现代信号处理笔记

第一章随机信号本章首先介绍了随机信号的基本概念、协方差函数和功率谱密度的定义与性质。接着，从独立性、不相关性、正交性和相干性这四种基本统计关系出发，讨论了如何进行两个随机信号之间的比较与识别。随后，介绍了正交信号变换、双正交信号变换和非正交信号变换的基本理论。最后，以被随机信号激励的线性关系为对象，分析了系统输出与输入之间的统计量的关系，对两个随机信号之间的关系作了更深一步的描述。一、信号分类连续时间信号s(t)-∞﹤t﹤∞离散时间信号s(k)k为整数确定性信号（按某函数取值，每时刻值可知）随机信号（每时刻取值未知）：⑴取值是随机的（不能确切已知）⑵取值服从概率分布规律（统计特性确定，但未知）二、两个随机信号的统计量1、互相关函数Rxy（τ）=E{x(t)y*(t-τ)}互相关函数描述的是两个信号共同的部分（特征）。2、互相关系数()(0)(0)ccc3、互协方差函数*(){[()][()]}xyxyCExtmytm4、功率谱：协方差函数的Fourier变换2()()jfxyPfCed三、两个随机信号的统计关系1、统计独立,(,)()()XYXYfxyfxfy2、统计不相关若Cxy（）=0，，则称x(t)和y(t)统计不相关。3、正交若Rxy()=E{x(t)y*(t-)}=0,,则称随机信号x(t)和y(t)正交，记作x(t)⊥y(t)。四、信号变换1、正交信号变换(1）Фk（t）=gk(t)（2）(),()()klttkl2、双正交信号变换（1）()()kktgt（2）(),()0kktgt3、非正交信号变换（1）()()kktgt（2）(),()0kktgt第二章参数估计理论本章的核心是参数估计的基本理论与方法。首先，我们讨论了参数估计子几种最基本的性能：无偏估计、渐进无偏估计和有效估计。然后，又从最优估计子的评价标准出发，介绍了品质因数的方法——Fisher信息以及方差的下界——Crazner-Rao不等式。在随后的几节中，则依次介绍了Baves估计、最大似然估计、线性均方估计和最小二乘估计几种重要的参数估计方法。一、Fisher信息与Cramer-Rao下界定义：品质函数V(x)的方差称为Fisher信息：2222(){()}{[ln()]}{ln()}JEVEfxEfx定理：假设是的无偏估计，则21(){()}()VarEJ取等号的充要条件：ln()()()()fxK，此时1()J称为“Cramer-Rao下界”。二、Bayes估计：使风险函数最小化的参数估计1、损失函数（代价函数）绝对损失函数(,)NNC（标量参数）(,)NNC（向量参数）二次型损失函数2(,)C（标量参数）2(,)C（向量参数）2、风险函数：损失函数的数学期望三、结论1、采用均方误差来衡量参数估计的优劣。2、判断无偏估计是否最好：使用Fisher信息，满足Cramer-Rao不等式。3、Bayes估计关键——选什么风险函数。4、最大似然估计需要知道似然函数形式。5、线性均方估计——正交原理。6、最小二乘估计（若e零均值、同方差，则最小二乘法是最优的，否则要用加权最小二乘法）。第三章现代谱估计本章从不同的角度介绍了现代功率谱估计的一些主要的方法：1．ARMA谱估计是以信号的差分模型为基础的现代普估计。2．Burg的最大熵谱估计是来源于信息论的现代谱估计，他在不同的约束条件下，分别与AR谱估计和ARMA谱估计等价。3．Pisarenko谐波分解是一种以谐波信号为特定的对象的谱估计方法，他将谐波频率的估计转化为信号相关矩阵的特征值分解。4．