力系的简化

力系的简化一个力系对刚体的作用效果，可以用另一个力系等效。这个过程,称为力系的简化。力系的简化在静力学分析中，对于研究作用于刚体上力系的平衡条件有重要的意义。本章内容包括：力系的平移定理——力系可以简化的基础；力系向一点简化结果；*简化结果分析；特殊力系的简化。力的平移定理将作用于刚体上的力F平移（大小、方向不变）至同一刚体上且不在力F作用线上的其他点而保证F作用效果不变，则必须增加一个附加力偶。其力偶矩M等于原力F对平移点之矩。AFOrOAFF'FrMOAFAOAFOMFOM力系平移定理的逆过程成立dBFMd平移距离平移方向2FOBMFFFFOMBFO一般力系向一定点的简化一个一般力系由作用于刚体上Di点的力Fi（i=1，2，…n）组成。O为刚体上任意确定点。根据力的平移定理和力的可传递性，将力系中各力向O点平移，得到一个汇交于O的汇交力系Fi，和一个力偶系Mi。iiODFMi——力偶矩其中根据力系和力偶系的合成，最终的简化结果为过O点的一个力FoRn1iiOFFF力系的主矢以及一个力偶niiO1)(FmMO力系对O点的主矩空间力系向任一点的简化主矢和主矩的性质力系对两个定点（简化中心）O和A的主矢和主矩的关系AFFO主矢——力系第一不变量力系的主矢与简化中心无关niiO1)(FmMO力系对O点的主矩niiAA1)(FmM力系对A点的主矩RFMMOAAO——力的平移定理RFMMOAAO等式两边点乘FR，得)(RRRRFFMFMFOAAO注意矢量运算关系)()(acbcba0FFFFRRRR)()(OAOA所以AOMFMFRR主矢对两定点之主矩的点积相等对两定点（O、A）之主矩的的性质CMFR又可以写成——力系第二不变量力系向一点简化后的主矢和主矩在坐标轴上的投影XYZOFRMOxMyMzFzMyFxFkjiFR)()()(111niizniiyniixFFFkjizyFFFxkjiMOzyxMMM空间力系向一点简化的意义1、固定端约束的约束反力XYZORFOMXYZxFyFzFMxMzMy一般力系的最简形式分析空间一般力系向定点O简化，得到一个力和一个力偶。其中，力的作用线过简化中心O，大小和方向与力系的主矢FR相同；力偶的力偶矩与力系对简化中心O的主矩Mo相同。力系简化最简形式分成以下情况：1、0;0ORMF力系平衡平衡条件对O点成立，则对任意点成立。首先，力系第一不变量，0RF对任意点成立；其次，主矢对任意两定点之矩的关系RFMMOAAO其中0;0ORMF于是0AM2、0;0ORMF力系简化为一个合力偶，力偶矩为Mo可以证明上述结果与简化中心无关AMMORFMMOAAO根据0RF3、0;0ORMF力系与一个力等效：该力过简化中心O，大小、方向与力系的主矢相同。思考:是否与简化中心O有关?4、0;0ORMF分三种情况讨论（1）ORORMFMF且0;0)0(OMFR即第二不变量ORFOM这时，可以进一步向OBORMF方向平移，简化为作用线过B的一个合力，其大小和方向与主矢FR相同。BRFRRRRRRROBOBOBFFFFFFMFO)()()(2RRRFFF0OBRF所以2ROFMFROBOB的确定:方向:由OMFR确定ROBFMO由于大小:合力作用线方程设作用线矢量l，FR作用点坐标),,(BBBzyx，P(x,y.z)为作用线上任意点证明：kjil)()()(BBBzzyyxxlFRc])()()[(kjikjiBBBzyxzzyyxxcFFFczzFyyFxxFBRzBRyBRx则作用线方程为czzFyyFxxFBRzBRyBRx或RxRyOzRzRxOyRyRxOxyFxFMxFzFMzFyFMORFOMl),,(BBBzyxB),,(zyxPRF（2）0MFMFOROR且0;0力系第二不变量不等于零又分两种情况：（a）0OMFR主矢与主矩平行力系简化最简形式之一——称为力螺旋ORFOM右手力螺旋：0ORMF左手力螺旋：0ORMFORFOM),,(zyxP力螺旋参数p令ROFMpORFOM2ROFpRFM则——力螺旋参数（数量，量纲为长度）当)0(//ROROFMFM时ROFMp力螺旋中心轴设),,(zyxP是主矢作用线上任意点zFyFxFzyx中心轴方程（b）0;0ORMF0MFOR0MFOR且主矢与主矩即不平行，也不垂直BORFOMOMOMRFOM将MO沿FR和FR垂直方向投影，得分量M'O和M''O其中OM和RF可以向2RO2ROFMFFMFRROB方向平移，简化为一个过B的主矢RF并且RRFF进一步与RFOM组成一个力螺旋该力螺旋中心轴方程（相对于O点建立坐标系，P（x，y，z）是中心轴上的一点）。ORFOMOMOMRFOMP（x，y，z）),,(BBBzyxBBRzBRyBRxzzFyyFxxF或，由于ROFMp以及ROFMMMMOPOOO于是RROFFMMpOPO即有pyFxFMFxFzFMFzFyFMFRxRyOzRzRzRxOyRyRyRzOxRx1)()()(1、0;0ORMF力系平衡2、0;0ORMF力系简化为一个合力偶，力偶矩为Mo3、0;0ORMF力系与一个力等效：该力过简化中心O，大小、方向与力系的主矢相同。