函数单调性与导数极值问题

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第1页/共5页让优秀成为一种习惯§3.3.2函数的极值与导数复习1:设函数y=f(x)在某个区间内有导数,如果在这个区间内0y,那么函数y=f(x)在这个区间内为函数;如果在这个区间内0y,那么函数y=f(x)在为这个区间内的函数.复习2:用导数求函数单调区间的步骤:①求函数f(x)的导数()fx.②令解不等式,得x的范围就是递增区间.③令解不等式,得x的范围,就是递减区间.二、新课导学※学习探究探究任务一:问题1:如下图,函数()yfx在,,,,,,,abcdefgh等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?()yfx在这些点的导数值是多少?在这些点附近,()yfx的导数的符号有什么规律?看出,函数()yfx在点xa的函数值()fa比它在点xa附近其它点的函数值都,()fa;且在点xa附近的左侧()fx0,右侧()fx0.类似地,函数()yfx在点xb的函数值()fb比它在点xb附近其它点的函数值都,()fb;而且在点xb附近的左侧()fx0,右侧()fx0.新知:我们把点a叫做函数()yfx的极小值点,()fa叫做函数()yfx的极小值;点b叫做函数()yfx的极大值点,()fb叫做函数()yfx的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点,极大值、极小值统称为极值.极值反映了函数在某一点附近的,刻画的是函数的.试试:(1)函数的极值(填是,不是)唯一的.(2)一个函数的极大值是否一定大于极小值.(3)函数的极值点一定出现在区间的(内,外)部,区间的端点(能,不能)成为极值点.反思:极值点与导数为0的点的关系:导数为0的点是否一定是极值点.比如:函数3()fxx在x=0处的导数为,但它(是或不是)极值点.即:导数为0是点为极值点的条件.※典型例题例1求函数31443yxx的极值.变式1:已知函数32()fxaxbxcx在点0x处取得极大值5,其导函数()yfx的图象经过点(1,0),(2,0),如图所示,求(1)0x的值(2)a,b,c的值.小结:求可导函数f(x)的极值的步骤:(1)确定函数的定义域;(2)求导数f′(x);(3)求方程f′(x)=0的根奎屯王新敞新疆(4)用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格.检查f′(x)在方程xo12y第2页/共5页让优秀成为一种习惯根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,那么f(x)在这个根处无极值.变式2:已知函数32()3911fxxxx.(1)写出函数的递减区间;(2)讨论函数的极大值和极小值,如有,试写出极值;练1.求下列函数的极值:(1)2()62fxxx;(2)3()27fxxx;(3)3()612fxxx;(4)3()3fxxx.练2.下图是导函数()yfx的图象,试找出函数()yfx的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点.函数232yxx的极值情况是()A.有极大值,没有极小值B.有极小值,没有极大C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也极小值2.三次函数当1x时,有极大值4;当3x时,有极小值0,且函数过原点,则此函数是()A.3269yxxxB.3269yxxxC.3269yxxxD.3269yxxx3.函数322()fxxaxbxa在1x时有极值10,则a、b的值为()A.3,3ab或4,11abB.4,1ab或4,11abC.1,5abD.以上都不正确4.函数32()39fxxaxx在3x时有极值10,则a的值为5.函数32()3(0)fxxaxaa的极大值为正数,极小值为负数,则a的取值范围为课后作业1.如图是导函数()yfx的图象,在标记的点中,在哪一点处(1)导函数()yfx有极大值?(2)导函数()yfx有极小值?(3)函数()yfx有极大值?(4)导函数()yfx有极小值?2.求下列函数的极值:2()62fxxx;(2)3()48fxxx.§3.3.3函数的最大(小)值与导数新青蓝学习目标第3页/共5页让优秀成为一种习惯⒈理解函数的最大值和最小值的概念;⒉掌握用导数求函数最值的方法和步骤.复习1:若0x满足0)(0xf,且在0x的两侧)(xf的导数异号,则0x是)(xf的极值点,)(0xf是极值,并且如果)(xf在0x两侧满足“左正右负”,则0x是)(xf的点,)(0xf是极值;如果)(xf在0x两侧满足“左负右正”,则0x是)(xf的点,)(0xf是极值奎屯王新敞新疆复习2:已知函数32()(0)fxaxbxcxa在1x时取得极值,且(1)1f,(1)试求常数a、b、c的值;(2)试判断1x时函数有极大值还是极小值,并说明理由.探究任务一:函数的最大(小)值问题:观察在闭区间ba,上的函数)(xf的图象,你能找出它的极大(小)值吗?最大值,最小值呢?在图1中,在闭区间ba,上的最大值是,最小值是;在图2中,在闭区间ba,上的极大值是,极小值是;最大值是,最小值是.新知:一般地,在闭区间ba,上连续的函数)(xf在ba,上必有最大值与最小值.试试:上图的极大值点,为极小值点为;最大值为,最小值为.反思:1.函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的;函数的极值是比较极值点附近函数值得出的.2.函数)(xf在闭区间ba,上连续,是)(xf在闭区间ba,上有最大值与最小值的条件3.函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个,可能一个没有.※典型例题例1求函数31()443fxxx在[0,3]上的最大值与最小值.小结:求最值的步骤(1)求()fx的极值;(2)比较极值与区间端点值,其中最大的值为最大值,最小的值为最小值.图1图2第4页/共5页让优秀成为一种习惯例2已知23()logxaxbfxx,x∈(0,+∞).是否存在实数ab、,使)(xf同时满足下列两个条件:(1))(xf在(0,1)上是减函数,在[1,)上是增函数;(2))(xf的最小值是1;若存在,求出ab、,若不存在,说明理由.变式:设213a,函数323()2fxxaxb在区间[1,1]上的最大值为1,最小值为62,求函数的解析式.小结:本题属于逆向探究题型.解这类问题的基本方法是待定系数法,从逆向思维出发,实现由已知向未知的转化,转化过程中通过列表,直观形象,最终落脚在比较极值点与端点值大小上,从而解决问题.练1.求函数3()3,[1,2]fxxxx的最值.练2.已知函数32()26fxxxa在[2,2]上有最小值37.(1)求实数a的值;(2)求()fx在[2,2]上的最大值.三、总结提升※学习小结设函数)(xf在ba,上连续,在(,)ab内可导,则求)(xf在ba,上的最大值与最小值的步骤如下:⑴求)(xf在(,)ab内的极值;⑵将)(xf的各极值与)(af、)(bf比较得出函数)(xf在ba,上的最值.第5页/共5页让优秀成为一种习惯※知识拓展利用导数法求最值,实质是在比较某些函数值来得到最值,因些我们可以在导数法求极值的思路的基础上进行变通.令()0fx得到方程的根1x,2x,,直接求得函数值,然后去与端点的函数值比较就可以了,省略了判断极值的过程.当然导数法与函数的单调性结合,也可以求最值.1.若函数3()3fxxxa在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M、N,则MN的值为()A.2B.4C.18D.202.函数32()3(1)fxxxx()A.有最大值但无最小值B.有最大值也有最小值C.无最大值也无最小值D.无最大值但有最小值3.已知函数223yxx在区间[,2]a上的最大值为154,则a等于()A.32B.12C.12D.12或324.函数2yxx在[0,4]上的最大值为5.已知32()26fxxxm(m为常数)在[2,2]上有最大值,那么此函数在[2,2]上的最小值是新青蓝课后作业1.a为常数,求函数3()3(01)fxxaxx的最大值.2.已知函数32()39fxxxxa,(1)求()fx的单调区间;(2)若()fx在区间[2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.

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