第三章--非稳态导热

第三章非稳态导热3-1集总热容分析3-1集总热容分析由于物体的温度只是时间的函数，物体几何形状的影响消失，这就使得物体的温度响应可由常微分方程来描述，初始条件也不存在温度分布而只有单一的初始温度值，导热问题的数学处理大大简化。通常建议以Bi0.1作为“薄壁物体”的判据。但应该说这只是半定量的判断，因为用集总热容法进行简化的合理性还取决于问题本身对精度的要求；此外，虽然对于集总热容法处理的问题通常可取物体的体积与表面积之比Lc＝V/S作为特征尺寸，但Bi中的特征尺寸的选取实际上并没有严格的规定。例如，大平壁可以选其厚度δ或Lc＝δ/2作特征尺寸；长圆柱可以选其直径d、半径r或Lc＝r/2作特征尺寸。选取的特征尺寸不同当然会影响相应的Bi值。图1-3导热微分方程的推导3-1集总热容分析仍参照图1-3，物体占据的体积为V，表面积为A，有内热源qv。在集总热容的假定下，对研究的物体写出热量平衡方程，可得(3-l-1)对于无内热源的物体，qv＝0；如果物体表面以牛顿冷却定律的规律与周围环境换热，平均对流换热表面传热系数为h，以上方程可简化为(3-1-2)VAVdtcVqdAqdVd()fdtcVhAttd3-1集总热容分析3-1-1环境温度保持为常量引进“过余”温度θ=t－tf，则问题的数学描述为(3-1-3)初始条件为(3-1-4)常微分方程(3-1-5)的通解为(3-1-5)由初始条件式(3-1-4)可得C＝θ0，由此得该问题的解为(3-1-6)0dcVhAd000,ttexphACcV0exphAcV具有时间的量纲，称为该问题的“时间常数”，它表征物体温度变化的快慢，即热惯性的大小。当时，θ＝0.368θ0。3-1-2环境温度按线性变化设环境温度按线性变化，即(3-1-7)其中b为常量，t0是物体和环境在初始时刻的温度。引进过余温度θ＝t－t0，则该物体的温度响应可用如下的常微分方程初值问题来描述：(3-1-8)3-1集总热容分析1/()cVhA10fttb0,0cVdbhAd其通解由相应的齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解组成，即根据初始条件可以确定积分常数。整理后可得(3-1-9)物体的温度响应(图3-1)由两部分组成。第一项随时间按指数规律衰减，它在过程的初始阶段起重要作用，但时间足够长时该项逐渐趋于零。此时过程进入“准稳态”阶段，物体的温度响应由第二项决定，即随时间按线性变化，变化的速率与环境温度相同，但与环境温度保持一个恒定的差值。时间常数对过程有决定性的影响。τ1越大，式中第一项就衰减得慢，过程需要较长的时间才进入准稳定阶段，同时物体与环境温度的差值也越大。3-1集总热容分析1/()cVhAexphAcVCbcVhAcVCbhAexpbcVhAcVbhAcVhA3-1集总热容分析图3-1环境温度按线性变化时集总热容物体的温度响应3-1-3环境温度按简谐波变化设环境温度按简谐波变化，其表达式为(3-1-10)其中Af为环境温度波的振幅，温度波的周期是。引进过余温度。若物体的初始温度为t0，则该物体的温度响应可用如下的常微分方程初值问题来描述：(3-1-11)(3-1-12)3-1集总热容分析cos()fffttA2/fttcos()fcVdAhAd000,ftt式(3-1-11)是一阶线性非齐次常微分方程，其通解由相应的齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解组成。相应的齐次方程的通解已由式(3-1-5)给出。设非齐次方程的特解具有以下的形式：(3-1-13)其中B和φ是两个待定的参数。将式(3-1-13)代入式(3-1-11)，并记，得(3-1-14)上式左边可改写为3-1集总热容分析*cos()B1/()cVhA1sin()sin()cos()fBBA221122221122221111cos()sin()111coscos()sinsin()1cos()BBB比较方程(3-1-14)的两边，可得，(3-1-15)由初始条件可确定式中的常数：最后得到该问题的解为(3-1-16)以上的解由两项组成。第一项随时间按指数规律衰减，时间足够长时该项逐渐趋于零。此时薄壁物体的温度响应进入“准稳态”阶段，反映为上式的第二项。准稳态阶段温度响应也是按简谐波变化，其平均温度和变化周期都与环境温度相同。薄壁物体温度波的振幅与环境温度波的振幅之比为；物体温度波的相位落后于环境温度。3-1集总热容分析2211fAB12211arccosarctan()102211fAC012222111()exp()cos[arctan()]11ffAA221111arctan()3-1集总热容分析图3-2环境温度技简谐波变化时集总热容物体的温度响应这种温度波振幅的衰减和相位的落后都与时间常数有关，时间常数越大，这两个效应越显著。此外，以上结果也表明，温度波的频率ω/2π对温度波振幅的减小和相位的落后也有同样的效应。温度波的频率越高，物体中温度波的振幅就越小。环境按简谐波变化时集总物体的温度响应见图3-2。3-1集总热容分析1/()cVhA3-1集总热容分析图3-3集总热容双容系统根据容器和液体的热平衡可以分别写出它们的导热方程。记容器和液体的过余温度分别为，，则该问题可以表述为如下常微分方程组的初值问题：(3-1-17)(3-1-18)，(3-1-19)由式(3-1-18)可得(3-1-20)3-1集总热容分析11ftt22ftt11111112221()dcVhAhAd22222221()0dcVhAd012022221222cVdhAd3-1集总热容分析将式(3-1-20)代入式(3-1-17)，得(3-1-21)其中，i＝1，2，分别是两个物体的特征时间。