专题-匀变速直线运动规律的应用

专题匀变速直线运动规律的应用专题一匀变速直线运动的三个推论【例1】有一个做匀变速直线运动的质点，它在两个连续相等的时间间隔内通过的位移分别为24m和64m，每一个时间间隔为4s，求质点的初速度、末速度和加速度大小．思路点拨：匀变速直线运动→已知量→运动规律→所求量解析：画质点的运动过程示意图如图专2所示，物体由A经B到C，其中B是中间时刻所对应的位置．图专2法一：基本公式法．如图所示，由位移公式得：x1＝vAT＋12aT2x2＝vA·2T＋12a(2T)2－(vAT＋12aT2)vC＝vA＋a·2T将x1＝24m，x2＝64m，T＝4s代入，解得a＝2.5m/s2，vA＝1m/s，vC＝21m/s.法二：平均速度公式法．连续两段时间T内的平均速度分别为：v1＝x1T＝244m/s＝6m/s，v2＝x2T＝644m/s＝16m/s.由于B是中间时刻所对应的位置，则v1＝vA＋vB2，v2＝vB＋vC2，又vB＝vA＋vC2＝v1＋v22＝6＋162m/s＝11m/s.解得vA＝1m/s，vC＝21m/s.其加速度为：a＝vC－vA2T＝21－12×4m/s2＝2.5m/s2.法三：逐差法．由Δx＝aT2可得a＝ΔxT2＝64－2442m/s2＝2.5m/s2①又x1＝vAT＋12aT2②vC＝vA＋a·2T③由①②③解得：vA＝1m/s，vC＝21m/s.答案：1m/s21m/s2.5m/s2匀变速直线运动的规律可以用多个公式进行描述，选择不同的公式时所对应的方法也不尽相同．在一般情况下，若出现相等的时间间隔及所对应的位移，应优先考虑应用Δx＝aT2求解，这种解法往往比较简捷．针对训练11：某同学在测定匀变速直线运动的加速度时，得到了在不同拉力下的A、B、C、D、…几条较为理想的纸带，并在纸带上每隔5个点取一个计数点，相邻两计数点间的时间间隔为0.1s，将每条纸带上的计数点都记为0、1、2、3、4、5、…，如图专3所示(甲)、(乙)、(丙)三段纸带，分别是从三条不同纸带上撕下的．图专3(1)在(甲)、(乙)、(丙)三段纸带中，属于纸带A的是________．(2)打A纸带时，物体的加速度大小是________m/s2.解析：(1)由匀变速直线运动规律可知：Δx＝x2－x1＝x3－x2＝…＝aT2，∴Δx＝x2－x1＝(6.11－3.00)cm＝3.11cm.x5＝x1＋4Δx＝(3.00＋4×3.11)cm＝15.44cm，所以纸带(丙)的数据最接近，应和A是同一条纸带．(2)a＝ΔxT2＝3.11×10－20.12m/s2＝3.11m/s2.答案：(1)(丙)(2)3.11专题二初速度为零的匀加速直线运动的几个比例式【例2】一小球沿斜面由静止开始匀加速滚下(斜面足够长)，已知小球在第4s末的速度为4m/s.求：(1)第6s末的速度；(2)前6s内的位移；(3)第6s内的位移．思路点拨：此题最基本的解法是利用运动学公式，但运用初速度为零的匀加速运动的比例来解更为简单．解析：(1)法一：由v1＝at1得a＝v1t1＝44m/s2＝1m/s2则第6s末的速度v2＝at2＝6m/s法二：因v∝t，则第4s末与第6秒末的速度之比v1∶v2＝t1∶t2＝4∶6＝2∶3得v2＝6m/s.(2)法一：前6s的位移x6＝12at2＝18m法二：第1s内位移x1＝12at2＝0.5m因x∝t2，则第1s内与前6s内的位移之比x1∶x6＝1∶62，得x6＝36·x1＝18m.(3)第1s内与第6s内位移之比xⅠ∶xⅥ＝1∶(2n－1)＝1∶(2×6－1)＝1∶11，得第6s内位移xⅥ＝11x1＝5.5m.答案：(1)6m/s(2)18m(3)5.5m对初速度为零的匀加速直线运动，充分利用比例式求解更加简捷、方便．针对训练21：做匀减速直线运动直到静止的质点，在最后三个连续相等的运动时间内通过的位移之比是________，通过最后三个连续相等的位移所用的时间之比是____________．