(完整版)数列经典讲义(教师版)

探索者研发学习中心Cxiaojun-1-数列和数列的练习一、数列及其相关概念1．数列：按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，它可以有限，也可以无限．2．数列的项及通项：数列中的每个数叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（首项），第2项，…，第n项．数列的一般形式可以写成：123naaaa，，，，，或简记为na，其中na是数列的第n项，又称为数列的通项．3．数列的通项公式如果数列na的第n项与序号n之间的关系可以用一个函数式()nafn来表示，则称这个公式为这个数列的通项公式．4．数列的分类数列的分类方式一般有三种：（1）项数有限的数列称为有穷数列，项数无限的数列称为无穷数列；（2）从第2项起每一项都比它的前一项大的数列称为递增数列；从第2项起，每一项都比它的前一项小的数列称为递减数列；这两种数列统称为单调数列．各项都相等的数列称为常数列；既不是单调数列，又不是常数列的，称为摆动数列，即有些项小于它的前一项，有些项大于它的前一项；（3）如果数列的任一项的绝对值都小于某个正数，则称此数列为有界数列，否则称为无界数列．5．数列的表示方法数列是定义域为正整数集（或它的一个有限子集{123}n，，，，）的一类特殊的函数()fn，数列的通项公式也就是函数的解析式．数列的表示方法通常有三种：（1）通项公式法（对应函数的解析式法）；（2）图象法（无限多个或有限多个孤立的点，取决于是无穷数列，还是有穷数列）；（3）列表法．6．数列和函数、集合的区别（1）数列和函数：数列是以正整数集*N(或它的有限子集)1234n，，，，，为定义域的函数()nafn．（2）数列和集合的区别和联系：集合是没有顺序的，数列是有顺序的7．数列的递推公式如果已知数列的第一项，且从第二项开始的任一项na与它的前一项1na间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫这个数列的递推公式．例如，1112(2)nnaaan，≥．给出递推公式和初始值的数列是一个确定的数列，所以递推公式也是给出数列的一种方法，即递推法．8数列的前n项和数列na的前n项和定义为：123nnSaaaa．数列的前n项和构成了一个新的数列nS，且11(1)(2)nnnSnaSSn≥．探索者研发学习中心Cxiaojun-2-一、数列的基本概念1.（2010年东城一模7）已知数列{}na的通项公式3log()1nnann*N，设其前n项和为nS，则使4nS成立的最小自然数n等于（）A．83B．82C．81D．802.（2011年海淀二模5）已知正项数列na中，11a，22a，222112(2)nnnaaan，则6a等于（）A.16Ｂ.8Ｃ.22Ｄ.43.数列na满足1111(2)3nnaannNa，，，则2008a等于（）A．13B．3C．13D．-34.（2011年东城区期末理11）在数列{}na中，若12a，且对任意的正整数,pq都有qpqpaaa，则8a的值为．5.（2010年东城二模6）已知函数6(3)3,7(),7.xaxxfxax，若数列{}na满足*()()nafnnN，且{}na是递增数列，则实数a的取值范围是（）A．9[3)4，B．9(3)4，C．（2，3）D．（1，3）6.已知()fx是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的xyR，，都有()()()fxyxfyyfx成立．数列{}na满足(2)nnaf()n*N，且12a．则数列的通项公式na__________________．探索者研发学习中心Cxiaojun-3-二、数列的递推公式7.（2006年重庆12）在数列na中，若11123(1)nnaaan，，则该数列的通项na8.数列{}na中，11a，对所有的2n≥，都有2123naaaan，求数列{}na的通项公式na．9.若数列na中，13a，且2+1nnaa（n是正整数），则数列的通项公式时na10.已知数列na，满足112311+2+3+1)(2)nnaaaaanan，（，则na的通项11)(2)nnan（11.求满足下列条件的数列na的通项公式（1）已知na满足+11211+412nnaaan，，求na（2）已知na满足+13nnnaa，且13a，求na探索者研发学习中心Cxiaojun-4-二、na与nS的关系12.（2011年四川9）数列na的前n项和为nS，若1113(1)nnaaSn，，则6a（）A．3×44B．3×44+1C．44D．44+113.设数列na的前n项和为111,1(1)3nnnSaaSn，，则na=______14.已知下列个数列na的前n项和nS的公式，求na的通项公式（1）=nnSn（-1)；（2）=32nnS；（3）21=(2)1nnSnana，15.已知下列个数列na的前n项和nS的公式，求na的通项公式（1）2=231nSnn（2）2=10nSnn探索者研发学习中心Cxiaojun-5-等差数列二、等差数列1．等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第．．2．项起．．，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数．．，那么这个数列就叫等差数列．．．．，这个常数叫做等差数列的公差．．，公差通常用字母d表示．用递推公式表示为anan1=d(n2)或an+1an=d(nN*)．2．等差数列的通项公式：an=a1+(n1)d=am+(nm)d．3．等差中项的概念：定义：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．．．．．其中2abA．说明：a，A，b成等差数列2abA．4．等差数列的前n和公式：11()(1)22nnnaannSnad．5．等差数列的性质：(1)在等差数列{an}中，从第2项起，每一项是它相邻两项的等差中项．