初三数学培优资料1

初三数学培优讲义1初三数学培优资料第一讲：一元二次方程的根一、内容提要1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根，是由它的系数a,b,c的值确定的.求根公式是：x=aacbb242－.(b2－4ac≥0)2.根的判别式①实系数方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根的充分必要条件是：b2－4ac≥0.②有理系数方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理数根的判定是：b2－4ac是完全平方式方程有有理数根.③整系数方程x2+px+q=0有两个整数根p2－4q是整数的平方数.3.设x1,x2是ax2+bx+c=0的两个实数根，那么①ax12+bx1+c=0(a≠0，b2－4ac≥0)，ax22+bx2+c=0(a≠0，b2－4ac≥0)；②x1=aacbb242＋－，x2=aacbb242－－(a≠0,b2－4ac≥0)；③韦达定理：x1+x2=ab－,x1x2=ac(a≠0,b2－4ac≥0).4.方程整数根的其他条件整系数方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个整数根x1的必要条件是：x1是c的因数.特殊的例子有：C=0x1=0，a+b+c=0x1=1，a－b+c=0x1=－1.二、例题例1.已知：a,b,c是实数，且a=b+c+1.求证：两个方程x2+x+b=0与x2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.例2.已知首项系数不相等的两个方程：（a－1）x2－(a2+2)x+(a2+2a)=0和(b－1)x2－(b2+2)x+(b2+2b)=0(其中a,b为正整数)有一个公共根.求a,b的值.例3.已知：m,n是不相等的实数，方程x2+mx+n=0的两根差与方程y2+ny+m=0的两根差相等.求：m+n的值.初三数学培优讲义2例4.若a,b,c都是奇数，则二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有有理数根.例5.求证：对于任意一个矩形A，总存在一个矩形B，使得矩形B与矩形A的周长比和面积比都等于k(k≥1).例6.k取什么整数值时，下列方程有两个整数解？①（k2－1）x2－6(3k－1)x+72=0；②kx2+(k2－2)x－(k+2)=0.三、练习1.写出下列方程的整数解：①5x2－3x=0的一个整数根是＿＿＿.②3x2+(2－3)x－2=0的一个整数根是＿＿＿.③x2+(5+1)x+5=0的一个整数根是＿＿＿.2.方程（1－m）x2－x－1=0有两个不相等的实数根，那么整数m的最大值是＿＿＿＿.3.已知方程x2－(2m－1)x－4m+2=0的两个实数根的平方和等于5，则m=＿＿＿.4.若x≠y，且满足等式x2+2x－5=0和y2+2y－5=0.那么yx11＝＿＿＿.（提示：x,y是方程z2+5z－5=0的两个根.）5.如果方程x2+px+q=0的一个实数根是另一个实数根的2倍，那么p,q应满足的关系是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.6.若方程ax2+bx+c=0中a0,b0,c0.那么两实数根的符号必是＿＿＿＿＿＿.7.如果方程mx2－2(m+2)x+m+5=0没有实数根，那么方程（m－5）x2－2mx+m=0实数根的个数是（）.(A)2（B）1（C）0（D）不能确定8.当a,b为何值时，方程x2+2(1+a)x+(3a2+4ab+4b2+2)=0有实数根？9.两个方程x2+kx－1=0和x2－x－k=0有一个相同的实数根，则这个根是（）初三数学培优讲义3(A)2（B）－2（C）1（D）－110.已知：方程x2+ax+b=0与x2+bx+a=0仅有一个公共根，那么a,b应满足的关系是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿11.