4、0;0ORMF（1）0ORMF简化为一个合力作用线方程czzFyyFxxFBRzBRyBRx或RxRyOzRzRxOyRyRxOxyFxFMxFzFMzFyFM力系简化结果总结（2）0MFOR（a）0OMFR中心线过简化中心O的力螺旋左手力螺旋：0ORMF右手力螺旋：0ORMF（b）0MFOR0MFOR中心轴过B点的力螺旋BRzBRyBRxzzFyyFxxF中心轴方程pyFxFMFxFzFMFzFyFMFRxRyOzRzRzRxOyRyRyRzOxRx1)()()(或zFyFxFzyx中心轴方程dS1S2S3S4S5边长为d的正方形作用五个力，方向如图SSSS321，SSS254已知求：力系的最简形式xyzO解：将各力向坐标轴上分解，有kS1SiSS2kSS3)()2(224kjk2jSSSS)()2(225jij2iSSSSdS1S2S3S4S5xyzO合力5431SSSSSF2RkjikjkikFRSSSSSSSS各力对O点之矩jM1SdkMSd2iMSd3kjiMSdSdSd4kjiMSdSdSd5对O点之主矩)(kjiMMMMMM54321OSd0kFRS0kjiMO)(SdFRMO0jiMFOR)(Sd02dSORMF右手力螺旋OMOM力螺旋参数dSdSFpR222ORMF力螺旋中心轴方程dyxSdSxSzSdzySSd1)00()0(0)0(0dxdyFROM-dddS1S2S3S4S5xyzOpyFxFMFxFzFMFzFyFMFRxRyOzRzRzRxOyRyRyRzOxRx1)()()(02dSORMFFRF1F2Fir1r2ri1r2rirOCrC一般力系的合力矩定理设一个一般力系可以简化为一个合力FR，其作用线通过C点，则该力系每一个分力对空间任意定点O的力矩和等于合力对O点之力矩。iiRCFrFr证明：如图，依条件有FRF1F2Fir1r2ri1r2rirOCrC0iRFF0iiCFrMiirrrC力系对O点之矩iCiiiOFrrFrM)(RFrFrFrCiCii)(注意:0)(CiiMFr特殊力系的简化一、平面力系的简化各力作用线处于同一个平面内的力系，称为平面力系。平面力系的简化，通常选取简化中心在力作用平面内。简化结果取决于简化中心的选取，一般简化形式为主矢iRFF主矩)(iOOFmM对平面力系,恒有：OMFR因此，平面力系不可能简化成一个力螺旋0ORMF即平面力系的简化结果分析（1）主矢等于零，主矩等于零。——力系平衡0iRFF0)(iOOFmM力系平衡——与简化中心无关（2）主矢等于零，主矩不等于零。——力系与一个力偶等效0iRFFmFmM)(iOO（3）主矢不等于零，主矩等于零。——力系与一个合力等效FFFiR0)(iOOFmM——与简化中心有关——与简化中心无关例：在长方形平板的O，A，B，C点上分别作用着有四个力：F1=1kN，F2=2kN，F3=F4=3kN（如图），试求以上四个力构成的力系对O点的简化结果，以及该力系的最后合成结果。F1F2F3F4OABCxy2m3m30°60°F1F2F3F4OABCxy2m3m30°60°解：求向O点简化结果xxFFR30cos60cos432FFFkN598.0yyFRF30sin60sin421FFFkN768.0kN794.02R2RRyxFFF所以，主矢的大小1.求主矢。RF614.0cosRRRFFxi,F789.0,cosRRRFFyjF1.52Ri,F9.37Rj,F主矢的方向：RFF1F2F3F4OABCxy2m3m30°60°MO2.求主矩MOFOOMMmkN5.030sin3260cos2432FFF最后合成结果由于主矢和主矩都不为零，所以最后合成结果是一个合力FR。如图所示。m51.0RFMdO合力FR到O点的距离RRFFABCxyM0RFFR二、平行力系的简化各力作用线相互平行的力系——平行力系平行力系向空间一点O简化结果F1F2FiOr1r2ri容易证明，ORMF所以，平行力系不可能简化为力螺旋。0ORMF即iRFF主矢——代数和主矩)(iOOFmM——矢量和xz平行同向力系的中心F1F2FiOr1r2ri设一个平行同向力系iF当主矢0RF时，其作用线位置可以由合力矩定理确定FRCrCiFrFriRC各力同向eeFR)(iRFFeFiiF0)()(ereriCiiFFiiFFiCrr平行同向力系中心iiiCFxFxiiiCFyFyiiiCFzFze为力作用线方向单位矢量0)()(erriCiiFF即：物体的质心、重心公式对连续分布的质量体，重力是连续分布力系。其合力作用中心称为重心，若考虑质量则称为质心。匀质薄板的质心公式——平行同向力系简化实例匀质薄板厚度t，单位体积质量板的面积A板的总质量AdAtMACxdAtMxACydAtMy根据合力矩定理，于是有AxdAxACAydAyACxyXYZdAdVxyXYZ重心公式VxdVxVCVydVyVCVzdVzVC线分布力系的合力以及作用点Q32lq0)(xqXl连续线分布力:0)(qlxxq合力大小:lqdxqlxQl00021合力作用线:llqdxqlxQxdxxqall3221)(00020xdx分布力系面积过面积形心