高中数学选修2-1-第三章第一节《3.1空间向量及其运算》全套教案

空间向量及其运算课时分配:第一课空间向量及其加减运算1个课时第二课空间向量的数乘运算1个课时第三课空间向量的数量积运算1个课时第四课空间向量运算的坐标表示1个课时3.1.1空间向量及其加减运算【教学目标】1．了解向量与平面平行、共面向量的意义，掌握向量与平面平行的表示方法；2．理解共面向量定理及其推论；掌握点在已知平面内的充要条件；3．会用上述知识解决立体几何中有关的简单问题。【教学重点】点在已知平面内的充要条件。共线、共面定理及其应用。【教学难点】对点在已知平面内的充要条件的理解与运用。【学前准备】：多媒体，预习例题教学课程第一课教学环节导案/学案师生互动//随堂测试备注一、复习引入1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量空间向量的运算2.定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）注：（1）空间的一个平移就是一个向量；（2）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量；（3）空间的两个向量可用同一平面内的两奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆baABOAOB；baOBOABA；)(RaOP3．平行六面体：平行四边形ABCD平移向量a到DCBA的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD－DCBA它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。4．平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量。由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量。向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b＝λa。这个定理称为平面向量共线定理，要注意其中对向量a的非零要求。条有向线段来表示。思考：运算律：（1）加法交换律：abba（2）加法结合律：)()(cbacba（3）数乘分配律：baba)(CBAObbbaaaC'B'A'D'DABC二..探究新知（25分钟）1．共线向量与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。a平行于b记作ba//。和上节我们学习的空间向量的定义、表示方法、空间向量的相等以及空间向量的加减与数乘运算和运算律都是平面向量的推广一样，空间向量共线（平行）的定义也是平面向量相关知识的推广。当我们说向量a、b共线（或a//b）时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。2．共线向量定理及其推论：共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb。推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式由于空间中任意两个向量都是共面的，所以上述定理和推论仍然是平向量有关定理的推广，因此它们的证明只是需要先确定一个平面，转化为平面向量问题即可。推论证明如下：∵l//a∴对于l上任意一点P，存在唯一的实数t，使得tAPa。(*)又∵对于空间任意一点O，有OAOPAP，∴tOAOPatOAOPa。①若在l上取ABa，则有ABtOAOP。(**)又∵OAOBAB∴)(OAOBtOAOPtOAOPa。其中向量a叫做直线l的方向向量。3．向量与平面平行：已知平面和向量a，作OAa，如果直线OA平行于或在内，那么我们说向量a平行于平面，记作：//a。通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。4．共面向量定理：如果两个向量,ab不共线，p与向量,ab共面的充要条件是存在实数,xy使pxayb证明：（充分性）设向量,ab不共线，p与向量,ab共面，根据平面向量的基本定理，一定存在实数,xy使pxayb。（必要性）设存在实数,xy使pxayb取空间任意一点M，作OBtOAt)1(。②当21t时，)(21OBOAOP。③（1）表达式①和②都叫做空间直线的向量参数表示式，③式是线段的中点公式。事实上，表达式(*)和(**)既是表达式①和②的基础，也是直线参数方程的表达形式。（2）表达式①和②三角形法则得出的，可以据此记忆这两个公式。（3）推论一般用于解决空间中的三点共线问题的表示或判定。奎屯王新敞新疆A'pbaOPABM,,','MAaMBbMAxaAPyb，则MPxaybp，于是点P在平面MAB内，向量p//平面MAB，即p与向量,ab共面。推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对,xy，使MPxMAyMB①或对空间任一点O，有OPOMxMAyMB②或,(1)OPxOAyOBzOMxyz③上面①式叫做平面MAB的向量表达式。三.巩固练习（20分钟）1已知,,ABC三点不共线，对平面外任一点，满足条件：122555OPOAOBOC，试判断：点P与,,ABC是否一定共面？解：由题意：522OPOAOBOC，∴()2()2()OPOAOBOPOCOP，∴22APPBPC，即22PAPBPC，所以，点P与,,ABC共面。2．已知ABCD，从平面AC外一点O引向量,,,OEkOAOFkOBOGkOCOHkOD，（1）求证：四点,,,EFGH共面；（2）平面AC//平面EG。解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴ACABAD，∵EGOGOE，()()()kOCkOAkOCOAkACkABADkOBOAODOAOFOEOHOEEFEH∴,,,EFGH共面；（2）∵()EFOFOEkOBOAkAB，又∵EGkAC，∴//,//EFABEGAC所以，平面//AC平面EG。