关于圆锥曲线张角为直角弦所在的直线过定点的证明

关于圆锥曲线张角为直角的弦所在的直线过定点的证明梁关化，2016，03，09真命题：设点00(,)Pxy在圆锥曲线上，且为直角的顶点。1）椭圆22221(0)xyabab张角为直角的弦所在的直线过定点00(,)txty，其中2222abtab；2）双曲线22221(0,0,)xyababab张角为直角的弦所在的直线过定点00(,)txty，其中2222abtab；3）抛物线22(0)ypxp张角为直角弦所在的直线过定点00(2,)pxy。证明如下：1）如下图设11(,)Axy，22(,)Bxy，直线AB的方程为xkym（注：这样设是为了免去直线斜率不存在的讨论）654321-1-2-3-4-5-10-8-6-4-224681012BDPA解方程组：22221xyabxkym，消去x后并整理得222222222()20akbymkbymbab从而有2122222mkbyyakb（1），222212222mbabyyakb（2）又11xkym，22xkym故又有1212()2xxkyym（3），22121212()xxkyykmyym（4）由PAPB得01020102()()()()0yyyyxxxx展开得22012012012012()()0yyyyyyxxxxxx（5）把（1）（2）（3）（4）代入（5）并按m整理得2222222000000()2()()()()0abmkbyaxmabxkyxky分解得22220000()()()()0abmabxkymxky解得220022()()abxkymab，或00mxky（舍去，此时点P在直线AB上，不合题意）故直线AB的方程为220022()()abxkyxkyab变形为2222002222()()()abxabyxkyabab由此可知张角为直角的弦所在的直线过定点2222002222()()(,)abxabyabab2）如下图（证明过程类比椭圆，详解过程略）3）如下图设11(,)Axy，22(,)Bxy，直线AB的方程为xkym（注：这样设是为了免去直线斜率不存在的讨论）解方程组：22ypxxkym，消去x后并整理得2220ypkypm从而有122yypk（1），122yypm（2）又11xkym，22xkym654321-1-2-3-4-5-6-10-8-6-4-224681012L1BDPA654321-1-2-3-4-5-10-8-6-4-224681012BDPA故又有1212()2xxkyym（3），22121212()xxkyykmyym（4）由PAPB得01020102()()()()0yyyyxxxx展开得22012012012012()()0yyyyyyxxxxxx（5）把（1）（2）（3）（4）代入（5）并按m整理得2000002()(2)()0mpxmxkypxky分解得0000(2)()0mxkypmxky解得002mxkyp，或00mxky（舍去，此时点P在直线AB上，不合题意）故直线AB的方程为002xkyxkyp变形为00(2)()xpxkyy由此可知张角为直角的弦所在的直线过定点00(2,)pxy