高中数学空间几何体的表面积与体积知识总结+练习

空间中点、线、面间的位置关系点共线的条件线共点的条件确定平面的条件空间几何体的体积棱柱圆柱的体积棱台圆台的体积球的体积棱锥圆锥的体积空间几何体的表面积直棱柱的表面积正棱锥的表面积球的表面积正棱台的表面积空间几何体与平面的基本性质空间几何体的表面积与体积要求层次重难点球、棱柱、棱锥的表面积和体积A了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）．（一）知识内容1．直棱柱与圆柱的侧面积等于它的底面周长和高（母线）的乘积．()SSch直棱柱侧圆柱，其中c为底面的周长，h为直棱柱（圆柱）的高，也即侧棱（母线）长；2．正棱锥（圆锥）的侧面积等于它的底面周长和斜高（母线）乘积的一半．11''22Schnah正棱锥侧，其中a为底面边长，'h为斜高；1π2Sclrl圆锥侧，其中c为底面周长，r为圆锥的底面半径，l为母线长；3．正棱台（圆台）的侧面积等于它的上下底面周长之和与斜高（母线）乘积的一半．知识框架例题精讲高考要求板块一：空间几何体的表面积空间几何体的表面积与体积1(')'(')'22nScchaah正棱台侧，其中,'aa分别是正棱台上下底面的边长，'h为斜高；1(')π(')2Scclrrl正圆台侧，其中,'rr分别是圆台上下底面的半径，l为母线长；4．球面面积等于它的大圆面积的四倍，24πSR球，R为球的半径．1．除了球面，这里提到的其它几何体的表面都可以展开，侧面积公式和表面积公式可以直接推导出来．2．要提醒学生注意空间与平面问题的转化，对这几种几何体的侧面展开图，轴截面的图等有个比较清晰的印象，在计算时能灵活转化．5．柱体（棱柱，圆柱）体积公式：VSh柱体，其中S为底面积，h为高；6．棱体（棱锥，圆锥）的体积公式：13VSh棱体，其中S为底面积，h为高；7．台体（棱台，圆台）的体积公式：1('')3VhSSSS台体，其中',SS分别是台体上，下底面的面积，h为台体的高；8．球的体积：34π3VR球，R为球的半径．对柱体与锥体体积公式的推导，课本上是以长方体的体积公式为基础的，根据祖暅原理得到的．祖暅原理：幂势相同，则积不容异．即夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体体积相等．祖暅提出的“幂势既同，则积不容异”，及“体积之比等于对应截面积之比”，在这里是当作公理使用．提法“幂势既同，则积不容异”，在西方通常叫做“卡瓦列利原理”．卡瓦列利在他的名著《连续不可分几何》中提出这一原理，这本书出版于1635年．课本对柱体和锥体体积公式的推导过程：⑴长方体的体积VSh；⑵利用祖暅原理可以说明：等底面积等高的长方体与柱体的体积相等，故柱体的体积为：VSh；⑶利用祖暅原理可以说明：等底面积等高的锥体的体积均相等；⑷三棱柱可以分割成三个体积相等的锥，故锥体的体积为13VSh；321C1CB1A1A1B1CBA1ABCA1B1C1CBA⑸利用两个锥体做差可得台体的体积公式1('')3VSSSSh．（二）典例分析：【例1】轴截面是正方形的圆柱叫等边圆柱．已知：等边圆柱的底面半径为r，求全面积．【例2】轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥．已知：等边圆锥底面半径为r，求全面积．【例3】已知圆台的上下底面半径分别是2、5，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长．【例4】底面是菱形的直棱柱，它的对角线的长分别是9和15，高是5，求这个棱柱的侧面积．【例5】侧面都是直角三角形的正三棱锥，若底面边长为2，则三棱锥的全面积是多少？【例6】侧面都是直角三角形的正三棱锥，若底面边长为a，则三棱锥的全面积是多少？【例7】平面截球得到半径是3的圆面，球心到这个平面的距离是4，则该球的表面积是（）A．20πB．4163π3C．100πD．500π3【例8】正方体全面积为24，求它的外接球和内切球的表面积．【例9】将一个边长为4和8的矩形纸片卷成一个圆柱，则圆柱的底面半径为．【例10】正四棱台的斜高为4，侧棱长为5，侧面积为64，求棱台上、下底的边长．【例11】正四棱台的斜高为12，侧棱长为13，侧面积为720，求棱台上、下底的边长．【例12】正三棱台111ABCABC中，已知10AB，棱台的侧面积为203，1OO，分别为上、下底面正三角形的中心，1DD为棱台的斜高，160DDA，求上底面的边长．【例13】过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）A．316B．916C．38D．932【例14】棱长为1的正方体1111ABCDABCD的8个顶点都在球O的表面上，EF，分别是棱1AA，1DD的中点，则直线EF被球O截得的线段长为（）A．22B．1C．212D．2【例15】如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积（其中30BAC）．CBAO【例16】圆锥的侧面展开图是半径为a的半圆面，求圆锥的母线与轴的夹角的大小，轴截面的面积．【例17】圆台的上下底面半径分别是2、5，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长．【例18】圆台的内切球半径为R，且圆台的全面积和球面积之比为218，求圆台的上，下底面半径12,rr（12rr）．【例19】已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，且这个圆锥的体积为833π．求圆锥的表面积．【例20】有两个相同的直三棱柱，高为2a，底面三角形的三边长分别为3a、4a、5a0a．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是．【例21】若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是．ABCD【例22】正四面体棱长为a，求其外接球和内切球的表面积．【例23】一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为．