式(3-1-21)是关于θ2的二阶线性齐次常微分方程，它对应的特征方程是(3-1-22)对该二次方程的分析可知，它有两个不相等的负实根，分别为(3-1-23)22222121222211()0rrrrrdhAddhAdiiiriiicVhA2221212211()10rrrrrhAhA222221221221211111,212()()42rrrrrrrrrrhAhAhAhA3-1集总热容分析由此得方程（3-1-21)的通解为(3-1-24)将初始条件式（3-I-19)代入式(3-1-20)，得(3-1-25)把以上初始条件代入式(3-1-24)，可以确定两个任意常数C1，C1，整理后可得(3-1-26)将式(3-1-26)代入式(3-1-20)并整理，可得(3-1-27)以上得到的温度响应式(3-1-26)、(3-1-27)定性地示于图3-4中。12212CeCe0200,,0dd1222102121rree1212221122102121rrrree3-1集总热容分析图3-4双容系统在等温环境中的温度响应3-2有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法厚度一定的大平壁常可简化为直角坐标系中的一维问题，是几何条件最简单的系统，在线性边界条件下可得到分析解。本节介绍大平壁和长圆柱体中的非稳态导热，以帮助读者了解一些基本的分析解数学方法，并通过对分析解的讨论，加深对非稳态导热过程的理解。此外，这些分析方法及其结果对于许多实际工程问题，如材料的加热和冷却、空调建筑物通过围护结构的动态冷热负荷计算等都有实用意义。重点介绍分离变量法，这是求解某些线性的数学物理偏微分方程的最古老的方法，但对于求解方程和边界条件均为齐次的问题常常是方便的，也是一些其他的分析方法，如格林函数法的基础。3-2有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法3-2-1大平壁在等温介质中的冷却考虑大平壁在等温介质中被冷却(或加热)的问题。傅里叶在1822年首先求解了这一问题，并提出了著名的博里叶级数。如图3-5所示，厚度为δ的大平壁在x＝0处被绝热，在x＝δ处与温度恒定为tf的环境介质进行对流换热。已知平壁中的初始温度分布f(x)。引进过余温度θ＝t－tf，则描述大平壁中非稳态导热的微分方程为0xδ,τ0(3-2-1a)问题的初始条件为τ=0，0≤x≤δ,0xδ,θ=f(x)(3-2-1b)两个边界条件分别为x=0,τ0,(3-2-1c)x=δ,τ0,(3-2-1d)22ax0x0hx3-2有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法图3-5大平壁的非稳态导热3-2有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法注意到微分方程和两个边界条件都是齐次的，这将是进行分离变量的重要条件。假设解的形式为(3-2-2)把上式代入方程(3-2-la)，得到分离变量得到因为等式两边分别为τ的函数和x的函数，它们要相等只能是都等于某个常数，记为土ε2。ε是待定常数，称为特征值。这样，上式给出了两个常微分方程：(3-2-3)(3-2-4)(,)()()xXx()()()()XxXx21XaX20a20XX3-2有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法方程(3-2-3)的解是(3-2-5)由问题的性质知，当r→∞时过余温度应有界，由此ε2前应取负号。在此条件下求解方程(3-2-4)得(3-2-6)且有(3-2-7)式(3-2-6)中有三个常数A、B和s需要确定。把式(3-2-2)代入式(3-2-lc)、(3-2-1d)，同样可对边界条件进行分离变量，得(3-2-8a)(3-2-8b)2()exp()Cacos()sin()XAxBxsin()cos()XAxBx0,0xX,0xXhX3-2有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法由式（3-2-8a）得B=0。再由式(3-2-8b)可得4[λεsin(εδ)一hcos(εδ)]＝0要得到方程（3-2-4)的非零解，必须有A≠o，则有λεsin(εδ)一hcos(εδ)＝0记β=εδ，Bi=hδ/λ,上式可写为(3-2-9)式(3-2-9)是关于β的超越方程。由图3-6可以看出它有无穷多个根。由于其对称性，只需要考虑它的正根，记作βm(m=1,2,…)。这样，就得到特征值问题的无穷多个解：(3-2-10)由式(3-2-5)和式(3-2-10)，满足原偏微分方程和两个边界条件的分离变量形式的解为cotBicos()mmmXAx22cos()exp()mmmmaAx3-2有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法图3-6超越方程cotβ＝β/Bi的根3-2有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法由于问题的线性性，这无穷多个解的叠加仍满足方程和边界条件，即(3-2-11)系数Am可由初姑条件确定。把式(3-2-1b)代入上式，得(3-2-12)以上得到的无穷多个特征函数cos(βmx／δ)，(m＝