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..全等三角形一、全等三角形1、定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。特征：形状相同、大小相等、完全重合。一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。平移、翻折、旋转前后的图形全等。2、全等三角形的表示：“全等”用“≌”表示，“∽”表示两图形的形状相同，“=”表示大小相等，读作“全等于”。注意：记两三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上。全等三角形的对应元素：对应顶点，对应边，对应角3、全等三角形的性质（1）全等三角形的对应边相等、对应角相等。（2）全等三角形的周长相等、面积相等。（3）全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。4、全等三角形的判定（1）边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS”）（2）边角边：两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”）（3）角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ASA”）（4）角角边：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“AAS”）（5）斜边、直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“HL”）5、证明两个三角形全等的基本思路：方法指引证明两个三角形全等的基本思路：（1）：已知两边----找第三边(SSS)找夹角（SAS)(2):已知一边一角---已知一边和它的邻角找是否有直角(HL)已知一边和它的对角找这边的另一个邻角(ASA)找这个角的另一个边(SAS)找这边的对角(AAS)找一角(AAS)已知角是直角，找一边(HL)(3):已知两角---找两角的夹边(ASA)找夹边外的任意边(AAS)练习二、角的平分线1、（性质）角的平分线上的点到角的两边的距离相等。2、（判定）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。三、学习全等三角形应注意的问题（1）要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义；（2）表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；（3）“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；（4）时刻注意图形中的隐含条件，如“公共角”、“公共边”、“对顶角”。..FEDCBA（一）三角形全等的判定一（SSS）1．如图，AB＝AD，CB＝CD．△ABC与△ADC全等吗？为什么？２．如图，C是AB的中点，AD＝CE，CD＝BE．求证△ACD≌△CBE．３．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证∠A=∠D．４．已知，如图，AB=AD，DC=CB．求证：∠B=∠D.５．如图，AD＝BC，AB＝DC，DE＝BF.求证：BE＝DF.CDABDACBEADCB..（二）三角形全等的判定二（SAS）1．如图，AC和BD相交于点O，OA=OC，OB=OD．求证DC∥AB．2．如图，△ABC≌△ABC，AD，AD分别是△ABC，△ABC的对应边上的中线，AD与AD有什么关系？证明你的结论．3．如图，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝BE，AE＝BD，试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并证明你的结论．4．已知：如图，AD∥BC，AD=CB，求证：△ADC≌△CBA．5．已知：如图AD∥BC，AD=CB，AE=CF。求证：△AFD≌△CEB．6．已知，如图，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2。求证：△ABD≌△ACE．ACEDBAEBCFDABCD2ACBHED1..HFEDCBA7．已知：如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB∥DE，且AB=DE，BE=CF.求证：AC∥DF．8．已知：如图，AD是BC上的中线，且DF=DE．求证:BE∥CF．9．如图，在△ABC中，分别延长中线BE、CD至F、H，使EF＝BE，DH＝CD，连结AF、AH．求证：（1）AF＝AH；（2）点A、F、H三点在同一直线上；（3）HF∥BC.10．如图，在△ABC中，AC⊥BC，AC＝BC，直线EF交AC于F，交AB于E，交BC的延长线于D，连结AD、BF，CF＝CD.求证：BF＝AD，BF⊥AD.11．证明：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线对应相等，那么这两个三角形全等．（提示：首先分清已知和求证，然后画出图形，再结合图形用数学符号表示已知和求证）ABCDEF..12．证明：如果两个三角形有两条边和第三边上的中线对应相等，那么这两个三角形全等．13.已知：如图，正方形ABCD，BE=CF，求证：(1)AE=BF；（2）AE⊥BF.14．已知：E是正方形ABCD的边长AD上一点，BF平分∠EBC，交CD于F，求证BE=AE+CF.（提示：旋转构造等腰）15.如图，△ABD和△ACE是△ABC外两个等腰直角三角形，∠BAD=∠CAE=900.（1）判断CD与BE有怎样的数量关系；（2）探索DC与BE的夹角的大小；（3）取BC的中点M，连MA，探讨MA与DE的位置关系.ABCDEFGFEDCAB..ABCDEF（三）（四）三角形全等的判定三、四（ASA、AAS）1．如图，点B，F，C，E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD．求证AB=DE，AC=DF．2．如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD=2.5cm，DE=1.7cm．求BE的长．3．已知，D是△ABC的边AB上的一点，DE交AC于点E，DE=FE，FC∥AB.求证：AE=CE.4．已知：如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．求证：△ABD≌△CDB.5．如图，在△ABC中，AC⊥BC，CE⊥AB于E，AF平分∠CAB交CE于点F，过F作FD∥BC交AB于点D.求证：AC＝AD.ADBCFE..ABCDEPQNM6．如图，AD∥BC，AB∥DC，MN＝PQ.求证：DE＝BE.7．