(2)在等差数列{an}中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列．如：a1，a3，a5，a7，…；a3，a8，a13，a18，…．(3)在等差数列{an}中，对任意m，nN*，an=am+(nm)d，nmaadnm(nm)．(4)在等差数列{an}中，若m+n=s+t(m，n，s，tN*)，则am+an=as+at．(5)等差数列{an}中，公差为d，若d0，则{an}是递增数列；若d=0，则{an}是常数列；若d0，则{an}是递减数列．6．数列最值：(1)a10，d0时，Sn有最大值；a10，d0时，Sn有最小值．(2)Sn最值的求法：①若已知Sn，可用二次函数最值的求法(nN*)；②若已知an，则Sn取最值时n的值(nN*)可如下确定100nnaa或100nnaa．探索者研发学习中心Cxiaojun-6-1.(1)求等差数列8，5，2，…的第20项；(2)401是不是等差数列5，9，13，…的项？如果是，是第几项？解：(1)由a1=8，d=58=3，n=20，得a20=8+(201)(3)=49．(2)由a1=5，d=9(5)=4，得数列通项公式为：an=54(n1)，由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得401=54(n1)成立，解之得n=100，即401是这个数列的第100项．2.(2011湖南理12)设Sn是等差数列{an}(nN*)，的前n项和，且a1=1，a4=7，则S5=．【答案】25【解析】由a1=1，a4=7可得a1=1，d=2，a5=9，所以5(19)5252S．3.(2012辽宁理6)在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=(B)A．58B．88C．143D．176【解析】在等差数列中，∵a1+a11=a4+a8=16，∴1111111()882aaS，答案为B．4.(2012江西理12)设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1+b1=7，a3+b3=21，则a5+b5=．【答案】35【考点】本题考查等差数列的概念和运算．考查等差中项的性质及整体代换的数学思想．【解析】(解法一)因为数列{an}，{bn}都是等差数列，所以数列{an+bn}也是等差数列．故由等差中项的性质，得(a5+b5)+(a1+b1)=2(a3+b3)，即(a5+b5)+7=221，解得a5+b5=35．(解法二)设数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，因为a3+b3=(a1+2d1)+(b1+2d2)=(a1+b1)+2(d1+d2)=7+2(d1+d2)=21，所以d1+d2=7．所以a5+b5=(a3+b3)+2(d1+d2)=35．5.等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a2+a4+a15的值是一个确定的常数，则数列{Sn}中也为常数的项是(C)A．S7B．S8C．S13D．S15【解析】设a2+a4+a15=p(常数)，∴3a1+18d=p，即a7=31p．∴S13=2)(13131aa=13a7=313p．探索者研发学习中心Cxiaojun-7-6.(2012浙江理7)设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误的是(C)A．若d0，则数列{Sn}有最大项B．若数列{Sn}有最大项，则d0C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意nN*，均有Sn0D．若对任意nN*，均有Sn0，则数列{Sn}是递增数列【解析】选项C显然是错的，举出反例：1，1，3，5，7，…．满足数列{Sn}是递增数列，但是Sn0不恒成立．故选C．探索者研发学习中心Cxiaojun-8-7.把正整数按下列方法分组：(1)，(2，3)，(4，5，6)，…，其中每组都比它的前一组多一个数，设Sn表示第n组中所有各数的和，那么S21等于(B)A．1113B．4641C．5082D．53361【分析】第21组共有21个数，构成一个等差数列，公差为1，首项比第20组的最后一个数大1，所以先求前20组一共有多少个数．解：因为第n组有n个数，所以前20组一共有1+2+3+…+20=210个数，于是第21组的第一个数为211，这组一共有21个数，S21=21211+212021=4641，故选B．【说明】认真分析条件，转化为数列的基本问题．8.已知数列{an}的前n项和Sn=10nn2(nN*)，又bn=|an|，求bn的前n项和Tn．解：由题可得：a1=9，当n1时an=SnSn1=2n+11，若使an=2n+110，则n5.5，即数列的前5项非负，以后各项均负，∴当n≤5时，Tn=Sn=10nn2，当n≥6时，Tn=a1+a2+…+a5(a6+a7+…+an)=2(a1+a2+…+a5)(a1+a2+…+an)=2S5Sn=50(10nn2)，∴2210(0510505nnnnTnnn)()．故第n组的第一个数是(n2n1)+2=n2n+1．9.设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn．(1)若a11=0，S14=98，求数列{an}的通项公式；(2)若a16，a110，S1477，求所有可能的数列{an}的通项公式．解：(1)由S14=98，得2a1+13d=14，又a11=a1+10d=0，解得d=2，a1=20，所以数列{an}的通项公式是：an=222n．(2)由141117706Saa，得111213111006adada，即111213112200212adada①②③探索者研发学习中心Cxiaojun-9-由①+②得7d11，即117d，①+③得113d，∴111713d，又dZ，∴d=1，从而得10a1