雷州三中高考复习专题一----函数方法与总结

雷州三中高考复习专题一函数方法与总结函数应试技巧总结一．映射f:AB的概念。在理解映射概念时要注意：㈠中元素必须都有象且唯一；㈡B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。如：（1）设:fMN是集合M到N的映射，下列说法正确的是A、M中每一个元素在N中必有象B、N中每一个元素在M中必有原象C、N中每一个元素在M中的原象是唯一的D、N是M中所在元素的象的集合（答：A）；（2）点),(ba在映射f的作用下的象是),(baba，则在f作用下点)1,3(的原象为点________（答：（2，－1））；（3）若}4,3,2,1{A，},,{cbaB，,,abcR，则A到B的映射有个，B到A的映射有个，A到B的函数有个（答：81,64,81）；（4）设集合{1,0,1},{1,2,3,4,5}MN，映射:fMN满足条件“对任意的xM，()xfx是奇数”，这样的映射f有____个（答：12）；（5）设2:xxf是集合A到集合B的映射，若B={1,2}，则BA一定是_____（答：或{1}）.二．函数f:AB是特殊的映射。特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与x轴的垂线至多有一个公共点，但与y轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。如：（1）已知函数()fx，xF，那么集合{(,)|(),}{(,)|1}xyyfxxFxyx中所含元素的个数有个（答：0或1）；（2）若函数42212xxy的定义域、值域都是闭区间]2,2[b，则b＝（答：2）三．同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。如若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“天一函数”，那么解析式为2yx，值域为{4，1}的“天一函数”共有______个（答：9）四．求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）：1．根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数logax中0,0xa且1a，三角形中0A,最大角3，最小角3等。如（1）函数24lg3xxyx的定义域是____(答：(0,2)(2,3)(3,4))；雷州三中高考复习专题一函数方法与总结（2）若函数2743kxykxkx的定义域为R，则k_______(答：30,4)；（3）函数()fx的定义域是[,]ab，0ba，则函数()()()Fxfxfx的定义域是__________(答：[,]aa)；（4）设函数2()lg(21)fxaxx，①若()fx的定义域是R，求实数a的取值范围；②若()fx的值域是R，求实数a的取值范围（答：①1a；②01a）2．根据实际问题的要求确定自变量的范围。3．复合函数的定义域：若已知()fx的定义域为[,]ab,其复合函数[()]fgx的定义域由不等式()agxb解出即可；若已知[()]fgx的定义域为[,]ab,求()fx的定义域，相当于当[,]xab时，求()gx的值域（即()fx的定义域）。如（1）若函数)(xfy的定义域为2,21，则)(log2xf的定义域为__________（答：42|xx）；（2）若函数2(1)fx的定义域为[2,1)，则函数()fx的定义域为________（答：[1,5]）．五．求函数值域（最值）的方法：1．配方法――二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间[,]mn上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），如（1）求函数225,[1,2]yxxx的值域（答：[4,8]）；（2）当]2,0(x时，函数3)1(4)(2xaaxxf在2x时取得最大值，则a的取值范围是___（答：21a）；（3）已知()3(24)xbfxx的图象过点（2,1），则1212()[()]()Fxfxfx的值域为______（答：[2,5]）2．换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，如（1）22sin3cos1yxx的值域为_____（答：17[4,]8）；（2）211yxx的值域为_____（答：(3,)）雷州三中高考复习专题一函数方法与总结（3）sincossincosyxxxx的值域为____（答：1[1,2]2）；（4）249yxx的值域为____（答：[1,324]）；3．函数有界性法――直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性，如求函数2sin11siny，313xxy，2sin11cosy的值域（答：1(,]2、（0,1）、3(,]2）；4．单调性法――利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，如求1(19)yxxx，229sin1sinyxx，532log1xyx的值域（答：80(0,)9、11[,9]2、[2,10]）；5．数形结合法――函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等，如（1）已知点(,)Pxy在圆221xy上，求2yx及2yx的取值范围（答：33[,]33、[5,5]）；（2）求函数22(2)(8)yxx的值域（答：[10,)）；（3）求函数2261345yxxxx及2261345yxxxx的值域（答：[43,)、(26,26)）注意：求两点距离之和时，要将函数式变形，使两定点在x轴的两侧，而求两点距离之差时，则要使两定点在x轴的同侧。