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专题突破练26 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题1.(2019北京房山区高三第一次模拟测试)已知椭圆=1,过坐标原点O做两条互相垂直的射线,𝑥24+𝑦23与椭圆分别交于M,N两点.(1)求椭圆的离心率;(2)求证:点O到直线MN的距离为定值.2.(2019辽宁丹东高三总复习质量测试一)已知离心率为2的双曲线C的一个焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为.3(1)求双曲线C的方程;(2)设A1,A2分别为C的左、右顶点,P为C异于A1,A2的一点,直线A1P与A2P分别交y轴于M,N两点,求证:以线段MN为直径的圆D经过两个定点.3.(2019山东聊城高三三模)设椭圆C:=1(b0)的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为A,过点A𝑥24+𝑦2𝑏2与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q,且=0.𝐹1𝑄+𝐹1𝐹2(1)求椭圆C的方程;(2)过椭圆C的右焦点F2作斜率为1的直线l与椭圆C交于M,N两点,试在x轴上求一点P,使得以PM,PN为邻边的平行四边形是菱形.4.(2019江西新八校高三第二次联考)已知椭圆C:=1(ab0),c=,左、右焦点为F1,F2,点𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏23P,A,B在椭圆C上,且点A,B关于原点对称,直线PA,PB的斜率的乘积为-.14(1)求椭圆C的方程;(2)已知直线l经过点Q(2,2),且与椭圆C交于不同的两点M,N,若|QM||QN|=,判断直线l的斜率是163否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.5.(2019山东青岛高考模拟检测)已知O为坐标原点,点F1(-,0),F2(,0),S(3,0),动点N满足222|NF1|+|NS|=4,点P为线段NF1的中点,抛物线C:x2=2my(m0)上点A的纵坐标为=6.36,𝑂𝐴·𝑂𝑆6(1)求动点P的轨迹曲线W的标准方程及抛物线C的标准方程;(2)若抛物线C的准线上一点Q满足OP⊥OQ,试判断是否为定值?若是,求这个定值;若不1|𝑂𝑃|2+1|𝑂𝑄|2是,请说明理由.6.(2019山东日照高三5月校际联合考试)如图,已知椭圆E:=1(ab0),A(4,0)是长轴的一个端点,𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2弦BC过椭圆的中心O,且cos=,||=2||.𝑂𝐴,𝐶𝐴21313𝑂𝐶‒𝑂𝐵𝐵𝐶‒𝐵𝐴(1)求椭圆E的方程.(2)过椭圆E右焦点F的直线,交椭圆E于A1,B1两点,交直线x=8于点M,判定直线CA1,CM,CB1的斜率是否依次构成等差数列?请说明理由.参考答案专题突破练26 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题1.(1)解由椭圆的方程=1,可得a=2,b=,∴c2=a2-b2=1.𝑥24+𝑦233∴椭圆的离心率e=.𝑐𝑎=12(2)证明当直线MN的斜率不存在时,∠MON=90°,不妨设M(x0,x0),则有N(x0,-x0).又M,N两点在椭圆上,∴=1,∴.