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数学广角——植树问题师：我们利用课前两分钟的时间我们来做个游戏，游戏的名字叫敢动不敢言——看动作猜成语。游戏规则：我将请两位同学上来，我悄悄的给他们看一个词，完了以后，他们根据这个词的内容来演，但是不能发言，而我们在坐的同学呢给他们互动，你们来猜，看看我们班的同学配合默契程度怎么样，好不好？生：好师：谁愿意上来？（两位上来），好，我现在要悄悄的给他们看，你们做好准备。（看完后）哪位来做主持？生：我来，这个词是四个字的，第一个和第三个是数字，下面我来演示一下（两位同学演示）师：猜出来了吗？谁来说说看，你来找一位同学回答。生：一刀两断师：对不对，同意的举手，哦，都举手了，谢谢两位请坐，他们猜对了，就是一刀两断，（板书：一刀两断）你们真聪明，反应很快，配合的默契程度很高，师：好，现在做准备好了吗？（做好了）能上课了吗？（能）那我们现在上课了？师：上课生：老师好！师：同学们好！请坐一、导入师：今天我们这节数学课就从一刀两断开始，现在我们看这个词，数学上借用这个词我们替换一个字（一刀两断，替换一个字“断换段”）一起读一下。生一起读：一刀两断师：现在我想请一位同学用画草图的方式把一刀两断的结果表示出来（师板书——画），谁想上来画一画？（学生上台）师：我来帮帮你，如果这表示一跟绳子的话，你来使它一刀两断，（学生动手）师：谢谢，请回师：请看这个图，很简单，但是却让我们一目了然，请认真观察，刚才那位同学一共剪了几次？生一起回答：一次师：哦，一次，（板书：次数，在次数下面写1）剪成几段？（生回答：两段）（老师板书：段数，在段数下面写2）继续，像这样剪两次，几段？（3段）三次，几段？（4段）你们报得这么快，我都来不及记录了，让我记一下，（分别在次数下面和段数下面写2—3，3—4）师：还要我继续画下去吗？（不需要）那么你找到了规律了？（找到了）哦，请你们先别告诉我，让我来考考你们好不好？（好）师：我这次啊出大点的数字，如果像这样如果我剪50次（师在次数下面写上50），能剪成几段？生一起回答：51段师：这么快，好的（师在段数下面写上51），再来，现在我们反过来，像这样剪绳子，我想剪成……你想剪成几段啊？谁来报一个大点的数？生：1000段师：哦，1000段，我把它写下来（板书在段数下面），想好了吗？剪成1000段要剪几次？哦，举手的人真多，大家一起告诉我吧。生一起回答：999次师：看来这个规律大家真的已经找到了（师在“画”字下面写“找”字），谁来说说看，像这样剪绳子的时候，次数和段数之间有怎样的规律呢？生：段数都要比次数多1师：可以，还可以怎么说？生：次数比段数少1师：很好，那么现在我想问了，我们找到这个规律有什么好处？体会一下，像这些大的数据，是我们画出来的？不是，那是怎么出来的？生：是推理出来的师：他说是推理出来的，这个词用得非常棒（师板书——推），看来，一个简单的草图，我们通过观察在这些小的数据里面，我们找到了规律，就可以依次来推理了，是不是？也就是说我们可以“以小见大”（板书——以小见大），找到规律来推算。那么今天这节就让我们用以小见大：画、找、推这样一个方法来解决数学广角中的植树问题（板书——植树问题），二、新授师：好，现在我们要看屏幕了，请看屏幕（出示课件题目：一根绳总长12米，每段长3米，可剪几段？），一根绳总长12米，每段长3米，可剪几段？能完成吗？（能）好，我们做在我们的练习纸的第一部分，列式计算，答省略不写，开始吧（生动手，师巡视辅导，抽选一位同学的答案写在黑板上12÷3=4（段），1分钟后），师：好，校对，大家看黑板，这位同学答案对吗？生一起回答：对师：好，请问：除法算式中的12是指什么？生：这条绳子总长12米师：简单点，两个字，生一起回答：总长师：好，（板书——总长），3指什么？