搜索
全等三角形知识点总结及复习一、知识网络二、基础知识梳理（一）、基本概念1、“全等”的理解全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。全等三角形定义：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。（注：全等三角形是相似三角形中的特殊情况） 当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。 由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。 (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； (3)有公共边的，公共边一定是对应边；(4)有公共角的，角一定是对应角； (5)有对顶角的，对顶角一定是对应角；2、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等；3、全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等。（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。4、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上（二）灵活运用定理1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。（1）已知条件中有两角对应相等，可找：①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS)（2）已知条件中有两边对应相等，可找①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS)（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找①任一组角相等(AAS或ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)（三）经典例题例1.已知：如图所示，AB=AC，，求证：.例2.如图所示，已知：AF=AE，AC=AD，CF与DE交于点B。求证：。例3.如图所示，AC=BD，AB=DC，求证：。例4.如图所示，，垂足分别为D、E，BE与CD相交于点O，且求证：BD=CE。例5：已知：如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD、CE⊥AB于E，且∠B+∠D=180。求证：AE=AD+BE分析：从上面例题，可以看出，有时为了证明某两条线段和等于另一条线段，可以考虑“截长补短”的添加辅助线，本题是否仍可考虑这样“截长补短”的方法呢？由于AC是角平分线，所以在AE上截AF=AD，连结FC，可证出ADC≌AFC，问题就可以得到解决。证明（一）：在AE上截取AF=AD，连结FC。在AFC和ADC中∴AFC≌ADC（边角边）∴∠AFC=∠D（全等三角形对应角相等）∵∠B+∠D=180（已知）∴∠B=∠EFC（等角的补角相等）在CEB和CEF中∴CEB≌CEF（角角边）∴BE=EF∵AE=AF+EF∴AE=AD+BE（等量代换）证明（二）：在线段EA上截EF=BE，连结FC（如右图）。小结：在几何证明过程中，如果现成的三角形不可以证明，则需要我们选出所需要的三角形，这就需要我们恰到好处的添加辅助线。（四）全等三角形复习练习题一、选择题1．如图，给出下列四组条件：①；②；③；④．其中，能使的条件共有（）A．1组B．2组C．3组D．4组2.如图，分别为的，边的中点，将此三角形沿折叠，使点落在边上的点处．若，则等于（）3.如图（四），点是上任意一点，，还应补充一个条件，才能推出．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出的是（）A．B．C．D．A．B．C．D．CADPB图（四）1题图2题图4.如图，在△ABC与△DEF中，已有条件AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是()(A)∠B=∠E,BC=EF（B）BC=EF，AC=DF(C)∠A=∠D，∠B=∠E（D）∠A=∠D，BC=EF5．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，若AC=10cm，则△DBE的周长等于()A．10cmB．8cmC．6cmD．9cm6．如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）Ａ．1处Ｂ．2处Ｃ．3处Ｄ．4处④①②③6题图4题图5题图7．某同学把一块三角形的玻璃打碎了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（）A．带①去B．带②去C．带③去D．带①②③去8．如图，在中，，是的垂直平分线，交于点，交于点．已知，则的度数为（）A．B．C．D．9．如图，，=30°，则的度数为（）A．20°B．30°C．35°D．40°10．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（）A．AB垂直平分CDB．CD垂直平分AB1题图C．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACBCABADCEB8题图7题图8题图10题图11．尺规作图作的平分线方法如下：以为圆心，任意长为半径画弧交、于、，再分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线由作法得的根据是（）A．SASB．ASAC．AAS D．SSS12.如图,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,若BC=5cm,BD=3cm,则点D到AB的距离为()A.5cmB.3cmC.2cmD.不能确定13．如图，OP平分，，，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（）A．B．平分C．D．垂直平分那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（）A． B．C．D．ODPCABABCD14题图O13题图BAP11题图12题图二、填空题1.如图，已知，，要使≌，可补充的条件是（写出一个即可）_______________．2.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于D,DE⊥AB于E,且AB=5cm,则△DEB的周长为________3.如图，，请你添加一个条件：，使（只添一个即可）．4.如图，在ΔABC中，∠C=90°∠ABC的平分线BD交AC于点D,若BD=10厘米，BC=8厘米，DC=6厘米，则点D到直线AB的距离是__________厘米。DOCBABACEBD1题图2题图3题图4题图5.观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形有个．6.已知：如图，△OAD≌△OBC，且∠O＝70°，∠C＝25°，则∠AEB＝________度.7如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ.以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°.恒成立的结论有_______________________（把你认为正确的序号都填上）。8.如图所示，AB=AD，∠1=∠2，添加一个适当的条件，使△ABC≌△ADE，则需要添加的条件是________.OABCDE6题图7题图8题图ABDEC三、解答题1.如图，已知AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE.2.如图，在中，，分别以为边作两个等腰直角三角形和，使．（1）求的度数；（2）求证：．3.如图，在△ABE中，AB＝AE,AD＝AC,∠BAD＝∠EAC,BC、DE交于点O.求证：(1)△ABC≌△AED；(2)OB＝OE.4.如图，D是等边△ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边△EDC，连接AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由．EDCBA5.如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．（1）求证：△ABC≌△DCB；（2）过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论．BCADMN6.如图，四边形的对角线与相交于点，，．求证：（1）；（2）．DCBAO12347．如图，在和中，现给出如下三个论断：①；②；③．请选择其中两个论断为条件，另一个论断为结论，构造一个命题．（1）写出所有的真命题（写成“”形式，用序号表示）：21ＡＣＤＢ．（2）请选择一个真命题加以证明． 你选择的真命题是：．证明：8.已知：如图，B、E、F、C四点在同一条直线上，AB＝DC，BE＝CF，∠B＝∠C．求证：OA＝OD．9．如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE．10.如图，，请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明．BDCFA 郜E11．已知：如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点，（1）求证：△AED≌△EBC．（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：12．如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．（1）求证：MB=MD，ME=MF（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．13已知：如图A、D、C、B在同一直线上，AC=BD，AE=BF，CE=DF求证：（1）DF∥CE（2）DE=CFADFECEB14.如图，已知在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两条边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD、AG，则AG与AD有何关系？试证明你的结论 15.如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若AB=AC．求证：AD平分∠BAC．16.如图，∠B=∠C=90°，M是BC中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB．17.如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB=∠DBC=90º，E是BC的中点，EF⊥AB，垂足为F，且AB=DE．１8.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，连接EF，EF与AD交于G，AD与EG垂直吗？证明你的结论。19．如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD，CE相交于点O．试说明AE+CD=AC．．如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD，CE相交于点O．试说明AE+CD=AC．20.如图，已知E是正方形ABCD的边CD的中点，点F在BC上，且∠DAE=∠FAE.求证：AF=AD+CF。ABFCED１４．已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,AE是过点A的一条直线，且BD⊥AE于D，CE⊥AE于E,(1)当直线AE处于如图①的位置时，有BD=DE+CE,请说明理由；（2）当直线AE处于如图②的位置时，则BD,DE,CE的关系如何？请说明理由；（3）归纳（1）（2），请用简洁的语言表达BD,DE,CE之间的关系。BADECBCEAD