【例24】直三棱柱111ABCABC的各顶点都在同一球面上，若12ABACAA，120°BAC，则此球的表面积等于．【例25】若A，B两点在半径为2的球面上，且以线段AB为直径的小圆周长为2π，则此球的表面积为___________，A，B两点间的球面距离为__________．【例26】已知球的表面积为20π，球面上有A、B、C三点．如果2ABAC，23BC，则球心到平面ABC的距离为（）A．1B．2C．3D．2【例27】球面上有三点A，B，C组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，已知球的半径为R，且A，C两点的球面距离为π2R，A，B两点及B，C两点的球面距离均为π3R，球心到这个截面的距离为6，求球的表面积．【例28】设圆锥的底面半径为2，高为3，求：⑴内接正方体的棱长；⑵内切球的表面积．【例29】如图，正四棱锥PABCD底面的四个顶点,,,ABCD在球O的同一个大圆上，点P在球面上，如果163PABCDV，则球O的表面积是（）A．4πB．8πC．12πD．16π【例30】一间民房的屋顶有如下图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为1P、2P、3P．若屋顶斜面与水平面所成的角都是a，则（）A．321PPPB．321PPPC．321PPPD．321PPP【例31】右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A．9πB．10πC．11πD．12π【例32】已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H，设四面体EFGH的表面积为T，则TS等于（）A．19B．49C．14D．13【例33】已知球的表面积为20π，球面上有A、B、C三点．如果23ABACBC，则球心到平面ABC的距离为（）A．1B．2C．3D．2【例34】已知球的表面积为20π，球面上有A、B、C三点．如果23ABACBC，则球心到平面ABC的距离为（）A．1B．2C．3D．2【例35】棱长为1的正方体1111ABCDABCD被以A为球心，AB为半径的球相截，则被截形体的表面积为（）A．5π4B．7π8C．πD．7π4ODCBAP2322俯视图侧(左)视图正(主)视图【例36】棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______．【例37】已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为2的正三角形，俯视图是直径为2的圆，如图，则此几何体的外接球的表面积为．俯视图左视图主视图【例38】右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是________．左视图主视图俯视图424【例39】若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为（）A．183B．153C．2483D．24163【例40】一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为．243【例41】如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥ABEFD与三棱锥AEFC的表面积分别是1S，2S，则必有（）A．12SSB．12SSC．12SSD．12SS，的大小关系不能确定【例42】如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥ABEFD与三棱锥AEFC的表面积分别是1S，2S，则必有（）A．12SSB．12SSC．12SSD．1S，2S的大小关系不能确定左视图俯视图主视图232OFEDCBAFEDCBAO（一）知识内容1．柱体（棱柱，圆柱）体积公式：VSh柱体，其中S为底面积，h为高；2．棱体（棱锥，圆锥）的体积公式：13VSh棱体，其中S为底面积，h为高；3．台体（棱台，圆台）的体积公式：1('')3VhSSSS台体，其中',SS分别是台体上，下底面的面积，h为台体的高；4．球的体积：34π3VR球，R为球的半径．对柱体与锥体体积公式的推导，课本上是以长方体的体积公式为基础的，根据祖暅原理得到的．祖暅原理：幂势相同，则积不容异．即夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体体积相等．祖暅提出的“幂势既同，则积不容异”，及“体积之比等于对应截面积之比”，在这里是当作公理使用．提法“幂势既同，则积不容异”，在西方通常叫做“卡瓦列利原理”．卡瓦列利在他的名著《连续不可分几何》中提出这一原理，这本书出版于1635年．课本对柱体和锥体体积公式的推导过程：⑴长方体的体积VSh；⑵利用祖暅原理可以说明：等底面积等高的长方体与柱体的体积相等，故柱体的体积为：VSh；⑶利用祖暅原理可以说明：等底面积等高的锥体的体积均相等；⑷三棱柱可以分割成三个体积相等的锥，故锥体的体积为13VSh；321C1CB1A1A1B1CBA1ABCA1B1C1CBA⑸利用两个锥体做差可得台体的体积公式1('')3VSSSSh．（二）典例分析：【例1】侧棱长与底面边长相等的正三棱锥称为正四面体，则棱长为1的正四面体的体积是________；【例2】已知正六棱台的上，下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为_______．【例3】半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为6，则球的表面积和体积的比为______．板块二：空间几何体的体积【例4】直三棱柱111ABCABC各侧棱和底面边长均为a，点D是1CC上任意一点，连结1AB，BD，1AD，AD，则三棱锥1AABD的体积（）A．316aB．336aC．3312aD．3112a【例5】已知正四棱柱的对角线的长为6，且对角线与底面所成角的余弦值为33，则该正四棱柱的体积等于．【例6】已知三棱台111ABCABC中25ABCS，111ABCS9，高6h．⑴求三棱锥