已知：方程x2+bx+1=0与x2－x－b=0有一个公共根为m，求：m，b的值.12.已知：方程x2+ax+b=0的两个实数根各加上1，就是方程x2－a2x+ab=0的两个实数根.试求a,b的值或取值范围.13.已知：方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根和等于s1，两根的平方和等于s2,两根的立方和等于s3.求证：as3+bs2+cs1=0.14.求证：方程x2－2(m+1)x+2(m－1)=0的两个实数根，不能同时为负.（可用反证法）15.已知：a,b是方程x2+mx+p=0的两个实数根；c,d是方程x2+nx+q=0的两个实数根.求证：（a－c）(b－c)(a－d)(b－d)=(p－q)2.16.如果一元二次方程的两个实数根的平方和等于5，两实数根的积是2，那么这个方程是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.17.如果方程（x－1）(x2－2x+m)=0的三个根，可作为一个三角形的三边长，那么实数m的取值范围是（）（A）0≤m≤1（B）m≥43（C）43m≤1（D）43≤m≤118.方程7x2－(k+13)x+k2－k－2=0(k是整数)的两个实数根为α，β且0＜α＜1，1＜β＜2，那么k的取值范围是()（A）3k4(B)-2k-1(C)3k4或-2k-1（D）无解初三数学培优讲义4第二讲：未知数比方程个数多的方程组解法一、内容提要1、在一般情况下，解方程或方程组，未知数的个数总是与方程的个数相同的，但也有一些方程或方程组，所含的未知数的个数多于方程的个数，包括在列方程解应用题时，引入的辅助未知数.2、解这类方程或方程组，一般有两种情况：一是依题意只求其特殊解，如整数解，或几个未知数的和(积)等，无需求出所有的解；二是在实数范围内，可运用其性质，增加方程或不等式的个数.例如，利用取值范围，非负数的性质等.二、例题解析：例1.在实数范围内，解下列方程或方程组：①0211122yxxx；②x2+xy+y2－3x－3y+3=0；③4222zxyzyx例2.一个自然数除以4余1，除以5余2，除以11余4，求适合条件的最小自然数.例3.有甲，乙，丙三种货物.若购买甲3件，乙7件，丙1件共需3.15元；若购买甲4件，乙10件，丙1件共需4.20元.问购买甲、乙、丙各1件共需几元？例4.甲、乙两车分别从A、B两站同时出发，相向而行，当甲车走完全程的一半时，乙车距A站24公里；当乙车走完全程的一半时，甲车距B站15公里.求A、B两站的距离.三、巩固练习：1.甲，乙，丙，丁，戊做一件工程，甲，乙，丙合作需7.5小时，甲，丙戊合作需5小时，甲，丙，丁合作需6小时，乙，丁，戊合作需4小时.问五人合作需几小时？初三数学培优讲义52.服装厂向百货商店购买甲、乙两种布，共付42.9元，售货员收款时发现甲、乙两种布单价对调了，退给厂方1.6元，厂方把这1.6元又买了甲、乙两种布各1尺.问服装厂共买布几尺？3.两只船分别从河的两岸同时对开，速度保持不变，第一次相遇时，距河的一岸700米，继续前进到达对岸后立即返回，第二次相遇时，距河的另一岸400米，求河的宽.4.游泳运动员自闽江逆流而上，在解放大桥把水壶丢失，继续前游20分钟才发现，于是返回追寻，在闽江大桥处追到，已知两桥相距1000米，求水流的速度.5.已知长方形的长和宽均为整数，且周长的数值与面积的数值相等.问这长方形的长和宽各是多少？6.有一队士兵，若排成3列纵队，则最后一行只有1人；若排成5列纵队，则最后一行只有7.人；排成7列纵队，则最后一行只有6人.问这队士兵最少是几人？7.求下列方程的实数解：①0311221yxx②5x2+6xy+2y2－14x－8y+10=0③(x2+1)(y2+4)=8xy④052312yxyx8.一件工程，如果甲单独完成所需的时间是乙，丙合做，完成这件工程所需时间的a倍；如果乙单独完成所需的时间是甲，丙合做，完成这件工程所需时间的b倍.(其中ba1),那么丙单独完成所需的时间是甲，乙合做，完成这件工程所需时间的多少倍？9.甲，乙两车从东站，丙，丁两车从西站，同时相向而行.