【2019年整理】数学建模A题

计划生育政策调整对人口数量、结构及其影响的研究摘要为了更好地对我国人口进行有效地调控，人口增长趋势和结构进行预测将会越来越重要。本文主要从中短期和长期两方面讨论了中国人口发展问题：建立灰色预测模型,对中国人口总数进行中短期预测；建立多元线性回归模型，对中国人口总数进行了长期预测；建立了动态差分方程模型的模型,对中国人口的年龄结构以及男女性别比等几个方面进行客观预测。对人口总数进行中短期预测时，根据处理后的数据的自相关函数和偏相关函数的拖尾性，将无规律的原始数据进行累加生成数列，再重新建模。由于生成的模型得到的数据通过累加生成的逆运算――累减生成得到还原模型，再有还原模型作为预测模型。用此模型预测出未来中国在短期、中期内人口的变化趋势。对人口组成结构进行长期预测时，引用多元线性回归模型。根据中国人口发展的特点，分为单区域预测和多区域预测，并加入影响因素改进原始模型，分别建立了带移民因素和两性具有不同出生率、死亡率的微分方程模型，并讨论得出带移民因素的模型对我国人口结构预测比多元线性回归模型更合理。对中国总人口进行中短期和长期的总体预测后，我们重点从数据中提取出城、镇、乡三地人口、男女出生性别比、妇女生育率、老龄人口比率等相关数据，对中国未来城、镇、乡三地人口比例、男女出生性别比、妇女生育率、老龄人口比率等影响人口发展的主要因素做趋势预测，并且在新的计划生育的政策下，再运用层次分析法和多元线性回归方程分为单区域和多区域两个部分对中国未来人口数量、结构及其对教育、劳动力供给与就业、养老等方面的影响。关键字：灰色预测模型多元线性回归动态差分方程多项式拟合层次分析法一、问题重述人口的数量和结构是影响经济社会发展的重要因素。从20世纪70年代后期以来，我国鼓励晚婚晚育，提倡一对夫妻生育一个孩子。该政策实施30多年来，有效地控制了我国人口的过快增长，对经济发展和人民生活的改善做出了积极的贡献。但另一方面，其负面影响也开始显现。如小学招生人数（1995年以来）、高校报名人数（2009年以来）逐年下降，劳动人口绝对数量开始步入下降通道，人口抚养比的相变时刻即将到来，这些对经济社会健康、可持续发展将产生一系列影响，引起了中央和社会各界的重视。党的十八届三中全会提出了开放单独二孩，今年以来许多省、市、自治区相继出台了具体的政策。政策出台前后各方面人士对开放“单独二孩”的效应有过大量的研究和评论。面对新的计划生育政策，我们对以前一些典型的研究评论报告，根据每十年一次的全国人口普查数据，建立模型，对报告的假设和某些结论发表自己的独立见解，并针对深圳市或其他某个区域，讨论计划生育新政策（可综合考虑城镇化、延迟退休年龄、养老金统筹等政策因素，但只须选择某一方面作重点讨论）对未来人口数量、结构及其对教育、劳动力供给与就业、养老等方面的影响。二、问题分析本问题是一个关于人口预测的问题，与以往不同，本问题需要根据中国特殊的国情去研究，我们根据对问题的分析并结合实际情况认为对人口产生主要影响的因素有以下四个：生育率、死亡率、年龄结构、男女比例。在这里需要说明的是对于人口产生影响的一些因素，如经济发展状况，生态环境情况、已婚夫妇对生育所持的态度、医疗技术的发展等，我们认为它们对人口的增长是通过作用于以上四个指标而间接发挥作用的。而对于诸如战争爆发、疾病流行等突发因素，由于其不可预测性，我们不考虑.1、对问题一的分析对于问题一，目前我国多个城市已全面开放二胎政策，面对政策出台后，我们需要有效的预测未来宏观与微观方面人口的变化及少年、中年、老年三个层次结构、男女性别比例。本文要求对中短期和长期人口趋势进行预测。由于人口的增长是一个涉及多个因素的复杂问题，同时随时间、地点的不同而不同，并且具有很强的时间性差异和区域性差异。在此问题中要求分别对中国人口的中短期和长期增长情况进行分析和预测，因为不同模型对不同时间段的预测精度不同，所以中短期和长期人口的增长预测应该选用不同的模型，具体而言：（1）中短期预测模型：针对原始样本容量较小，并且人口增长具有动态变化的特点，可以考虑用灰色预测模型对人口的增长进行预测，但因为灰色预测模型只考虑人口随时间的变化，而没有涉及其他因素的影响，所以此问题还采用了对短期预测精度好的回归模型。又由于在短时期内影响人口增长的因素不会出现较大的波动，因此采用多元线性回归模型综合考虑中短时期人口增长情况。最后再对这两类模型进行比较，得到中短期人口增长的最佳预测模型。（2）长期预测模型：对于长期预测，我们需要考虑生育率、死亡率、年龄结构、男女比例等因素随时间变化，此外城乡人口迁移对城乡人口结构产生影响，尽管以上因素短期内积累效应较小，但在长期中必须考虑。2、问题二的分析对于问题二，建立中国人口增长模型，所以首先需要利用数据研究中国人口发展的基本趋势及影响因素。结合人口模型及查看其他相关资料，生育率、老龄化、出生人口性别、以及城镇化等因素都会直接影响着中国人口的增长快慢.放开新二胎政策的实行，我们根据实行二胎政策会影响人口结构的变化（重点考虑城镇化）这一方面来分析，由于人口结构会影响未来人口数量、劳动力与就业形势、教育和养老等。生育受经济、社会、政策多种因素的影响，用有规律的定量分析并不能预测完全，所以我们用层次分析法和多元线性回归方程模型在考虑城镇化的基础上对未来人口数量、结构及其对教育、劳动力供给与就业、养老等方面的影响。出生率年龄结构按影响增长因素建立模型型男女比例灰色预测模型死亡率中国人口预测模型按人口统计量建立模型多区域预测单区域预测预测模型时间区域预测多元线性回归模型中短期长期动态差分方程模型二、问题假设1、假定在预测的年份不发生意外重大事故，如：大规模传染病，战争，自然灾害等。2、假设女性的生育年龄区间为[15，49]。3、假设90岁以上的人都按90岁计算。