四．小结谈收获向量平行于平面和直线平行于平面是不同的，要注意其共同点与不同点；共面向量定理中，条件的必要性实际上就是平面向量基本定理，该定理说的是三个向量共面的性质，它在空间中也成立。五.布置作业完成课后习题1．已知两个非零向量21,ee不共线，如果21ABee，2128ACee，2133ADee，求证：,,,ABCD共面。证明：∵21ABee，2128ACee，2133ADee，∴2133ADee215()ee21(28)ee5ABAC∴,,,ABCD共面。2．已知324,(1)82amnpbxmnyp，0a，若//ab，求实数,xy的值。解：∵//ab∴324[(1)82]mnpxmnyp∴(1)3,82,24xy∴13,8xy。3．如图，,,,EFGH分别为正方体1AC的棱11111111,,,ABADBCDC的中点，求证：（1）,,,EFDB四点共面；（2）平面AEF//平面BDHG。4．已知,,,EFGH分别是空间四边形ABCD边,,,ABBCCDDA的中点，（1）用向量法证明：,,,EFGH四点共面；（2）用向量法证明：//BD平面EFGH。GHFEC1B1A1D1DABC六．教学反思3.1．2空间向量的数乘运算【学前准备】：多媒体，预习例题【教学目标】1．了解空间向量基本定理及其推论；2．理解空间向量的基底、基向量的概念。理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表出。3．学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、变化的，会用联系的观点看待事物。【教学重点】向量的分解（空间向量基本定理及其推论）【教学难点】空间作图教学课程第二课教学环节导案/学案师生互动//随堂测试备注一、复习引入（5分钟）1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。2．空间向量的运算3．平行六面体：4．平面向量共线定理注：（1）空间的一个平移就是一个向量。（2）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。ABCDFEGH5．共线向量6．共线向量定理：7．向量与平面平行：8．共面向量定理（3）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下baABOAOB；baOBOABA；)(RaOP运算律：（1）加法交换律：abba（2）加法结合律：)()(cbacba（3）数乘分配律：baba)(3．平行六面体：aC'B'A'D'DABC平行四边形ABCD平移向量a到DCBA的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD－DCBA它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。4．平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量。由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量。向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b＝λa。要注意其中对向量a的非零要求。5．共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。a平行于b记作ba//。当我们说向量a、b共线（或a//b）时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。6．共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb。推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式tOAOPa。其中向量a叫做直线l的方向向量。空间直线的向量参数表示式：tOAOPa或)(OAOBtOAOPOBtOAt)1(，aa中点公式。)(21OBOAOP7．向量与平面平行：已知平面和向量a，作OAa，如果直线OA平行于或在内，那么我们说向量a平行于平面，记作：//a。通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的8．共面向量定理：如果两个向量,ab不共线，p与向量,ab共面的充要条件是存在实数,xy使pxayb推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对,xy，使MPxMAyMB①或对空间任一点O，有A'pbaOPABMOPOMxMAyMB②或,(1)OPxOAyOBzOMxyz③上面①式叫做平面MAB的向量表达式二..探究新知（25分钟）1．空间向量基本定理：如果三个向量,,abc不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组,,xyz，使pxaybzc。证明：（存在性）设,,abc不共面，过点O作,,,OAaOBbOCcOPp；过点P作直线PP平行于OC，交平面OAB于点P；在平面OAB内，过点P作直线//,//PAOBPBOA，分别与直线,OAOB相交于点,AB，于是，存在三个实数,,xyz，使OAxOAxa，OByOByb，OCzOCzc，∴OPOAOBOCxOAyOBzOC所以pxaybzc（唯一性）假设还存在,,xyz使pxaybzc∴xaybzcxaybzc∴()()()0xxayybzzc不妨设xx即0xx∴yyzzabcxxxxGEFC'B'A'D'DABC∴,,abc共面此与已知矛盾∴该表达式唯一综上两方面，原命题成立。由此定理，若三向量,,abc不共面，则所有空间向量所组成的集合是{|,,,}ppxaybzcxRyRzR，这个集合可以看作由向量,,abc生成的，所以我们把{,,}abc叫做空间的一个基底，,,abc叫做基向