点评：本题考查众数、中位数与平均数，关键是理解众数、中位数与平均数的求法，特别是众数与中位数的求法，容易混淆.4、我市某一周每天的最高气温统计如下：27，28，29，29，30，29，28（单位：C0），则这组数据的极差与众数分别是（A）2,28(B)3,29(C)2,27(D)3,28【解析】极差是数据中的最大值与最小值的差30-27=3,众数是在数据中出现频率最多的数,在这数据中是29,故选B【答案】B【点评】本题考查极差与众数的概念,只要理解相关概念问题不难解决.5、一组数据－1，0，3，5，x的极差是7，那么x的值可能有()A.1个B.2个C.4个D.6个【答案】B6、小华所在的九年级一班共有50名学生，一次体检测量了全班学生的身高，由此求得该班学生的平均身高是1.65米，而小华的身高是1.66米，下列说法错误．．的是A．1.65米是该班学生身高的平均水平[来源:@中教网*&%#]B．班上比小华高的学生人数不会超过25人C．这组身高数据的中位数不一定是1.65米D．这组身高数据的众数不一定是1.65米【解析】本题考查了一组数据中中位数、平均数、众数的概念及三者的取法，由平均数所反映的意义故A选项正确，由中位数与平均数的关系确定C选项正确，由众数与平均数的关系确定D选项正确，由于平均数受一组数据中的极大、小值的影响，故B选项错误．【答案】B【点评】本题比较灵活的考查了一组数据中的三数（中位数、平均数、众数）及三者之间的关系，难度中等.7、从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中各抽取8件产品，对使用寿命进行跟踪调查，结果如下：（单位：年）甲：3、4、5、6、8、8、8、10乙：4、6、6、6、8、9、12、13丙：3、3、4、7、9、10、11、12三个厂家在广告中都称该产品的使用寿命是8年。请根据结果判断厂家在广告中分别运用平均数、众数、中位数中的哪一种表示集中趋势的特征数。甲：乙：丙：解：众数、平均数、中位数8、甲、乙两名射击运动员在一次训练中，每人各打10发子弹，根据命中环数求得方差分别为S甲2＝0.6，S乙2＝0.8，则运动员的成绩比较稳定.【解析】据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．根据方差分别为S甲2＝0.6，S乙2＝0.8，可找到最稳定的．【答案】∵S甲2＝0.6＜S乙2＝0.8，∴甲的成绩比较稳定.【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．三、课堂检测1、一组数据4，3，6，9，6，5的中位数和众数分别是A．5和5.5B．5.5和6C．5和6D．6和6【解析】把数据从小到大重新排列为3，4，5，6，6，9，最中间的两个数5和6的平均数为5.5，其中出现次最多的数是6，所以这组数据的中位数和众数分别是5.5和6．【答案】B【点评】众数就是出现次数最多的数，易求，但不可将频数（即出现的次数）当作众数．而求一组数据的中位数时，必须先将这组数按从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数为奇数，最中间的一个数据是这组数据的中位数，如果数据的个数是偶数，那么最中间两个数据的平均数是这组数据的中位数．2、一组数据X1、X2…Xn的极差是8，则另一组数据2X1+1、2X2+1…，2Xn+1的极差是（）A．8B.16C.9D.173、已知一组数据5,4,,3a的众数为4，则这组数据的平均数为（）A.3B.4C.5D.621世纪教育网【解析】由数据5,4,,3a的众数为4，可得a为4,再求这组数据3，4，4，5的平均数为4。【答案】选B。【点评】此题考查众数和平均数的概念。4、6个数据的平均数为10，其中的一个为5，那么其余5个数的平均数是（）5、已知，一组数据x1,x2,……，xn的平均数是10，方差是2，①数据x1+3,x2+3,……，xn+3的平均数是方差是，②数据2x1,2x2,……，2xn的平均数是方差是，③数据2x1+3,2x2+3,……，2xn+3的平均数是方差是，6、下列说法正确的是【】A、两名同学5次成绩的平均分相同，则方差较大的同学成绩更稳定。