圆锥曲线焦点弦长公式极坐标参数方程

圆锥曲线焦点弦长公式（极坐标参数方程）圆锥曲线的焦点弦问题是高考命题的大热点，主要是在解答题中，全国文科一般为压轴题的第22题，理科和各省市一般为第21题或者第20题，几乎每一年都有考察。由于题目的综合性很高的，运算量很大，属于高难度题目，考试的得分率极低。本文介绍的焦点弦长公式是圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）的通用公式，它是解决这类问题的金钥匙，利用这个公式使得极其复杂的问题变得简单明了，中等学习程度的学生完全能够得心应手！?定理已知圆锥曲线（椭圆、双曲线或者抛物线）的对称轴为坐标轴(或平行于坐标轴)，焦点为F，设倾斜角为的直线l经过F，且与圆锥曲线交于A、B两点，记圆锥曲线的离心率为e，通径长为H，则（1）当焦点在x轴上时，弦AB的长|cos1|||22eHAB；（2）当焦点在y轴上时，弦AB的长|sin1|||22eHAB.推论：（1）焦点在x轴上，当A、B在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，22cos1||eHAB；当A、B不在双曲线的一支上时，1cos||22eHAB；当圆锥曲线是抛物线时，2sin||HAB.（2）焦点在y轴上，当A、B在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，22sin1||eHAB；当A、B不在双曲线的一支上时，1sin||22eHAB；当圆锥曲线是抛物线时，2cos||HAB.典题妙解下面以部分高考题为例说明上述结论在解题中的妙用.例1（06湖南文第21题）已知椭圆134221yxC：，抛物线pxmy22）（（p＞0），且1C、2C的公共弦AB过椭圆1C的右焦点.（Ⅰ）当xAB轴时，求p，m的值，并判断抛物线2C的焦点是否在直线AB上；（Ⅱ）若34p且抛物线2C的焦点在直线AB上，求m的值及直线AB的方程.2FOABxy例2（07全国Ⅰ文第22题）已知椭圆12322yx的左、右焦点分别为1F、2F，过1F的直线交椭圆于B、D两点，过2F的直线交椭圆于A、C两点，且BDAC，垂足为P.（1）设P点的坐标为），（00yx，证明：232020yx＜1.（2）求四边形ABCD的面积的最小值.2FABCDOxy1FP例3（08全国Ⅰ理第21题文第22题）双曲线的中心为原点O，焦点在x上，两条渐近线分别为1l、2l，经过右焦点F垂直于1l的直线分别交1l、2l于A、B两点.已知||OA、||AB、||OB成等差数列，且BF与FA同向.（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程.AByOFx1l2lNM金指点睛1.已知斜率为1的直线l过椭圆1422xy的上焦点F交椭圆于A、B两点，则||AB=_________.2.过双曲线1322yx的左焦点F作倾斜角为6的直线l交双曲线于A、B两点，则||AB=_________.3.已知椭圆02222yx，过左焦点F作直线l交A、B两点，O为坐标原点，求△AOB的最大面积.4.已知抛物线pxy42（p＞0），弦AB过焦点F，设mAB||，△AOB的面积为S，求证：mS2为定值.BOxyAFyOFxAB5.（05全国Ⅱ文第22题）P、Q、M、N四点都在椭圆1222yx上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点.已知PF与FQ共线，MF与FN共线，且0MFPF.求四边形PQMN的面积的最大值和最小值.6.(07重庆文第22题)如图，倾斜角为的直线经过抛物线xy82的焦点F，且与抛物线交于A、B两点.OxNPyMQF（Ⅰ）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；（Ⅱ）若为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明2cos||||FPFP为定值，并求此定值.yOFxABDEClmP7.点M与点)2,0(F的距离比它到直线03:yl的距离小1.（1）求点M的轨迹方程；（2）经过点F且互相垂直的两条直线与轨迹相交于A、B；C、D.求四边形ACBD的最小面积.FOxABDCy8.已知双曲线的左右焦点1F、2F与椭圆1522yx的焦点相同，且以抛物线xy22的准线为其中一条准线.（1）求双曲线的方程；（2）若经过焦点2F且互相垂直的两条直线与双曲线相交于A、B；C、D.求四边形ACBD的面积的最小值.y2FAOx1l2lBCD参考答案：证明：设双曲线方程为12222byax（a＞0，b＞0），通径abH22，离心率ace，弦AB所在的直线l的方程为）（cxky（其中tank，为直线l的倾斜角），其参数方程为为参数）（，ttytcx.sincos.代入双曲线方程并整理得：0cos2cossin4222222btcbtba）（.由t的几何意义可得：|cos1|2|cos1|2|cossin|2cossin4cossincos24||||22222222222222222222222122121eabeabbaabbabbacbttttttAB）（）（.|cos1|22eH例1.解：（Ⅰ）当xAB轴时，点A、B关于x轴对称，0m，直线AB的方程为1x.从而点A的坐标为），（231或），（231.