解析：这一质点的运动可以看成初速度为零的匀加速直线运动的逆过程，根据初速度为零的匀加速直线运动的规律可知，最初三个连续相等的时间内通过的位移之比为x1∶x2∶x3＝1∶3∶5.通过最初三个连续相等的位移所用的时间之比为t1∶t2∶t3＝1∶(2－1)∶(3－2)．逆回去可得最后三个连续相等的时间内通过的位移之比为5∶3∶1.通过最后三个连续相等的位移所用的时间之比为(3－2)∶(2－1)∶1.答案：5∶3∶1(3－2)∶(2－1)∶1专题三追及和相遇问题【例3】(2008年四川卷)A、B两辆汽车在笔直的公路上同向行驶，当B车在A车前84m处时，B车速度为4m/s，且正以2m/s2的加速度做匀加速运动；经过一段时间后，B车加速度突然变为零．A车一直以20m/s的速度做匀速运动，经过12s后两车相遇．问B车加速行驶的时间是多少？解析：法一：设A车的速度为vA，B车加速行驶时间为t，两车在t0时相遇．则有sA＝vAt0①sB＝vBt＋12at2＋(vB＋at)(t0－t)②式中，t0＝12s，sA、sB分别为A、B两车相遇前行驶的路程．依题意有sA＝sB＋s③式中s＝84m，由①②③式得t2－2t0t＋2[vA－vBt0－s]a＝0④代入题给数据vA＝20m/s，vB＝4m/s，a＝2m/s2有t2－24t＋108＝0⑤式中t的单位为s.解得t1＝6s，t2＝18s⑥t2＝18s不合题意，舍去．因此，B车加速行驶的时间为6s.法二：B车先匀加速，后匀速．又因B车在前，A车追及B车，则A车的速度大于B车的最大速度才能追上B车，画vt图象简图如图专4所示，设B车在t1时达最大速度v1.图专4由题意可知图中阴影部分的面积为84m2，则有16＋20－v12×t1＋(20－v1)×(12－t1)＝84(m2)又因v1＝v0＋at1，即v1＝4＋2t1(m/s)所以有t21－24t1＋108＝0解得t1＝6s(t1′＝18s舍去)故B车加速行驶的时间为6s.答案：6s对此类问题的求解，除了要透彻理解基本物理概念，熟悉运动学公式外，还应仔细审题，挖掘题目中隐含着的重要条件，并尽可能地画出草图以帮助分析，确认两个物体运动的位移关系、时间关系和速度关系．借助于vt图象分析求解往往可使解题过程简捷明了．图专5针对训练31：(2008年海南卷)t＝0时，甲、乙两汽车从相距70km的两地开始相向行驶，它们的vt图象如图专5所示．忽略汽车掉头所需时间．下列对汽车运动状况的描述正确的是()A．在第1小时末，乙车改变运动方向B．在第2小时末，甲、乙两车相距10kmC．在前4小时内，乙车运动加速度的大小总比甲车的大D．在第4小时末，甲、乙两车相遇解析：速度图象在t轴下的均为反方向运动，故2h末乙车改变运动方向，A错；2h末从图象围成的面积可知乙车运动位移为30km，甲车位移为30km，相向运动，此时两车相距x＝(70－30－30)km＝10km，B对；从图象的斜率看，斜率大加速度大，故乙车加速度在前4h内一直比甲车加速度大，C对；4h内，甲车运动位移120km，乙车运动位移30km，两车原来相距70km，故此时两车还相距20km，D错．答案：BC.1．有一列火车正在做匀加速直线运动．从某时刻开始计时，第1min内，发现火车前进了180m，第6min内，发现火车前进了360m．则火车的加速度为(A)A．0.01m/s2B．0.05m/s2C．36m/s2D．180m/s2解析：对于匀变速直线运动在连续相等时间内，位移之差为恒量，即Δx＝aT2，在本题中时间T为60s，x1＝180m，x6＝360m，则由x6－x1＝5aT2，解得a＝0.01m/s2.2．汽车刹车后做匀减速直线运动，经3s后停止运动，那么，在这连续的三个1s内汽车通过的位移之比为(B)A．1∶3∶5B．5∶3∶1C．1∶2∶3D．3∶2∶1解析：用逆向思维可以把汽车刹车的运动认为是初速度为零的匀加速直线运动的逆过程，所以这连续的三个1s内汽车通过的位移之比为5∶3∶1，B项对．3．