B、某班选出两名同学参加校演讲比赛，结果一定是一名男生和一名女生C、学校气象小组预报明天下雨的概率为0.8，则明天下雨的可能性较大D、为了解我市学校“阳光体育”活动开展情况，必须采用普查的方法【答案】C。7、下列说法正确的是（）A．两组数据的极差相等，则方差也相等B．数据的方差越大，说明数据的波动越小C．数据的标准差越小，说明数据越稳定D．数据的平均数越大，则数据的方差越大8、样本数据3，6，a,4，2的平均数是3，则这个样本的方差是。9、数据1x,2x,3x，4x的平均数为m，标准差为5，那么各个数据与m之差的平方和为_________。10、已知数据1，2，3，4，5的方差为2，则11，12，13，14，15的方差为_________，标准差为_______。11、甲乙两人在相同的条件下各射靶10次，他们的环数的方差是S甲2=2.4，S乙2=3.2，则射击稳定性是（）A．甲高B．乙高C．两人一样多D．不能确定12、若一组数据1a，2a，…，na的方差是5，则一组新数据12a，22a，…，na2的方差是A．5B．10C．20D．5013、甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好都是9.4环，方差分别是S2甲2=0.90，S乙2=1.22，S丙2=0.43，S丁2=1.68，在本次射击测试中，成绩最稳定的是A．甲B．乙C．丙D．丁【解析】本题考查了方差的概念及意义.掌握方差的意义是关键.比较甲、乙、丙的方差大小即可【答案】由于S丁2＞S乙2＞S甲2＞S丙2，丙的方差最小，所以成绩最稳定的是丙，故选C【点评】考查一组数据的稳定程度其实质就是比较它们的方差、标准差或极差．平均数相同或相差不大时，方差越小，这组数据就越稳定．14（2014•淮安）小华同学某体育项目7次测试成绩如下（单位：分）：9，7，10，8，10，9，10．这组数据的中位数和众数分别为（）A．8，10B．10，9C．8，9D．9，10众数；中位数．.根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．解：把这组数据从小到大排列：7，8，9，9，10，10，10，最中间的数是9，则中位数是9；10出现了3次，出现的次数最多，则众数是10；故选D．此题考查了中位数和众数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．15、从甲、乙两种棉花中各抽取10株，测得它们株高分别如下（单位：cm）甲：25，41，40，37，22，14，19，39，21，42；乙：27，16，44，27，44，16，40，40，16，40。（1）哪种棉花长得较高？（2）哪种棉花长得较齐？解：（1）（25+41+40+37+22+14+19+39+21+42）=30（27+16+44+27+44+16+40+40+16+40）=31∵＜∴乙种棉花长得高（2）∵＜∴甲种棉花长得整齐某班四个小组的人数如下：10，10，x，8，已知这组数据的中位数与平均数相等，求这组数据的中位数。解：平均数是中位数一定是四个数据中的两个数据的平均数（1）当x≤8时，（2）当8＜x≤10时，（舍去）（3）当x＞10时，∴x=12，此时中位数为1016、为了从甲、乙两名学生中选拔一人参加电脑知识竞赛，在相同条件下对他的电脑知识进行了10次测试，成绩如下：（单位：分）甲的成绩76849086818786828583乙的成绩82848589798091897479回答下列问题：（1）甲学生成绩的众数是分，乙学生成绩的中位数是分。（2）若甲学生成绩的平均数为，乙学生成绩的平均数为，则与的大小关系是。（3）经计算知=13.2，=26.36，这说明。（4）若测验分数在85分（含85分）以上为优秀，则甲的优秀率为，乙的优秀率为。解：（1）86，83（2）＞（3）甲学生的成绩比乙学生的成绩稳定（4）50%，40%。