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一次函数与等腰三角形存在性问题重点内容梳理一、等腰三角形存在核心思想：——分类讨论（顶点未知，讨论顶点即可）1.A为顶点：AP=AB→以A为圆心B为半径画圆（E为共线点）2.B为顶点：BP=BA→以B为圆心A为半径画圆（F为共线点）3.P为顶点：PA=PB→AB的中垂线（o为共线点）求取方法：1.采用两圆一线找到特殊位置点——找交点2.两点之间距离公式表示等长线段，求取点坐标3.最终结论注：该类问题相对较综合，点坐标的求取方法较灵活，需综合运用几何与代数相关定理。引例：已知，平面内点A（0,2），B（2,0）（1）求，AB所在直线解析式（2）若坐标轴上存在一点，使△ABC①A为顶点，AB=AC，A为圆心，AB为半径画圆，②B为顶点，AB=BC，B为圆心，AB为半径画圆③C为圆心，AB中垂线例题例题1.——x轴上的点1.（2019秋•金水区校级月考）如图，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于点A，B，且OA＝8，OB＝6.（1）求直线AB的解析式．（2）在x轴上是否有在点Q，使以A，B，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵OA＝8，OB＝6，∴A（8，0）、B（0，6），把点A、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b，∴b＝6，k＝﹣，∴直线AB的表达式为：y＝﹣x+6；（2）设点Q（s，0），则AB2＝100，AQ2＝（8﹣s）2，BQ2＝s2+36，①当AB＝AQ时，100＝（8﹣s）2，解得：s＝18或s＝﹣2；②当AB＝BQ时，100＝s2+36，可得：s＝±8（舍去8）；③当AQ＝BQ时，（8﹣s）2＝s2+36，可得：s＝，综上，点Q的坐标为：（18，0）或（﹣2，0）或（﹣8，0）或（，0）．易错：1.两圆一线找交点，看清点的位置保证不重不漏2.求取点的坐标，注意舍根练习1.1（2019秋•昌江区校级期末）如图，长方形AOBC，以O为坐标原点，OB、OA分别在x轴、y轴上，点A的坐标为（0，8），点B的坐标为（10，0），点E是BC边上一点，把长方形AOBC沿AE翻折后，C点恰好落在x轴上点F处．（1）求点E、F的坐标；（2）求AF所在直线的函数关系式；（3）在x轴上求一点P，使△PAF成为以AF为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．练习1.2（2019秋•金牛区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝kx+b与x轴交于点A（﹣6，0），与y轴交于点B（0，4），与直线l2：y＝x相交于点C．（1）求直线l1的函数表达式；（2）求△COB的面积；（3）在x轴上是否存在一点P，使△POC是等腰三角形．若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点P的坐标．例题2.——y轴上的点（2019秋•普宁市期末）一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，9），并与直线y＝x相交于点B，与x轴相交于点C，其中点B的横坐标为3．（1）求B点的坐标和k，b的值；（2）在y轴上是否存在点P使△PAB是等腰三角形？若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）y＝x相交于点B，则点B（3，5），将点A、B的坐标代入一次函数表达式并解得：k＝﹣，b＝9；（2）设点P（0，m），而点A、B的坐标分别为：（0，9）、（3，5），则AB2＝25，AP2＝（m﹣9）2，BP2＝9+（m﹣5）2，当AB＝AP时，25＝（m﹣9）2，解得：m＝14或4；当AB＝BP时，同理可得：m＝9（舍去）或﹣1；当AP＝BP时，同理可得：m＝；综上点P的坐标为：（0，4）或（0，14）或（0，﹣1）或（0，）练习2.1如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴和y轴分别交于点A和B，再将△AOB沿直线CD对折，使点A与点B重合，直线CD与x轴交于点C，与AB交于点D．连接BC．（1）求点A和点B的坐标；（2）求S△BOC；（3）在y轴上有一点P，且△PAB是等腰三角形，求出点P的坐标．练习2.2（2017秋•金华期末）如图，已知直线l：y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴交于A、B两点，A（﹣2，0），B（0，1）．（1）求直线l的函数表达式；（2）若P是x轴上的一个动点，请直接写出当△PAB是等腰三角形时P的坐标；（3）在y轴上有点C（0，3），点D在直线l上，若△ACD面积等于4，求点D的坐标．例题3——平行于坐标轴的点23．（2018秋•景德镇期末）如图，已知直线y＝2x+b交x轴于点A（﹣2，0），交y轴于点B，直线y＝2交AB于点C，交y轴于点D，P是直线y＝2上一动点，设P（m，2）．（1）求直线AB的解析式和点B，点C的坐标；（2）直接写出m为何值时，△ABP是等腰三角形；【解答】解：（1）将点A的坐标代入y＝2x+b得：0＝2×（﹣2）+b，解得：b＝4，故直线AB的表达式为：y＝2x+4，则点B（0，4），当y＝2时，x＝﹣1，即点C（﹣1，2）；（2）点A（﹣2，0）、点B（0，4），点P（m，2），则AB2＝20，AP2＝（m+2）2+4，PB2＝m2+4，①当AB＝AP时，即20＝（m+2）2+4，解得：m＝2或﹣6，②当AB＝BP时，同理可得：m＝4或﹣4，③当AP＝BP时，同理可得：m＝﹣1，综上，m＝﹣4或﹣6或2或4或﹣1；练习3.1（2019秋•太仓市期末）如图，平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+3（k≠0）交x轴于点A（4，0），交y轴正半轴于点B，过点C（0，2）作y轴的垂线CD交AB于点E，点P从E出发，沿着射线ED向右运动，设PE＝n．