𝑥204+𝑥203𝑥20=127∴点O到直线MN的距离d=.127=2217当直线MN的斜率存在时,设直线MN的方程为y=kx+m.由消去y得(3+4k2)·x2+8kmx+4m2-12=0,则Δ=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)0.{𝑦=𝑘𝑥+𝑚,𝑥24+𝑦23=1, 设M(x1,y1),N(x2,y2).∴x1+x2=-,x1x2=.8𝑘𝑚3+4𝑘24𝑚2-123+4𝑘2∵OM⊥ON,∴x1x2+y1y2=0.∴x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0.即(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0.∴(k2+1)·+m2=0.4𝑚2-123+4𝑘2‒8𝑘2𝑚23+4𝑘2整理得7m2=12(k2+1),满足Δ0,∴点O到直线MN的距离d=.|𝑚|𝑘2+1=127=2217综上所述,点O到直线MN的距离为定值.22172.(1)解设C:=1(a0,b0),𝑥2𝑎2‒𝑦2𝑏2因为离心率为2,所以c=2a,b=a.3所以C的渐近线为x±y=0,3不妨取其中一条x+y=0.3由,得c=2.3=|3𝑐-0|(3)2+12于是a=1,b=,3故双曲线C的方程为x2-=1.𝑦23(2)证明设P(x0,y0)(x0≠±1),因为A1(-1,0),A2(1,0),可得直线A1P与A2P的方程分别为y=(x+1),y=(x-1).𝑦0𝑥0+1𝑦0𝑥0-1由题设,所以M0,,N0,,|MN|=,MN中点坐标0,,𝑦0𝑥0+1-𝑦0𝑥0-1|2𝑥0𝑦0𝑥20-1|𝑦01-𝑥20于是圆D的方程为x2+y-2=.𝑦01-𝑥20𝑥20𝑦20(𝑥20-1)2因为=1,所以圆D的方程可化为x2+y2+y-3=0.𝑥20‒𝑦2036𝑦0当y=0时,x=±,因此D经过两个定点(-,0)和(,0).3333.解(1)设椭圆C的焦距为2c(c0),则点F1坐标为(-c,0),点F2坐标为(c,0).设Q(x0,0),且x00,则=(x0+c,0),=(2c,0),𝐹1𝑄𝐹1𝐹2∵=0,则x0+c+2c=0,𝐹1𝑄+𝐹1𝐹2∴x0=-3c,即点Q(-3c,0).∵直线AF2与直线AQ垂直,且点A(0,b),∴=(c,-b),=(-3c,-b).𝐴𝐹2𝐴𝑄由=b2-3c2=0,得b2=3c2,𝐴𝐹2·𝐴𝑄∵4=b2+c2=4c2,∴c=1,b=.3因此,椭圆C的方程为=1.𝑥24+𝑦23(2)由(1)得F2(1,0).设点M(x1,y1),N(x2,y2),直线l的方程为y=x-1.将直线l的方程与椭圆C的方程联立消去y并整理得7x2-8x-8=0,由韦达定{𝑦=𝑥-1,𝑥24+𝑦23=1, 理得x1+x2=,x1x2=-,所以.8787𝑥1+𝑥22=47因此,线段MN的中点为E,-.4737设点P的坐标为(t,0),由于以PM,PN为邻边的平行四边形是菱形,则PE⊥MN.所以直线PE的斜率为kPE==-1,解得t=.37𝑡-47=37𝑡-417因此,当点P坐标为,0时,以PM,PN为邻边的平行四边形为菱形.174.解(1)设A(x1,y1),P(x2,y2),则B(-x1,-y1).点A,P在椭圆上,有=1,=1.𝑥21𝑎2+𝑦21𝑏2𝑥22𝑎2+𝑦22𝑏2两式作差,整理得=0.𝑥21-𝑥22𝑎2+𝑦21-𝑦22𝑏2则=-.𝑦21-𝑦22𝑥21-𝑥22𝑏2𝑎2kPA·kPB==-=-.𝑦1-𝑦2𝑥1-𝑥2·-𝑦1-𝑦2-𝑥1-𝑥2=𝑦21-𝑦22𝑥21-𝑥22𝑏2𝑎214又c=,a2=b2+c2,可得a2=4,b2=1,c2=3.3∴椭圆C的方程为+y2=1.