扩展Prony方法是一种利用复谐波模型拟合幅信号的方法。5．MUSIC方法是一种估计信号空间参数的现代谱估计方法，它将功率谱推广为空间谱，是最早问世的子空间方法。6．ESPRIT方法是一种估计信号空间参数的旋转不变技术，虽然未使用任何谱的概念，但却可以达到谐波频率估计的目的，其基本思想是将谐波频率的估计转变为矩阵束的广义特征值分解。一、MUSIC算法步骤：1、计算样本自相关矩阵Rxx的特征值分解，得到其主特征值λ1，…，λp和次特征值σ2，并存储主特征向量s1，…，sp。2、利用公式计算MUSIC谱P(ωt)，。3、找出P(ω)的p个峰值，他们就是待求的MUSIC估计值ω1，…，ωp。二、TLS-ESPRIT算法1、进行矩阵Rxx的特征值分解。2、利用最小特征值σ2计算Cxx＝Rxx－σ2I和Cxy＝Rxy－σ2Z。3、作矩阵Cxx的奇异值分解，确定其有效秩，并存储与p个主奇异值对应的Σ1，U1和V1。4、计算U1HCxyV1。5、求矩阵束{Σ1，U1HCxyV1}的广义特征值分解，得到单位圆上的广义特征值，它们直接给出谐波频率。三、Prony谱线估计算法1、利用式1**(,)[()()][()()]Nnprijxnjxnjxnixni计算(,)rij，i,j=0,1,…,pe，并构造矩阵Re。2、利用SVD-TLS算法确定Re的有效秩p和系数ia。3、求特征多项式121210ppazaz的共轭根对*(,)iizz，i=1,…,p。4、计算p个谐波的频率arctan[Im()/Re()]/(2)iiifzzt第四章自适应滤波器本章核心内容是滤波器的优化设计及其自适应实现。首先，从三种角度介绍了不同的滤波器：1．从信噪比最大原则出发，讲述了匹配滤波器。2．从最小均方误差准则出发，推导了Wiener滤波器。3．从状态空间模型出发，介绍了Kalman滤波器及其自适应算法。然后，围绕Wiener滤波器的自适应实现，依次介绍了LMS和RLS两种自适应算法。为了克服横向滤波器收敛慢的缺点，本章介绍了具有对称结构的LMS型格型滤波器和具有非对称结构的LS格型滤波器。最后，介绍了自适应滤波器的应用，分别是自适应谱线增强器与陷波器、广义旁瓣多对消器和盲自适应多用户检测器。一、LMS算法1、初始化：ω(0)＝0；2、更新：n＝1,2，…e(n)＝d(n)－ωH(n－1)u(n)ω(n)＝ω(n－1)＋μ(n)u(n)e*(n)二、RLS直接算法1、初始化：ω(0)＝0，P(0)＝δ-1I,其中δ是一个很小的值。2、更新：n＝1,2，…e(n)＝d(n)－ωH(n－1)u(n)k(n)＝P(n－1)u(n)/[λ＋uH(n)P(n－1)u(n)]P(n)＝1/λ[P(n－1)－k(n)uH(n)P(n－1)]ω(n)＝ω(n－1)＋k(n)e*(n)第五章高阶统计分析本章介绍了非高斯信号的高阶统计分析与处理的理论、方法和应用。首先，引出了矩、累积量和高阶谱的定义。分别讨论了它们的数学性质。然后，重点介绍了基于高阶累积量的非最小相位系统的辨识、谐波恢复以及自适应滤波的理论与方法。最后，以时延估计和雷达目标识别为例，介绍了如何利用累积量和高阶谱解决实际问题。一、高阶累积量的优点1、对称性质。2、理论上可完全抑制高斯有色噪声。3、i.i.d过程容易建立线性系统理论。