甲车行120公里遇丙车，再行20公里遇丁车；乙车在离西站126公里处遇丙车，在中途遇丁车.求东西两站的距离.初三数学培优讲义610.三辆车A，B，C从甲到乙.B比C迟开5分钟，出发后20分钟追上C；A比B迟开10分钟，出发后50分钟追上C.求A出发后追上B的时间.11.学生若干人住宿，如果每间4人，有20人没房住；如果每间8人，则有一间不满也不空.求学生人数.12.一只船从甲码头顺水航行到乙码头用5小时，由乙码头逆水航行到甲码头需7小时。问一木排从甲码头顺水漂流到乙码头要用几小时？第三讲：完全平方数和完全平方式一、内容提要一）定义1.如果一个数恰好是某个有理数的平方，那么这个数叫做完全平方数.例如0，1，0.36，254，121都是完全平方数.在整数集合里，完全平方数，都是整数的平方.2.如果一个整式是另一个整式的平方，那么这个整式叫做完全平方式.如果没有特别说明，完全平方式是在实数范围内研究的.例如：在有理数范围m2,(a+b－2)2,4x2－12x+9,144都是完全平方式.在实数范围（a+3）2,x2+22x+2,3也都是完全平方式.二.整数集合里，完全平方数的性质和判定1.整数的平方的末位数字只能是0，1，4，5，6，9.所以凡是末位数字为2，3，7，8的整数必不是平方数.2.若n是完全平方数，且能被质数p整除,则它也能被p2整除..若整数m能被q整除，但不能被q2整除,则m不是完全平方数.例如：3402能被2整除，但不能被4整除，所以3402不是完全平方数.又如：444能被3整除，但不能被9整除，所以444不是完全平方数.三.完全平方式的性质和判定在实数范围内如果ax2+bx+c(a≠0)是完全平方式，则b2－4ac=0且a0；如果b2－4ac=0且a0；则ax2+bx+c(a≠0)是完全平方式.在有理数范围内当b2－4ac=0且a是有理数的平方时，ax2+bx+c是完全平方式.四.完全平方式和完全平方数的关系1.完全平方式（ax+b）2中当a,b都是有理数时,x取任何有理数，其值都是完全平方数；当a,b中有一个无理数时，则x只有一些特殊值能使其值为完全平方数.2.某些代数式虽不是完全平方式，但当字母取特殊值时，其值可能是完全平方数.例如：n2+9,当n=4时，其值是完全平方数.所以，完全平方式和完全平方数，既有联系又有区别.五.完全平方数与一元二次方程的有理数根的关系初三数学培优讲义71.在整系数方程ax2+bx+c=0(a≠0)中①若b2－4ac是完全平方数，则方程有有理数根；②若方程有有理数根，则b2－4ac是完全平方数.2.在整系数方程x2+px+q=0中①若p2－4q是整数的平方，则方程有两个整数根；②若方程有两个整数根，则p2－4q是整数的平方.二、例题解析：例1.求证：五个连续整数的平方和不是完全平方数.例2m取什么实数时，（m－1）x2+2mx+3m－2是完全平方式？例3.已知：(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式.求证：a=b=c.例4.已知方程x2－5x+k=0有两个整数解，求k的非负整数解.例5.求证：当k为整数时，方程4x2+8kx+(k2+1)=0没有有理数根.三、练习1.如果m是整数，那么m2+1的个位数只能是＿＿＿＿.2.如果n是奇数，那么n2－1除以4余数是＿＿，n2+2除以8余数是＿＿＿，3n2除以4的余数是＿＿.3.如果k不是3的倍数，那么k2－1除以3余数是＿＿＿＿＿.4.一个整数其中三个数字是1，其余的都是0，问这个数是平方数吗？为什么？5一串连续正整数的平方12，22，32，………，1234567892的和的个位数是＿＿.6、m取什么值时，代数式x2－2m(x－4)－15是完全平方式？初三数学培优讲义87、m取什么正整数时，方程x2－7x+m=0的两个根都是整数？8、a,b,c满足什么条件时,代数式(c－b)x2+2(b－a)x+a－b是一个完全平方式？9、判断下列计算的结果，是不是一个完全平方数：①四个连续整数的积；②两个奇数的平方和.10、一个四位数加上38或减去138都是平方数，试求这个四位数.11、已知四位数aabb是平方数，试求a,b.12、已知：n是自然数且