𝑥24(2)由题意知直线l存在斜率.设直线l的方程为y-2=k(x-2),将其代入+y2=1,整理可得(1+4k2)x2+16k(1-k)x+16(1-k)2-4=0,则Δ=[16k(1-k)]2-4(1+4k2)𝑥24[16(1-k)2-4]0,得k.38设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.16𝑘(𝑘-1)1+4𝑘216(1-𝑘)2-41+4𝑘2=4(4𝑘2-8𝑘+3)1+4𝑘2∵|QM||QN|=,且=0,163𝑄𝑀,𝑄𝑁∴.𝑄𝑀·𝑄𝑁=163∵=(x1-2,y1-2),=(x2-2,y2-2),𝑄𝑀𝑄𝑁∴(x1-2)(x2-2)+(y1-2)(y2-2)=.163∵y1=k(x1-2)+2,y2=k(x2-2)+2,∴(x1-2)(x2-2)+(y1-2)(y2-2)=(x1-2)(x2-2)(1+k2)=[x1x2-2(x1+x2)+4](1+k2)=.163∴-2×+4(1+k2)=.4(4𝑘2-8𝑘+3)1+4𝑘216𝑘(𝑘-1)1+4𝑘2163化简得,解得k2=2.16(1+𝑘2)1+4𝑘2=163∵k,∴k=.382∴直线l的斜率为定值.25.解(1)由题知|PF2|=,|PF1|=,|𝑁𝑆|2|𝑁𝐹1|2所以|PF1|+|PF2|==2|F1F2|,|𝑁𝐹1|+|𝑁𝐹2|23因此动点P的轨迹W是以F1,F2为焦点的椭圆,又知2a=2,2c=2,32所以曲线W的标准方程为+y2=1.𝑥23又由题知A(xA,),所以=(xA,)·(3,0)=3xA=6,所以xA=2.6𝑂𝐴·𝑂𝑆62263又因为点A(2)在抛物线C上,所以m=,所以抛物线C的标准方程为x2=2y.3,666(2)设P(xP,yP),QxQ,-,62由题知OP⊥OQ,所以xPxQ-=0,即xQ=(xP≠0),6𝑦𝑃26𝑦𝑃2𝑥𝑃所以.1|𝑂𝑃|2+1|𝑂𝑄|2=1𝑥2𝑃+𝑦2𝑃+13𝑦2𝑃2𝑥2𝑃+32=3+2𝑥2𝑃3(𝑥2𝑃+𝑦2𝑃)又因为=1,=1-,𝑥2𝑃3+𝑦2𝑃𝑦2𝑃𝑥2𝑃3所以=1.3+2𝑥2𝑃3(𝑥2𝑃+𝑦2𝑃)=3+2𝑥2𝑃3(𝑥2𝑃+1-𝑥2𝑃3)所以为定值,且定值为1.1|𝑂𝑃|2+1|𝑂𝑄|26.解(1)由||=2||,𝑂𝐶‒𝑂𝐵𝐵𝐶‒𝐵𝐴得||=2||,即||=||,𝐵𝐶𝐴𝐶𝑂𝐶𝐴𝐶所以△AOC是等腰三角形.又a=|OA|=4,故点C的横坐标为2.又cos=,𝑂𝐴,𝐶𝐴21313设点C的纵坐标为yC,=(4,0),=(2,-yC)𝑂𝐴𝐶𝐴,解得yC=±3,应取C(2,3),4×24𝑦2𝐶+22=21313又点C在椭圆上,∴=1,解得b2=12.2242+32𝑏2∴所求椭圆的方程为=1.𝑥216+𝑦212(2)由题意知椭圆的右焦点为F(2,0),C(2,3),由题意可知直线CA1,CM,CB1的斜率存在,设直线A1B1的方程为y=k(x-2),代入椭圆=1并整理,得(3+4k2)x2-16k2x+16k2-48=0.𝑥216+𝑦212设A1(x1,y1),B1(x2,y2),直线CA1,CM,CB1的斜率分别为k1,k2,k3,则有x1+x2=,x1x2=16𝑘23+4𝑘2.16𝑘2-483+4𝑘2可知M的坐标为M(8,6k).∴k1+k3=𝑦1-3𝑥1-2+𝑦2-3𝑥2-2=𝑘(𝑥1-2)-3𝑥1-2+𝑘(𝑥2-2)-3𝑥2-2=2k-3·𝑥1+𝑥2-4𝑥1𝑥2+4-2(𝑥1+𝑥2)=2k-1.又2k2=2·=2k-1,6𝑘-38-2∴k1+k3=2k2.即直线CA1,CM,CB1的斜率成等差数列.