6．判别式法――对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：①2bykx型，可直接用不等式性质，如求232yx的值域（答：3(0,]2）②2bxyxmxn型，先化简，再用均值不等式，如（1）求21xyx的值域（答：1(,]2）；雷州三中高考复习专题一函数方法与总结（2）求函数23xyx的值域（答：1[0,]2）③22xmxnyxmxn型，通常用判别式法；如已知函数2328log1mxxnyx的定义域为R，值域为[0，2]，求常数,mn的值（答：5mn）④2xmxnymxn型，可用判别式法或均值不等式法，如求211xxyx的值域（答：(,3][1,)）7．不等式法――利用基本不等式2(,)abababR求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。如设12,,,xaay成等差数列，12,,,xbby成等比数列，则21221)(bbaa的取值范围是__.（答：(,0][4,)）。8．导数法――一般适用于高次多项式函数，如求函数32()2440fxxxx，[3,3]x的最小值。（答：－48）提醒：（1）求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合形式了吗？（2）函数的最值与值域之间有何关系？六．分段函数的概念。分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值0()fx时，一定首先要判断0x属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。如（1）设函数2(1).(1)()41.(1)xxfxxx，则使得()1fx的自变量x的取值范围是__（答：(,2][0,10]）；（2）已知1(0)()1(0)xfxx　　　　，则不等式(2)(2)5xxfx的解集_____（答：3(,]2）七．求函数解析式的常用方法：1．待定系数法――已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：2()fxaxbxc；顶点式：2()()fxaxmn；零点式：12()()()fxaxxxx，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式）。如已知()fx为二次函数，且)2()2(xfxf，且f(0)=1,图象在x轴上截得的线雷州三中高考复习专题一函数方法与总结段长为22,求()fx的解析式。（答：21()212fxxx）2．代换（配凑）法――已知形如(())fgx的表达式，求()fx的表达式。如（1）已知,sin)cos1(2xxf求2xf的解析式（答：242()2,[2,2]fxxxx）；（2）若221)1(xxxxf，则函数)1(xf=_____（答：223xx）；（3）若函数)(xf是定义在R上的奇函数，且当),0(x时，)1()(3xxxf，那么当)0,(x时，)(xf=________（答：3(1)xx）.这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即()fx的定义域应是()gx的值域。3．方程的思想――已知条件是含有()fx及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于()fx及另外一个函数的方程组。如（1）已知()2()32fxfxx，求()fx的解析式（答：2()33fxx）；（2）已知()fx是奇函数，)(xg是偶函数，且()fx+)(xg=11x,则()fx=_（答：21xx）。八．反函数：1．存在反函数的条件是对于原来函数值域中的任一个y值，都有唯一的x值与之对应，故单调函数一定存在反函数，但反之不成立；偶函数只有()0({0})fxx有反函数；周期函数一定不存在反函数。如函数223yxax在区间[1,2]上存在反函数的充要条件是A、,1aB、2,aC、[1,2]aD、,1a2,（答：D）2．求反函数的步骤：①反求x；②互换x、y；③注明反函数的定义域（原来函数的值域）。注意函数(1)yfx的反函数不是1(1)yfx，而是1()1yfx。如设)0()1()(2xxxxf.求)(xf的反函数)(1xf（答：11()(1)1fxxx）．3．反函数的性质：①反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域。如单调递增函数)(xf满足条件)3(axf=x，其中a≠0，若)(xf的反函数)(1xf的定义域为aa4,1，则)(xf的定义域是____________（答：[4,7]）.雷州三中高考复习专题一函数方法与总结②函数()yfx的图象与其反函数1()yfx的图象关于直线yx对称，注意函数()yfx的图象与1()xfy的图象相同。如（1）已知函数()yfx的图象过点(1,1),那么4fx的反函数的图象一定经过点_（答：（1,3））；（2）已知函数132)(xxxf，若函数()ygx与)1(1xfy的图象关于直线xy对称，求(3)g的值（答：72）；③1()()fabfba。如（1）已知函数)24(log)(3xxf，则方程4)(1xf的解x______（答：1）；（2）设函数f(x)的图象关于点（1,2）对称，且存在反函数1()fx，f(4)＝0，则1(4)f＝（答：－2）④互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇函数性。如已知fx是R上的增函数，点1,1,1,3AB在它的图象上，1fx是它的反函数，那么不等式12log1