如图,在ABC中，∠A＝90°，BD平分B，DE⊥BC于E，且BE＝EC.（1）求∠ABC与∠C的度数；（2）求证：BC＝2AB.8．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，且AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC.（1）求证：AE⊥BE；（2）求证：E是CD的中点；（3）求证：AD+BC=AB.9．已知，如图Rt△ABC，∠BAC=90°，AD⊥BC，D为垂足，∠ABD的平分线交AD于E点，EF∥AC，求证：AE=EF.BCEADABCEDF..10．△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC.（1）若D为BC的中点，过D作DM⊥DN分别交AB、AC于M、N，求证：DM＝DN.（2）若DM⊥DN分别和BA、AC延长线交于M、N.问DM和DN有何数量关系？11．已知：C点的坐标为（4，4），A为y轴负半轴上一动点，连CA，CB⊥CA交x轴于B.（1）求证：CA＝CB；（2）问OB－OA是否为定值，是定值并求其定值.12．已知A（－4，0），B（0，4），C（0，－4），过O作OM⊥ON分别交AB、AC于M、N两点。（1）求证：OM＝ON；（2）连MN，MN交x轴于Q，若M点的纵坐标为3，求M与N的坐标。MNDCBAMNDCBAABCOABCOXYMNQ..（五）三角形全等的判定五（HL）1．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是高．求证：(1)BD=CD；(2)∠BAD＝∠CAD．2．如图，AC⊥CB，DB⊥CB，AB＝DC．求证：∠ABD＝∠ACD．3．已知：如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，DEBF．求证：（1）AFCE；（2）ABCD∥．4．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB=DC，求证：EB=FC5．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE=CF．求证：AD是△ABC的角平分线．ABCDACBDADECBF..（六）角的平分线的性质1．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB=OC．求证∠1=∠2．2．如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA交OA于D，PE⊥OB交OB于E．F是OC上的另一点，连接DF，EF．求证DF=EF．3．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE=CF．求证：AD是△ABC的角平分线．4．如图，在ABC中，∠A＝90°，BD平分B，DE⊥BC于E，且BE＝EC.（1）求∠ABC与∠C的度数；（2）求证：BC＝2AB...OEDCBA（七）倍长中线法与截长补短法1．在△ABC中，AB=5，AC=3，AD为BC边的中线，则AD的长的取值范围是（）.A.14B.35C.23D.052．AD是△ABC中BC边上的中线，AB=4，AC=6，则AD的取值范围是.3．如图，△ABD和△ACE是△ABC外两个等腰直角三角形，∠BAD=∠CAE=900.（1）判断CD与BE有怎样的数量关系；（2）探索DC与BE的夹角的大小；（3）取BC的中点M，连MA，探讨MA与DE的位置关系.4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，且AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC.（1）求证：AE⊥BE；（2）求证：E是CD的中点；（3）求证：AD+BC=AB.5．如图△ABC中，∠A=500，ABAC，D、E分别在AB、AC上，且BD=CE,∠BCD=∠CBE，BE、CD相交于O点，求∠BOC的度数.6．△ABC中，D是BC中点，DE⊥DF，E在AB边上，F在AC边上，判断并证明BE+CF与EF的大小？.BCEADABCDEF..7．已知：如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠1=∠2，求证：BC=AB+AD．（分别用截长法和补短法各证一次）8．已知，如图，在正方形ABCD中AB=AD，∠B＝∠D＝90°．（1）如果BE＋DF＝EF，求证：①∠EAF＝45°；②FA平分∠DFE．（2）如果∠EAF＝45°，求证：①BE＋DF＝EF．②FA平分∠DFE．（3）如果点F在DC的延长线上，点E在CB的延长线上，且DF－BE＝EF，求证：①∠EAF＝45°；②FA平分∠DFE．（画图并证明）ABCDEFA21CBD..OFEDCBAEDCBAMEDCBAGFEDCBAPABCDEF（八）全等三角形检测一、选择题：1.在△ABC、△DEF中如果∠C=∠D，∠B=∠E，要使△ABC≌△FED，还需要的条件是（）A.AB=EDB.AB=FDC.AC=FDD.∠A=∠F2.如图：AB∥CD，AD∥BC，AC、BD交于点O，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F点，那么图中全等三角形共有（）A.5对B.6对C.7对D.8对3.如图，D在AB上，E在AC上且∠B=∠C,那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是（）A.AD=AEB.∠AEB=∠ADCC.BE=CDD.AB=AC4.如图：某同学把一块三角形玻璃打碎成了三块，现有要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）A.带①去B.带②去C.带③去D.带①和②去5.下列说法中，正确的个数是（）①两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；②两角及第三角的平分线对应相等的两个三角形全等；③两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；④有两边相等的直角三角形全等；⑤腰和一个角分别对应相等的两等腰三角形全等。A.1个B.2个C.3个D.4个6.在△ABC中，AB=5，AC=3，AD为BC边的中线，则AD的长的取值范围是（）.A.14B.35C.23D.057.下列四个命题:①直角三角形只有一条高线；②有两边对应相等的两个直角三角形一定全等；③两内角之差等于第三个内角的三角形必为直角三角形;④腰和底角对应相等的两个等腰三角形一定全等.其中正确的命题有().A.1个B.2个C.3个D.4个8.等腰三角形周长为a，一腰的中线将周长分成5:3两部分,则它的底边长为（）.A.6aB.2aC.6a或2aD.45a9.下列条件中，能判断两个等腰三角形全等的条件的个数是(）.①顶角