点、直线、平面之间的位置关系

古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有坚韧不拔之志。1点、直线、平面之间的位置关系【考纲要求】1、理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理。公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内。公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。2、以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。理解以下判定定理：(1)如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。(2)如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行。(3)如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。(4)如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直。理解以下性质定理，并能够证明。(1)如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行。(2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行。(3)垂直于同一个平面的两条直线平行。(4)如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直。3、能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。【基础知识】一、平面公理公理1：如果一条直线上的两个点在一平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。公理2：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线。公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。平行直线的（公理4）唯一性：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。传递性：平行于同一条直线的两条直线互相平行。二、空间两条直线的位置关系1、异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。（既不相交也不平行的直线叫做异面直线）2、异面直线的判定：与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线是异面直线。3、空间两条直线有共面（相交、平行）和异面（异面）两种位置关系。4、两条异面直线所成角：异面两条直线，空间内任取一点，分别过该点作两条平行线，所形成的锐角或直角。5、等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等。三、直线与平面平行1、直线与平面平行的定义：直线和平面没有公共点。2、直线与平面平行的判定：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有坚韧不拔之志。2（记为：线线平行，则线面平行）3、直线与平面平行性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行。（记为：线面平行，则线线平行）四、平面与平面平行1、平面与平面平行的定义：如果两个平面没有公共点，则这两个平面互相平行2、平面与平面平行的判定(1)如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行。（记为：线面平行，则面面平行）(2)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行。3、平面和平面平行的性质(1)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任何一条直线平行于另一个平面。（记为：面面平行，则线面平行）(2)如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。(3)平行于同一个平面的两个平面平行。(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例。(5)夹在两个平行平面间的两条平行线段相等。五、直线与平面垂直1、直线与平面垂直的定义：如果一条直线垂直于一个平面的所有直线，则这条直线垂直于这个平面。2、直线与平面垂直的判定(1)如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直。（记为：线线垂直，则线面垂直）(2)如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。3、直线与平面垂直的性质(1)如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直。（记为：线面垂直，则线线垂直）(2)如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。(3)过一点与已知平面垂直的直线只有一条。(4)垂直于同一条直线的两个平面平行。六、面面垂直1、面面垂直的定义：如果两个平面相交所构成的二面角是90°，则这两个平面互相垂直。2、面面垂直的判定：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。（记为：线面垂直，则面面垂直）3、面面垂直的性质(1)如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。（记为：面面垂直，则线面垂直）(2)如果两个平面互相垂直，经过一个平面内的一点向另一个平面作垂线，那么这条垂线一定在第一个平面内。七、主要结论1、(1)lA，lB，A，Bl.(2)过不在同一直线上的三点有且仅有一个平面。古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有坚韧不拔之志。3(3)P，Pl且lP.(4)平行于同一直线的两条直线互相平行。2、线面位置关系分类异面平行相交共面线线)0()1()(个公共点线与面平行个公共点线与面相交无数个公共点线在面内线面相交平行面面3、线面平行的判定和性质(1)线面平行、面面平行判定①a，b，ba////a②a，b，Pba，//a，//b//(2)线面平行、面面平行性质①//a，a，bba//②//，a，bba//4、线面垂直的判定和性质(1)线面垂直、面面垂直判定①ma，na，m，n，Pnma②l，l(2)线面垂直、面面垂直性质①a，bba//②，l，la，aa【例题精讲】例1：已知S是△ABC所在平面外一点，O是边AC的中点，∠SOA=∠SOB=∠SOC，点P是SA的中点.(1)求证：SO⊥平面ABC；(2)求证：SC∥平面BOP.古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有坚韧不拔之志。4例2：已知正方形ABCD，E、F分别是边AB、CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图所示，记二面角A－DE－C的大小为θ(0＜θ＜π).(1)证明：BF∥平面ADE；(2)若△ACD为正三角形，试判断点A在平面BCDE内的射影G是否在直线EF上，请证明你的结论，并求角θ的余弦值.点、直线、平面之间的位置关系强化训练【基础精练】1.设l、m、n均为直线，其中m、n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.a、b是两条异面直线，A是不在a、b上的点，则下列结论成立的是()A.过A有且只有一个平面平行于a、bB.过A至少有一个平面平行于a、bC.过A有无数个平面平行于a、bD.过A且平行于a、b的平面可能不存在3.如图，ABCD—A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是()A.BD∥平面CB1D1B.AC1⊥BDC.AC1⊥平面CB1D1D.异面直线AD与CB1所成的角为60°4.给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②垂直于同一平面的两个平面互相平行；③若直线l1、l2与同一平面所成的角相等，则l1、l2互相平行；④若直线l1、l2是异面直线，则与l1、l2都相交的两条直线是异面直线。其中假命题的个数是()A.1B.2C.3D.45.下列命题错误的是()A.若四面体的两组对棱垂直，则第三组对棱也垂直B.若三棱锥的三侧棱两两垂直，则顶点在底面内的射影是底面三角形的垂心C.若△ABC所在平面外一点到三顶点的距离相等，则该点在平面ABC内的射影是△ABC的外心D.若△ABC所在平面外一点P到△ABC的三边距离相等，则P在平面ABC内的射影是△ABC内心古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有坚韧不拔之志。56.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，EF是异面直线AC、A1D的公垂线，则EF与BD1的关系为()A.相交不垂直B.相交垂直C.异面D.平行7.如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”，在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的对数是()A.48B.18C.24D.368.给定空间中的直线l及平面α，则“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的()A.充要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既非充分又非必要条件9.设有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（）A.若m∥α，n∥α，则m∥nB.若mα，nα，m∥β，n∥β，则α∥βC.若α⊥β，mα，则m⊥βD.若α⊥β，m⊥β，mα，则m∥α10.已知两条直线m、n和两个平面α、β，给出下面四个命题：①m∥n，m⊥αn⊥α，②α∥β，mα，nβm∥n，③m∥n，m∥αn∥α，④α∥β，m∥n，m⊥αn⊥β.其中正确命题的序号是()A.①③B.②④C.①④D.②③11.已知平面α∩β=m，直线n∥α，n∥β，则直线m、n的位置关系是_______________.12.平行四边形的一个顶点A在平面α内，其余三个顶点在α的同侧。已知其中有两个顶点到平面α的距离分别为1和2，那么剩下的一个顶点到平面α的距离可能是：①1；②2；③3；④4.以上结论正确的为______________.(写出所有正确结论的编号)13.下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是_________________.(写出所有符合要求的图形序号)14.下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别是其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP的图形的序号是_______________________________.古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有坚韧不拔之志。615.如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，侧面PBC内有BE⊥PC于E，且BE=36a，试在AB上找一点F，使EF∥平面PAD，并确定AF的长度.16.如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=2，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点.(1)求证：PO⊥平面ABCD；(2)求异面直线PB与CD所成角的大小；(3)线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为23？若存在，求出QDAQ的值；若不存在，请说明理由.古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有坚韧不拔之志。7【拓展提高】1.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2.(1)求证：平面A1BC1∥平面ACD1；(2)求(1)中两个平行平面间的距离；(3)求点B1到平面A1BC1的距离.2.已知三棱柱A1B1C1－ABC的底面边长及侧棱长均相等，AB⊥CB1，且侧面ABB1A1垂直于底面ABC.(1)求证：平面ABC1⊥平面CBB1C1；(2)求侧棱B1B与底面ABC所成角的大小.3.已知四棱锥P－ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD，点E为AB中点，点F为PD中点.(1)证明平面PED⊥平面PAB；(2)求二面角P－AB－F的平面角的余弦值.古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有坚韧不拔之志。8