生：段长师：好的，（在总长后面板书——段长）请看，总长、段长，总长里有几段段长呢？4段，4段指什么？生：段数师：段数，（在段长后面板书——段数），通过这样的一个简单的数学问题，其实我们是总结出了一个数量关系，这个数量关系就是我们一起来说说吧：（板书）总长÷段长=段数，对了，现在让我们一起回到刚才的剪绳子的问题上，（出示课件第一题）像刚才那种剪法，剪成4段我们要剪几次？生一起回答：三次师：三次（演示课件剪刀剪），四段三次是不是符合我们刚才总结出来的规律？（手指剪绳子草图）段数比次数多1。生一起回答：是师：好了，现在我们要变换以下情境了，我们知道3月12日是植树日，那我们就不剪绳子了，我们来植树，请看大屏幕，（出示课件：一条路总长12米，每隔3米栽一棵树，可以怎样栽？栽几课？）师：请看题，这里有一个12米，这个12米是指什么？生一起回答：路的总长师：哦，路的总长，能不能用总长来概括，生：能师：哦，这里又有一个每隔3米栽一棵树，这3米就是什么？生：段长师：段长，好的，那么现在总长里面有多少个段长，那么求出来还是什么？生：4段师：那么现在这条小路分成4段的情况下，我们到底怎么该栽呢？可以栽几棵呢？这样，我们就用刚才总结的方法画、找、推（师指黑板板书），一步一步来研究，先从画开始，每位同学在这张图上画一画，小数苗到底可以栽在哪个位置上，开始吧，在你们的练习纸的第二部分画一画，开始，（老师巡视并抽选）（1分钟后）师：好，我们来交流一下，请看屏幕，这是第一位（用投影出示），这位同学栽了几棵树苗？生：5棵师：5棵树，5棵4段，再来看第二位，他栽了几棵树苗？生：3棵师：3棵，3棵4段，好，再来一位，栽了几棵树苗？生：4棵师：4棵，4棵4段，好，我把它们都搬到屏幕上去，在分成4段的情况下，刚才我在下面看了一下基本上出现的都是这三种情况，是吧？生一起回答：是师：有同学要问了，刚才我们在剪绳子的时候我们就是一刀两段，一种情况，现在怎么就出现三种情况呢？那么这三种情况里面他们的棵树和段数之间又有怎样的规律呢？想不想来研究一下？生一起回答：想师：想，好，接下来，我们要以小组为单位，我们一起来研究一下，拿出小组合作的那张练习纸，请看屏幕上的要求（师出示屏幕：1、给每种情况起个名。2、每种情况中“棵数”与“段数”有什么关系），开始研究吧。（师巡视辅导）师：（3分钟之后）有的同学说我起名有点困难，有的同学把名字起好了，找关系还来不及找，没关系，等下我们组和组之间还可以交流，好，我们先暂停一下，现在我们请一个小组派代表来介绍一下第一种情况下棵数和段数之间的关系，好不好？（好）哪组想来？生：他的关系是：棵数=段数+1（师在之前张贴的5棵4段图下面板书——棵数=段数+1）师：请观察这张简单的图示是不是这样的关系生：5棵数4段师：同意吗？（同意），好，请坐，我也发现有的用文字表示的他说棵数比段数多1，你看，同一个关系，同一个规律我们又可以用不同的表达方式，对不对？（对）好了，接下来请第二组来汇报下第二种情况，哪组来说一说？生：棵数比段数少1师：我们用数量关系表示…….生：棵数=段数—1（师在之前张贴的3棵4段图下面板书——棵数=段数—1）师：同意吗？同意，好，下面第三种情况，我们一起来吧，生一起说：棵数等于段数（师在之前张贴的4棵4段图下板书——棵数=段数）师：好了，现在我们来看，三种情况都是在分成4段的情况下，有的时候棵数比段数多1，有的时候棵数比段数少1，有的时候棵数等于段数？怎么回事呢？请认真观察，到底是哪个位置决定一会儿多1，一会儿少1呢？重在哪个位置上的数特别的重要？值得我们好好研究一下，什么位置上？生：两头师：两头，同意吗？生：同意师：好，那我们现在来观察，（师手指之前张贴的5棵4段说）两头都栽，结果棵数就等于段数加1，哦，你们都把名字说出来了，我们就叫它两头都栽或者叫两端都栽（在图前面写“两头都栽”），那么这个呢？