高中数学椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用

.椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用摘要：直线与椭圆相交时的弦长问题，可以用万能的弦长公式解决即212=1ABkxx或者2112=1+()kAByy，而有一种特殊的弦是过焦点的弦，它的弦长有专门的公式：22222cosabABac，如果记住公式，可以给我们解题带来方便.下面我们用万能弦长公式，余弦定理，焦半径公式，仿射性四种方法来推导椭圆的焦点弦长公式，这几种方法涉及到很多思想，最后举例说明其应用.解法一：根据弦长公式直接带入解决.题：设椭圆方程为12222byax，左右焦点分别为12(,0),(,0)FcFc，直线l过椭圆的右焦点2F交椭圆于1122(,),(,)AxyBxy两点，求弦长AB.椭圆方程12222byax可化为0222222bayaxb……①，直线l过右焦点，则可以假设直线为：xmyc(斜率不存在即为0m时)，代入①得：222222222()20bmaymcbybcab，整理得，222224()20bmaymcbyb∴2412122222222,mcbbyyyybmabma，∴2424222221122222222222244(1)=1+()1()1()kmcbbabmAByymmbmabmabma∴2222221abABmbma（1）若直线l的倾斜角为，且不为90,则1tanm，则有：2222222222221111tantanababABmbmaba,由正切化为余弦，得到最后的焦点弦长公式为22222cosabABac……②.（2）若=90，则0m，带入2222221abABmbma,得通径长为22ba，同样满足②式.并且由.222232222222222222222222()222()2()21=22ababmaaabaabaabbABmaabmabmabmaaa,当且仅当0m即斜率不存在的时候，过焦点弦长最短为ab22，故可知通径是最短的焦点弦，.综上，焦点弦长公式为22222cosabABac.解法二：根据余弦定理解决题：设椭圆方程为12222byax，左右焦点分别为12(,0),(,0)FcFc，直线l过椭圆的右焦点2F交椭圆于1122(,),(,)AxyBxy两点，求弦长AB.解：如右图所示，连结11,FAFB，设22=,FAxFBy，假设直线的倾斜角为，则由椭圆定义可得11=2,2FAaxFBay，在12AFF中，由余弦定理得222(2)(2)cos()4cxaxcx，化简可得2cosbxac，在12BFF中，由余弦定理同理可得2cosbyac，则弦长2222222=coscoscosbbabABxyacacac.解法三：利用焦半径公式解决题：设椭圆方程为12222byax，左右焦点分别为12(,0),(,0)FcFc，直线l过椭圆的右焦点2F交椭圆于1122(,),(,)AxyBxy两点，求弦长AB.解：由解法一知22212121222222222=()22mcbacxxmycmycmyyccbmabma.由椭圆的第二定义可得焦半径公式，那么2122,FAaexFBaex.故222221212222222222(1)=2()abmababmABaexaexaexxbmabma后面分析同解法一.解法四：利用仿射性解决题：设椭圆方程为12222byax，左右焦点分别为12(,0),(,0)FcFc，直线l过椭圆的右焦点2F交椭圆于1122(,),(,)AxyBxy两点，求弦长AB.解：利用仿射性，可做如下变换''xxayyb，则原椭圆变为222(')(')xya，这是一个以原点为圆心，a为半径的圆.假设原直线的斜率为k，则变换后斜率为akb.椭圆中弦长212=1ABkxx，经过变换后变为212''1()aABkxxb，带入，得变换前后弦长关系为22221=''bkABABbak……③而我们知道圆的弦长可以用垂径定理求得.如图所示，假设直线为()aykxcb，圆心到直线的距离为21()akcbdakb，根据半径为a，勾股定理求得弦长为222222222()(1)''=221()akcabkbABaakbakb，将此结果带入③中，得222222222222222222211(1)2(1)=''=2=bkbkabkabkABABbakbakbakbak，由tank，带入得22222cosabABac..上面我们分别用了四种不同的方法，求出了椭圆中过焦点的弦长公式为：22222cosabABac，记住这个公式，可以帮助我们快速解决一些题目，下面我们举例说明.例1已知椭圆2212521xy，过椭圆焦点且斜率为3的直线交椭圆于,AB两点，求AB.分析：如果直接用弦长公式解决，因为有根号，特别繁琐，利用公式则迎刃而解.解：由题，225,21,4=3abc，,带入22222cosabABac得=10AB.例2已知点3(1,)2P在椭圆C：22221(0)xyabab上，过椭圆C的右焦点2(1,0)F的直线l与椭圆C交于,MN两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若AB是椭圆C经过原点O的弦，且MNABP，2ABWMN,试判断W是否为定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由.分析：因为l过焦点，故弦长可以用过焦点的弦长公式解决，显得十分简洁简单.解：（1）由题知1c，将点P带入得221914ab，又222abc，解得224,3ab，故椭圆方程为22143xy.（2）假设(,)Amn，则222ABmn，设倾斜角为，则22cosmmn，根据过焦点的弦长公式则2222222222221234cos12()4abmnMNmacmnmn，故222=443ABmnWMN（）=4.例3如图，已知椭圆22143xy的左右焦点为12,FF，过2F的直线1l交椭圆于,AC两点，过1F的直线2l交椭圆于,BD两点，12,ll交于点P(P在x轴下方)，且1234FPF，求四边形ABCD的面积的最大值.分析：注意到以原点为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆没有交点，故形成1234FPF的点P在圆内，先可以用焦点弦长公式表示出面积，再利用换元求出其最大值..解：假设1l的倾斜角为,则2l的倾斜角为3+4，由椭圆的焦点弦长公式得：2124cosAC,2124cos()4BD，221221212=2244cos4cos()4SACBD,设22()(4cos)(4cos())4f71714971(cos2)(sin2)sin2+cos2+sin42222448（）设sin2cos2(2,2)tt，则2sin41t,带入得24971()+(1)448fttt即21797()848ftttmin99142()8ft,此时2t，即sin2cos22，得到=8.综上，四边形ABCD的最大值为2882=5.1499142S.此时=8，得到2l的倾斜角为78,刚好两直线关于y轴对称，如右图所示.