（1）求直线AB的表达式；（2）当△ABP为等腰三角形时，求n的值；练习3.2（2015秋•上城区期末）A（0，4）是直角坐标系y轴上一点，P是x轴上一动点，从原点O出发，沿正半轴运动，速度为每秒1个单位长度，以P为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△APB．设P点的运动时间为t秒．（1）若AB∥x轴，求t的值；（2）当t＝3时，平面直角坐标系内有一点M（3，a），请直接写出使△APM为等腰三角形的点M的坐标．例题4——动点相关（2014秋•屏南县校级期末）直线AB：y＝﹣x+b分别与x，y轴交于A（8、0）、B两点，过点B的直线交x轴负半轴于C，且OB：OC＝4：3（1）求点B的坐标为；（2）求直线BC的解析式；（3）动点M从C出发沿CA方向运动，运动的速度为每秒1个单位长度．设M运动t秒时，当t为何值时△BCM为等腰三角形．【解答】解：（1）y＝﹣x+b分别与x轴交于A（8、0），得﹣8+b＝0．解得b＝8，即函数解析式为y＝﹣x+8，当x＝0时，y＝8，B点坐标是（0，8）；（2）由OB：OC＝4：3，BC＝8，得8：BC＝4：3，解得BC＝6，即C（﹣6，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，图象经过点B，C，得，解得，直线BC的解析式为y＝x+8；（3）设M点坐标（a，0），由勾股定理，得BC＝＝10，①当MC＝BC＝10时，由路程处以速度等于时间，得10÷1＝10（秒），即M运动10秒，△BCM为等腰三角形；②当MC＝MB时，MC2＝MB2，即（a+6）2＝a2+82，化简，得12a＝28，解得a＝即M（，0）．MC＝﹣（﹣6）＝+6＝，由路程除以速度等于时间，得÷1＝（秒），即M运动秒时，△BCM为等腰三角形；③当BC＝BM时，得OC＝OM＝6，即MC＝6﹣（﹣6）＝6+6＝12，由路程除以速度等于时间，得12÷1＝12（秒），即M运动12秒时，△BCM为等腰三角形，综上所述：t＝10（秒），t＝（秒），t＝12（秒）时，△BCM为等腰三角形．练习4.1（2017秋•平阴县期末）如图，直线L1：y1＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P（m，3）为直线L1上一点，另一直线L2：y2＝x+b经过点P．（1）求点P坐标和b的值：（2）若点C是直线L2与x轴的交点，动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动，设点Q的运动时间为t秒．①请写出当点Q运动过程中，△APQ的面积S与t的函数关系式；②求出t为何值时，△APQ的面积等于3；③是否存在t的值，使△APQ为等腰三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．练习4.2（2018春•新田县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣分别交x，y轴于A，B两点，C为线段AB的中点，D（t，0）是线段OA上一动点（不与A点重合），射线BF∥x轴，延长DC交BF于点E．（1）求证：AD＝BE；（2）连接BD，记△BDE的面积为S，求S关于t的函数关系式；（3）是否存在t的值，使得△BDE是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．练习4.3（2019秋•顺德区期末）如图，在平面直角坐标系中，点D是边长为4cm的正方形ABCO的边AB的中点，直线y＝x交BC于点E，连接DE并延长交x轴于点F．（1）求出点E的坐标；（2）求证：△ODE是直角三角形；（3）过D作DH⊥x轴于点H，动点P以2cm/s的速度从点D出发，沿着D→H→F方向运动，设运动时间为t，当t为何值时，△PEH是等腰三角形？提升1.如图，直线y＝﹣x+6与坐标轴交于A、B两点，与直线y＝2x交于C点，直线是过A点且垂直x轴的直线，点P是直线l上的一动点．（1）求C点的坐标；（2）当△APC是等腰三角形时，直接写出P点的坐标；（3）当PC⊥OC时，求四边形OAPC的面积．提升2.如图，直线y＝kx﹣2与x轴，y轴分别交于点B，C，且OC＝2OB，A为直线BC上一动点．（1）求B点的坐标和k的值；（2）当△AOB的面积是4时，求A点在第一象限的坐标；（3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．提升练习提升练习提升3.（2012•沙坪坝区校级模拟）如图，已知平行于y轴的动直线a的解析式为x＝t，直线b的解析式为y＝x，直线c的解析式为y＝﹣x+2，且动直线a分别交直线b、c于点D、E（E在D的上方），P是y轴上一个动点，且满足△PDE是等腰直角三角形，则点P的坐标是．提升4.（2018秋•吴江区期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与y轴的正半轴交于点A，与x轴交于点B（﹣2，0），△ABO的面积为2．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度在射线BO上运动，动点Q从O出发，沿x轴的正半轴与点P同时以相同的速度运动，过P作PM⊥X轴交直线AB于M．（1）求直线AB的解析式．（2）当点P在线段OB上运动时，设△MPQ的面积为S，点P运动的时间为t秒，求S与t的函数关系式（直接写出自变量的取值范围）．（3）过点Q作QN⊥x轴交直线AB于N，在运动过程中（P不与B重合），是否存在某一时刻t（秒），使△MNQ是等腰三角形？若存在，求出时间t值．