（师指3棵4段图）能起名字了吧？生：能师：叫做什么？生：两头都不栽师：好，（师在3棵4段图前面写“两头都不栽”）那这个呢？（师指4棵4段图说）生：只栽一头师：那另一头呢？生：不栽，师：好，那我把他展开来写叫一头栽一头不栽（在4棵4段前面写），好了，我觉得你们起名字的本领真大，原来这个起名字也不是乱起的，你们看这三种情况起的多有水平啊，为什么有水平啊，他揭示了三种情况当中所预示的棵数和段数之间分别不同的关系，是不是？生：是师：那我要问了，一头栽一头不栽，除了这个情况还有吧？生分别说师：一种是头不栽尾栽，另一种是尾不栽头栽，是不是啊，哦，是不是这种情况？（师张贴一头栽一头不栽的另一张图在第三种情况的下面），你看，一个名字包括了两种情况，是吧，师：好了，现在我们已经研究了植树问题的三种情况，刚才啊，老师在巡视的时候有的同学说这三种情况不能再用一刀两断来概括了，我说对，他学习能力很强，那既然不能用一刀两断来概括了，那你们也想想办法用什么方法来概括下，为了方便记忆，我们也用一个四个字的词来概括下好不好？我们就叫它“五指四空”，（板书——五指四空），师：哦，已经有同学拿出手来比划了，好，请一位同学上来借用下你的小手，（把学生的小手放在投影仪上老师介绍）找一找五指代表我们刚才的五棵小树苗，四空代表刚才的四段，那“五指四空”这就是我们刚才的哪一种？生一起回答：第一种，师：非常好，它的名字叫什么？生：两头都栽师：太好了，谢谢，请回，接下来你能用你自己的小手创造性的表示下这种情况吗？（师出示一头栽一头不栽课件）动手演示下，生尝试演示师：4段4棵，是不是这样？（课件出示手）这是哪种情况？生：一头不栽一头栽师：真棒，好，还有一种情况呢，（师出示两头都不栽的课件）生尝试演示师：哦，这种手势比较难都做出来了，是不是这样啊？（课件出示手）这叫做什么呀？生：两头都不栽师：太对了，你看，小手是不离身的，有了这个模型，带在身上，你还怕记不住这三种情况当中棵数和段数之间的关系吗？不怕了，对不对？生一起回答：对师：好，现在回过头来，我们再来看刚才这到题：当一条小路每3米分成一段，可以分成四段，对吧，在分成4段的情况下我们得出了这三种栽法，都符合题意，这三种情况就是我们植树问题当中的三种最基本情况，好了，学到现在啊我们体会一下，我们刚才是用怎样的方法学的？（老师手指画、找、推）生：画、找、推师：好了，现在请你们翻开课本第117页例1，（师用课件出示此题）现在动手把这道题做在书中空白处，开始，师：请大家认真审题，题目当中的栽树方法其实就是我们刚才哪种情况？生：两头都栽师：（2分钟后）好了没有？好，很多同学都已经做好了，现在开始校对。是不是这样啊？两种：分步，综合，请问为什么要加1？生：因为两头要栽，所以要加1师：通过此题，我们归纳出一个数量关系，它就是段长×段数＝总长，原来就是我们刚才这个数量关系的反向运用，是不是啊，师：好，现在我们再来看看，我们今天这节课啊其实举了很多的例子，他们之间有没有关联呢，仔细观察，在数学广角之中，剪绳子其实就和哪种情况一样的？生：栽树，师：栽树有三种情况的，栽树里面的……生：两头都不栽师：路灯其实就和…….生：两头都栽一样师：是不是这样？生活中这样的例子还有很多很多，你们有心的可以去找一找师：好，现在我想问，通过今天这节课的学习，你有哪些收获，和大家分享一下，你最感兴趣的是什么？生：我知道了一刀两段，五指四空师：好，还有什么吗？生：我学会了画找推师：画、找、推，这是一种什么？生：方法师：方法，学习方法，非常啊，画、找、推，以小见大来类推，这就是一种学习方法，好，这节课可能过了时间的推移，里面的知识有的东西你会遗忘，但正如这位同学说的他牢牢记住了一刀两段，五指四空，为什么？因为他让我们领略了以小见大的魅力，这是你终身受用的。好，这节课就上到这里，下课