做匀加速直线运动的物体，运动了ts时间，则(D)A．加速度越大，它走过的路程一定越长B．初速度越大，它走过的路程一定越长C．末速度越大，它走过的路程一定越长D．平均速度越大，它走过的路程一定越长解析：由x＝v·t知D正确．4．两辆完全相同的汽车，沿平直公路一前一后匀速行驶，速度均为v0，若前车突然以恒定的加速度刹车，在它刚停住后，后面的车以前面的车刹车时的加速度开始刹车．已知前车在刹车过程中行驶的距离为s，若要保证两车在上述情况中不相撞，则两车在匀速行驶时保持的距离至少为(B)A．sB．2sC．3sD．4s解析：以前面的车为参考系，后面的车相当于先以初速度为0、加速度为a做匀加速直线运动，后以同样大小的加速度a做匀减速直线运动，而后车通过的位移即两车匀速行驶时的距离．因此s总＝12at2＋12at2.已知前面的车在刹车过程中行驶的距离为s，则12at2＝s，所以s总＝2s.1．做匀减速直线运动的物体经4s后停止，若在第1s内的位移是14m，则最后1s的位移是(B)A．3.5mB．2mC．1mD．0解析：利用“时空反演”法把物体的运动看做是初速度为零的匀加速直线运动的逆过程，则相等时间内的位移之比为7∶5∶3∶1，所以71＝14mx1，x1＝2m.2．甲、乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做直线运动，t＝0时刻同时经过公路旁的同一个路标．在描述两车运动的vt图中(如图专6)，直线a、b分别描述了甲、乙两车在0～20s的运动情况．关于两车之间的位置关系，下列说法正确的是(C)图专6A．在0～10s内两车逐渐靠近B．在10s～20s内两车逐渐远离C．在5s～15s内两车的位移相等D．在t＝10s时两车在公路上相遇解析：根据vt图线与时间轴所围面积与位移关系可知：在0～10s内两车的位移差逐渐增大，即两车在远离，A错；在10s～20s内甲的位移增加得多，两车在靠近，到20s末两车相遇，B错；在5s～15s内由图线的对称关系知，两图线在此时间段与时间轴所围面积相等，C正确；vt图线的交点表示该时刻速度相等，D错误．3．(2010年宁波市高一期末)2009年9月28日，甬台温高速铁路正式开通，浙江铁路进入了高铁时代．假设列车在某段距离中做匀加速直线运动，速度由5m/s增加到10m/s时位移为x.则当速度由10m/s增加到15m/s时，它的位移是(B)A.52xB.53xC．2xD．3x解析：用位移速度关系式有：2ax＝102－52及2ax′＝152－102，得x′x＝12575＝53，所以x′＝53x，B项对．4．(2010年山东师大附中期中)光滑斜面长为L，一物体自斜面顶端由静止开始匀加速下滑到底端经历的时间为t，则(B)A．物体在t/2时刻的瞬时速度是2L/tB．物体全过程的平均速度是L/tC．物体到斜面中点时的瞬时速度小于L/tD．物体从开始运动到斜面中点经历的时间为t/2解析：物体从顶端下滑到底端的平均速度为v＝Lt，物体在t/2时刻的瞬时速度vt2＝v＝Lt，故A错、B对．物体的速度随时间增大，所以在前一半位移的平均速度小于在后一半位移的平均速度，即在前一半位移用的时间长，大于t2；后一半位移的时间短，小于t2，故vs2＝at′at2＝vt2＝Lt，即物体在斜面中点时的瞬时速度大于Lt，故C、D两项都错．5．(2010年宁波市高一期末)在一段限速为60km/h的平直道路上，一辆汽车遇紧急情况刹车，刹车后车轮在路面上滑动并留下9.0m长笔直的刹车痕．从监控录像中得知该车从刹车到停止的时间为1.5s．请根据上述数据计算该车刹车前的速度，并判断该车有没有超速行驶？解析：设汽车初速度为v0，刹车过程的末速度vt＝0，由x＝vt得v＝6m/s，而v＝v0＋vt2＝6m/s，得v0＝12m/s＝43.2km/h60km/h，故汽车没有超速行驶．答案：12m/s没有超速行驶6．2008年9月25日，我国用“长征”运载火箭成功地发射了“神舟七号”载人飞