4、把市镇乡看成独立封闭的系统，即不考虑迁入迁出的因素对人口的影响。5、忽略经济，社会环境，资源等因素对人口的影响。6．人类的生育观念不发生太大改变，如没有集体不愿生小孩的想法。7、中国各地各民族政策相同。四、符号说明1X老龄化程度2X死亡率3X时间变化4X乡村人口比例()idk第tk时段中第i年龄组妇女生育率为()idk()ifk第tk时段中第i年龄组妇女总人口为()ifk()iSk第tk时段中第i年龄组妇女人口基数为()iSkN人口总量()ijpk第tk时段中第i年龄组妇女人口存活率为()ipk()ijk第tk时段中第i年龄组出生人口性别比为()ik()ijqk第j区域在时段tk中的第i年龄组人口存活率为()ijpktX时间序列)(t人口老龄化指数A(t)平均年龄S(t)平均寿命五、模型的建立与求解5.1中短期人口增长预测模型对于中短期人口增长预测，需要精度较高的模型。对中国人口1980—2013年数据进行初步分析可以看到，人口数量逐年稳步递增，呈现较强的线性增长趋势，所以我们这里引入灰色模型来描述这种人口变化特点。然而，灰色模型不能描述出生性别比等因素对人口变化的短期行为，所以，我们又建立了多元线性回归模型对短期人口进行预测，从而实现了对不同区域、不同性别等人群的变化影响分析。根据以往的数据，我们可以知道近年来我国人口的变化，如图1图1：近年来我国人口的变化根据图1我们可以发现在1978年到2008年这30年中我国的人口总数一致趋于上升的趋势，78年——89年之间人口增长较89以后的速度要快，89年以后就趋于缓慢。根据附表1中的出生率和死亡率的数据分别画出与各年份间对应的图形（图2、图3）图2:1975年—2010年我国人口出生率的变化图3:1975年—2010年我国人口死亡率的变化根据图2我们发现我国人口的出生率在78年——89年间趋于上升的基础上存在大的波动，89年之后的出生率呈明显的下降趋势。根据图3我们发现死亡率的图形也可从89年分成两段进行分析，78年——89年间先上升都下降在83年达到了峰值，然而期间也存在着波动。在89年以后则在总体程度上将近是先下降后上升，在03年几乎达到了最低点。所以在此基础上我们首先运用灰色预测模型进行预算。5.1.1灰色预测模型（1）模型的建立灰色系统是指部分信息已知，部分信息未知的系统。灰色系统的理论实质是将无规律的原始数据进行累加生成数列，再重新建模。由于生成的模型得到的数据通过累加生成的逆运算――累减生成得到还原模型，再有还原模型作为预测模型。预测模型，是拟合参数模型，通过原始数据累加生成，得到规律性较强的序列，用函数曲线去拟合得到预测值。灰色预测模型建立过程如下：1)设原始数据序列0Y有n个观察值，00001,2,...,YYYYn，通过累加生成新序列11111,2,...,YYYYn，利用新生成的序列1Y去拟和函数曲线。2)利用拟合出来的函数，求出新生序列1Y的预测值序列(1)Y3)利用(0)(1)(1)()()(1)YkYkYk累减还原：得到灰色预测值序列：00001,2,...,YYYYnm(共n＋m个，m个为未来的预测值)。将序列0Y分为0M和0Z，其中0M反映0X的确定性增长趋势，0Y反映0X的平稳周期变化趋势。利用灰色GM（1，1）模型对0Y序列的确定增长趋势进行预测。2模型求解根据2013全国统计年鉴数据整理得到全国历年年度人口统计表如表1.表1：全国历年年底的人口统计年份1993年1994年1995年1996年1997年1998年1999年总人口/万人118517119850121121122389123626124761125786年份2000年2001年2002年2003年2004年2005年2006年总人口/万人126743127626128453129227129988130756131448年份2007年2008年2009年2010年2011年2012年2013年总人口/万人132129132802134005134807135146135842136072根据上述数据，建立含有20个观察值原始数据序列0Y：0118507119850121121122389134807135146135842136072Y利用Matlab软件对原是数列0Y进行一次累加，得到新数列为1Y，如表2：表2：新数列1Y误差和误差率1Y12Y13Y14Y15Y16Y17Y18Y拟核值108504109773111056112354113668114997116343误差-9799.1-3921.81647.81978.32154.62173.62175.0误差/-9.93-3.701.461.731.861.861.84﹪1Y19Y110Y111Y112Y113Y114Y115Y拟核值117702119079120471121879121879123304124746误差2147.72042.51918.21746.61456.61039.9538.3误差/﹪1.791.691.571.411.170.830.421Y116Y117Y118Y119Y120Y121Y拟核值126204127680129173130683132211133757误差-53.3-720.1-1456.4-2223.4-3001.3-3010.4误差/﹪-0.04-0.56-1.13-1.71-2.30-2.421、利用表2，拟合函数，如下：0.011624(1)92800439183784txte由拟合函数和图表，运用Matalab得到如图4。图4：人口拟合函数图像2、精度检验值c＝0.3067（很好）P＝0.9474（好）3、得到未来20年的预测值：表3：全国历年年底的人口统计未来20年预测值年份2014年2015年2