高中数学数列知识点解析

高中数学第三章数列考试内容：数列．等差数列及其通项公式．等差数列前n项和公式．等比数列及其通项公式．等比数列前n项和公式．考试要求：（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题．（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，井能解决简单的实际问题．§03.数数列列知知识识要要点点等差数列等比数列定义daann1)0(1qqaann递推公式daann1；mdaanmnqaann1；mnmnqaa通项公式dnaan)1(111nnqaa（0,1qa）数列数列的定义数列的有关概念数列的通项数列与函数的关系项项数通项等差数列等差数列的定义等差数列的通项等差数列的性质等差数列的前n项和等比数列等比数列的定义等比数列的通项等比数列的性质等比数列的前n项和1.⑴等差、等比数列：等差数列等比数列定义常数）为(}{1daaPAannn常数）为(}{1qaaPGannn通项公式na=1a+（n-1）d=ka+（n-k）d=dn+1a-dknknnqaqaa11求和公式ndanddnnnaaansnn)2(22)1(2)(1211)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnasnnn中项公式A=2ba推广：2na=mnmnaaabG2。推广：mnmnnaaa2性质1若m+n=p+q则qpnmaaaa若m+n=p+q，则qpnmaaaa。2若}{nk成A.P（其中Nkn）则}{nka也为A.P。若}{nk成等比数列（其中Nkn），则}{nka成等比数列。3．nnnnnsssss232,,成等差数列。nnnnnsssss232,,成等比数列。4)(11nmnmaanaadnmn11aaqnn，mnmnaaq)(nm5中项2knknaaA（0,,*knNkn）)0(knknknknaaaaG（0,,*knNkn）前n项和)(21nnaanSdnnnaSn2)1(1)2(111)1(111qqqaaqqaqnaSnnn重要性质),,,,(*qpnmNqpnmaaaaqpnm),,,,(*qpnmNqpnmaaaaqpnm⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法：①),2(1为常数dndaann②211nnnaaa(2n)③bknan(kn,为常数).⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法：①)0,,2(1且为常数qnqaann②112nnnaaa(2n，011nnnaaa)①注①：i.acb，是a、b、c成等比的双非条件，即acba、b、c等比数列.ii.acb（ac＞0）→为a、b、c等比数列的充分不必要.iii.acb→为a、b、c等比数列的必要不充分.iv.acb且0ac→为a、b、c等比数列的充要.注意：任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两个.③nncqa(qc,为非零常数).④正数列{na}成等比的充要条件是数列{nxalog}（1x）成等比数列.⑷数列{na}的前n项和nS与通项na的关系：)2()1(111nssnasannn[注]：①danddnaan111（d可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若d不为0，则是等差数列充分条件）.②等差{na}前n项和ndandBnAnSn22122→2d可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若d为零，则是等差数列的充分条件；若d不为零，则是等差数列的充分条件.③非零．．常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）2.①等差数列依次每k项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k2倍...,,232kkkkkSSSSS；②若等差数列的项数为2Nnn，则，奇偶ndSS1nnaaSS偶奇；③若等差数列的项数为Nnn12，则nnanS1212，且naSS偶奇，1nnSS偶奇得到所求项数到代入12nn.3.常用公式：①1+2+3…+n=21nn②61213212222nnnn③2213213333nnn[注]：熟悉常用通项：9，99，999，…110nna；5，55，555，…11095nna.4.等比数列的前n项和公式的常见应用题：⑴生产部门中有增长率的总产量问题.例如，第一年产量为a，年增长率为r，则每年的产量成等比数列，公比为r1.其中第n年产量为1)1(nra，且过n年后总产量为：.)1(1])1([)1(...)1()1(12rraarararaann⑵银行部门中按复利计算问题.例如：一年中每月初到银行存a元，利息为r，每月利息按复利计算，则每月的a元过n个月后便成为nra)1(元.因此，第二年年初可存款：)1(...)1()1()1(101112rararara=)1(1])1(1)[1(12rrra.⑶分期付款应用题：a为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清；r为年利率.1111111......11121mmmmmmmrrarxrrxraxrxrxrxra5.数列常见的几种形式：⑴nnnqapaa12（p、q为二阶常数）用特证根方法求解.具体步骤：①写出特征方程qPxx2（2x对应2na，x对应1na），并设二根21,xx②若21xx可设nnnxcxca2211.，若21xx可设nnxncca121)(；③由初始值21,aa确定21,cc.⑵rPaann1（P、r为常数）用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数n转化为nnnqaPaa12的形式，再用特征根方法求na；④121nnPcca（公式法），21,cc由21,aa确定.①转化等差，等比：1)(11PrxxPxPaaxaPxannnn.②选代法：rrPaPrPaannn)(21xPxaPrPPraannn1111)(1)1(rrPaPnnPr211.③用特征方程求解：相减，rPaarPaannnn111na1111nnnnnnPaaPaPaPaa）（.④由选代法推导结果：PrPPracPcaPracPrcnnn111111112121）（，，.6.几种常见的数列的思想方法：⑴等差数列的前n项和为nS，在0d时，有最大值.如何确定使nS取最大值时的n值，有两种方法：一是求使0,01nnaa，成立的n值；二是由ndandSn)2(212利用二次函数的性质求n的值.⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n项和可依照等比数列前n项和的推倒导方法：错位相减求和.例如：,...21)12,...(413,211nn⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差21dd，的最小公倍数.2.判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证)(11nnnnaaaa为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证212nnnaaaNnaaannn)(221都成立。3.在等差数列｛na｝中,有关Sn的最值问题：(1)当1a0,d0时，满足001mmaa的项数m使得ms取最大值.(2)当1a0,d0时，满足001mmaa的项数m使得ms取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。（三）、数列求和的常用方法1.公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。2.裂项相消法:适用于1nnaac其中{na}是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。3.错位相减法:适用于nnba其中{na}是等差数列，nb是各项不为0的等比数列。4.倒序相加法:类似于等差数列前n项和公式的推导方法.5.常用结论1）:1+2+3+...+n=2)1(nn2）1+3+5+...+(2n-1)=2n3）2333)1(2121nnn4）)12)(1(613212222nnnn5）111)1(1nnnn)211(21)2(1nnnn6）)()11(11qpqppqpq