圆锥曲线垂直弦中点轨迹过定点问题

2014.11.301/4椭圆和双曲线垂直弦中点轨迹过定点问题成都石室中学蒋宗汛一、结论结论１：椭圆方程C：22221xyab，过点00P,0,xxaa作两条相互垂直的直线1l、2l与椭圆分别交于A、B、C、D四点。设弦AC、BD的中点分别为M、N，MNl恒过定点2022,0axab结论２：椭圆方程C：22221xyab，过点00P0,,yybb作两条相互垂直的直线1l、2l与椭圆分别交于A、B、C、D四点。设弦AC、BD的中点分别为M、N，MNl恒过定点20220,byab结论３：椭圆方程C：22221xyab，过点22000022P,1xyxyab作两条相互垂直的直线1l、2l与椭圆分别交于A、B、C、D四点。设弦AC、BD的中点分别为M、N，MNl恒过定点22002222,abxyabab结论４：双曲线方程C：22221xyab，过点00P,0,,xxaa作两条相互垂直的直线1l、2l与椭圆分别交于A、B、C、D四点。设弦AC、BD的中点分别为M、N，MNl恒过定点2022,0axab结论５：双曲线方程C：22221xyab，过点22000022P,1xyxyab作两条相互垂直的直线1l、2l与椭圆分别交于A、B、C、D四点。设弦AC、BD的中点分别为M、N，MNl恒过定点22002222,abxyabab结论６：双曲线方程C：22221xyab，过点00P0,yy,,bb作两条相互垂直的2014.11.302/4直线1l、2l与椭圆分别交于A、B、C、D四点。设弦AC、BD的中点分别为M、N，MNl恒过定点2022,0axab结论７：双曲线方程C：22221xyab，过点22000022P,1xyxyab作两条相互垂直的直线1l、2l与椭圆分别交于A、B、C、D四点。设弦AC、BD的中点分别为M、N，MNl恒过定点22002222,abxyabab二、例证结论１①当直线1l、2l均不与坐标轴平行时，令直线10lxmyx：，则直线201lxyxm：2222222422010C120xyabmymbxybablxmyx：：由韦达定理：20AC2222=mbxyyabm中点2AC0222=2myymbxyabm带入直线方程10lxmyx：得20222maxxabm2200222222Maxmbxabmabm，同理可得22200222222Namxmbxambamb，2200222222222222200222222=1MNMNMNmbxmbxmabyyabmambkaxamxxxamabmamb直线2222022222:111MNMMmabmabmxlyxxyyxmamam即220221mabyxxma直线MNl过定点2022,0axab2014.11.303/4②当直线1l、2l有一条与坐标轴平行时，直线MNl为ｘ轴必过定点2022,0axab综上：结论一证得三、分析思考1.联系椭圆的对称性，可以轻松拓展到ｙ轴方向（结论２）。2.联系圆锥曲线顶点直角的结论的推广方式，以及本结论的表达形式，可以拓展到椭圆内部任意一点（结论３）（主义椭圆内部点的表示方式）。3.联系椭圆和双曲线的对应关系，以上各条（结论１～３）均可以推广到双曲线中（结论４～７）（注意椭圆与双曲线的差异性：非封闭图形，因此横双竖双内部的点要分开讨论）。4.局限：椭圆与双曲线和抛物线的表达形式有较大差异，对于抛物线中的上述结论需要重新讨论。四、附：与之相关的《圆锥曲线曲线上直角弦过定点结论》1.椭圆：椭圆方程C：22221xyab上一点00P,xy，椭圆上存在不同于点P的点A、B，且满足MAMB=0，则ABl过定点2222002222,ababxyabab2.双曲线：i.双曲线方程C：22221xyab上一点00P,xy，椭圆上存在不同于点P的点A、B，且满足MAMB=0，则ABl过定点2222002222,ababxyababii.双曲线方程C：22221xyab上一点00P,xy，椭圆上存在不同于点P的点A、B，且满足MAMB=0，则ABl过定点2222002222,ababxyabab3.抛物线：i.抛物线方程C：220ypxp上一点00P,xy，抛物线上存在不同于点P的点A、B，且满足MAMB=0，则ABl过定点002,xpy2014.11.304/4ii.抛物线方程C：220ypxp上一点00P,xy，抛物线上存在不同于点P的点A、B，且满足MAMB=0，则ABl过定点002,xpyiii.抛物线方程C：220xpyp上一点00P,xy，抛物线上存在不同于点P的点A、B，且满足MAMB=0，则ABl过定点00,2xypiv.抛物线方程C：220xpyp上一点00P,xy，抛物线上存在不同于点P的点A、B，且满足MAMB=0，则ABl过定点00,2xyp五、联系《圆锥曲线曲线上直角弦过定点结论》其实是与《圆锥曲线垂直弦中点轨迹过定点结论》有巨大联系的（或者说后者的范围比前者大）。即：当后者的弦交点在曲线上时，令前者得到的定点1M、后者得到的定点2M、弦交点P，三点满足：2M为线段1PM的中点。（由几何关系：平行线分线段成比例，易得。）