点A在抛物线2C上，.249p即.89p此时抛物线2C的焦点坐标为），（0169，该焦点不在直线AB上.（Ⅱ）设直线AB的倾斜角为，由（Ⅰ）知2.则直线AB的方程为）（1tanxy.抛物线2C的对称轴my平行于x轴，焦点在AB上，通径382pH，离心率1e，于是有.cos138sin||22）（HAB又AB过椭圆1C的右焦点，通径322abH，离心率21e..cos412|cos1|||222eHAB）（2cos138.cos4122解之得：6tan71cos2，.抛物线2C的焦点），（mF32在直线）（1tanxy上，tan31m，从而36m.当36m时，直线AB的方程为066yx；当36m时，直线AB的方程为066yx例2.（1）证明：在12322yx中，123cba，，.，9021PFFO是1F2F的中点，.1||21||21cFFOP得.12020yx点P在圆122yx上.显然，圆122yx在椭圆12322yx的内部.2FOABxy故232020yx＜1.（2）解：如图，设直线BD的倾斜角为，由BDAC可知，直线AC的倾斜角2.通径33422abH，离心率33e.又BD、AC分别过椭圆的左、右焦点1F、2F，于是.sin3342cos1||cos334cos1||222222）（，eHACeHBD四边形ABCD的面积.2sin2496sin334cos33421||||21222ACBDS]10[2sin02，，，.42596，S.故四边形ABCD面积的最小值为2596.例3，解：（Ⅰ）设双曲线的方程为12222byax（a＞0，b＞0）.2FABCDOxy1FP||OA、||AB、||OB成等差数列，设mAB||，公差为d，则dmOA||，dmOB||，222)()(dmmdm.即2222222ddmmmddmm.4md.从而43||mOA，45||mOB.又设直线1l的倾斜角为，则2AOB.1l的方程为xaby..tanab而.34||||tan2tanOAABAOB34)(12tan1tan222abab.解之得：.21ab.25)(12abe（Ⅱ）设过焦点F的直线AB的倾斜角为,则2.sincos.而.51)21(1)21(tan1tansin2222251cos2.通径babbabH222.又设直线AB与双曲线的交点为M、N.于是有：4cos1||22eHMN.AByOFx1l2lNM即451)25(12b.解得3b，从而6a.所求的椭圆方程为193622yx.1.解：3,1,2cba，离心率23ace，通径122abH，直线l的倾斜角4.58)22()23(11sin1||2222eHAB.2.解：2,3,1cba，离心率2ace，通径622abH，直线的倾斜角6.3|)23(21|6|cos1|||2222eHAB.3.解：1222yx，1,1,2cba，左焦点)0,1(F，离心率22ace，通径222abH.当直线l的斜率不存在时，xl轴，这时22||2abHAB，高1||cOF，△AOB的面积221221S.当直线l的斜率存在时，设直线l的倾斜角为，则其方程为)1(tanxy，即0tantanyx，原点O到直线AB的距离sin|sec||tan|1tan|tan0tan0|2d.222222sin122cos222cos)22(12cos1||eHAB.△AOB的面积2sin1sin2||21dABS.0＜＜，sin＞0.从而sin2sin12.22sin2sin2S.当且仅当1sin，即2时，“=”号成立.故△AOB的最大面积为22.4.解：焦点为)0,(pF，通径pH4.当直线AB的斜率不存在时，xAB轴，这时pmAB4||，高pOF||，△AOB的面积22||||21pOFABS.3442444pppmpmS，是定值.当直线AB的斜率存在时，设直线的倾斜角为，则其方程为)(tanpxy，即0tantanpyx，原点O到直线AB的距离sin|sec||tan|1tan|tan|2pppd.BOxyAF22sin4sin||pHAB.△AOB的面积sin2||212pdABS.32242424sinsin41sin4pppmpmS.不论直线AB在什么位置，均有32pmS（3p为定值）.5.解：在椭圆1222yx中，.112cba，，由已知条件，MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点），（10F，且PQMN.如图，设直线PQ的倾斜角为，则直线MN的倾斜角2.通径222abH，离心率22e.于是有.sin222sin1||cos222)2(sin1||222222eHPQeHMN，四边形PQMN的面积.2sin816sin222cos22221||||21222PQMNSOxNPyMQFyOFxAB]10[2sin02，，，.2916，S.故四边形PQMN面积的最小值和最大值分别为916和2.6.（Ⅰ）解：4,82pp，抛物线的焦点F的坐标为)2,0(，准线l的方程为2x.（Ⅱ）证明：作lAC于C，ACFD于D.通径82pH.则cos||||,cos||||,sin8sin||22AFADFPEFHAB.4cos||||||||AFpADACAF.cos14||AF.22sincos4sin4cos14||21||||||||ABAFAEAFEF，从而2sin4cos||||EFFP.8sin2sin4)2cos1(||2cos||||22FPFPFP.故2cos||||FPFP为定值，此