二、累积量的常用BBR公式Ry(τ)＝σ2∑h(i)h(i+τ)C3x(τ1,τ2)＝γ3e∑h(i)h(i+τ1)h(i+τ2)C4y(τ1,τ2,τ3)＝γ4e∑h(i)h(i+τ1)h(i+τ2)h(i+τ3)三、谱、双普和三谱的BBR公式Px(ω)＝σ2H(ω)H(-ω)＝σ2H(ω)H*(ω)＝σ2∣H(ω)∣2Bx(ω1，ω2)＝γ3eH(ω1)H(ω2)H（-ω1-ω2）Tx(ω1，ω2,ω3)＝γ4eH(ω1)H(ω2)H(ω3)H（-ω1-ω2-ω3）四、FIR系统识别ω切片算法1、求下方程的最小范数解Se其中1()TTSSSS是矩阵S的最小范数逆矩阵，且e=[0,…,0,1]T。2、计算MA参数()()biCi或mbS。五、基于三阶累积量的RLS自适应算法1、初始化100()()PNCN2、更新001,2,kNN()()()MxiMsnixni()(1)()()()(1)()xTxsnPnxnKnsnxPnxn()()()(1)Tanxnxnn11()(1)()(1)TPnPnKnxPn上述中遗忘因子λ1取接近于1的数。第六章时频信号分析——线性变换本章首先介绍了信号局部变换的两种基本形式、解析信号和不相容原理。然后，围绕时频信号分析的线性变换，先介绍了短时Fourier变换，并讲述临界采样和过采样的Gabor变换。小波分析是本章的一个重点，它包含了两个基本问题：小波的设计和小波变换的快速算法。我们从框架理论、多分辨分析和滤波器组理论三个角度，详细地讨论了小波的设计方法和快速小波包含的实现。一、对信号Gabor变换要解决两个问题1、选择窗函数g(t)。2、选择辅助函数γ(t)。二、确定Gabor展开系数方法1、求解双正交方程得到辅助函数γ(t)。2、计算Gabor变换得到Gabor展开系数amn。三、小波变换的三个基本要求1、小波是一般函数的积木块，小波能够作为基函数，对一般函数进行小波级数展开。2、小波具有时频聚焦性。3、小波具有快速变换算法。第七章时频信号分析——非线性变换本章首先重点介绍了时频分析之母——Wigner-Ville分布，继而讨论了它与模糊函数之间的关系，以及时频分布的统一形式——Cohen类时频分布，它是Wigner-Ville分布的加窗形式。时频分布性能的评价主要由时频聚焦性和交叉项抑制决定，而后者成了时频分布研究及应用的重点和难点，通过选择不同的窗函数，可以得到各种改进的时频分布。本章最后介绍了多项式调频信号的时频分析。特别地，作为时频信号分析和高阶统计分析相结合的产物，Wigner-Ville分布的三谱时多项式调频信号的一种有力的分析工具。1、Wigner-Ville分布定义式：Wz(ω,t)＝∫Z*(ω＋τ/2)Z(ω－τ/2)e-jvtdv2、Wigner-Ville分布是模糊函数的某种Fourier变换。3、交叉项抑制两类滤波方法是模糊域滤波和用核函数滤波。4、Wigner-Ville分布的几种变型（1）伪Wigner-Ville分布（PWD）PWDz（t,ω）＝Wz(t,ω)*H(ω)（2）平滑Wigner-Ville分布（SWD）SWDz（t,ω）＝Wz(t,ω)**G(t,ω)（**表示对时间和频率的二维卷积）（3）平滑伪Wigner-Ville分布（SPWD）SPWDz(t,ω)＝∫∫g(u)h(τ)Z*(t－u－τ/2)Z(t－u＋τ/2)e-jutdudτ（4）修正平滑伪Wigner-Ville分布（MSPWD）(,)(,)[(,)][(,)]ZZMSPWDtSPWDtttttdtd式中(,)tt和(,)t分别代表重排后的时间和频率点。（5）B分布*2(,)()()22cosh()jBtzuzuedudut以上就是本人对这本书学习过程中，所记录的笔记，由于这本书内容过多，本人只是挑选其中我比较感兴趣的一些章节进行了学习。