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Lineslines1lines-flines-f1Ricerice1rice-frice-f1如上所示，第一列为原图，第二列为加过汉明窗的原图，第三列为原图的二维傅里叶变换频域图，第四列为第二列图像的二维傅里叶变换频域图。可以看见在lines-f，也就是lines原图的二维傅里叶频谱图中，存在明显的水平和垂直分量。这里的水平和垂直分量主要是由lines这张图本身的特点导致的。如果将原图做水平方向的分解，就是取出一行的像素，可以得到一个周期性方波。而周期性方波的频谱则是sa函数的周期性采样，值为在奇数项存在的依次递减的数。因此可以在图中看到加强的横线和竖线。Rice这张图与lines这张图有区别，其无论哪个方向的分量都没有什么规律，但是rice-f即他的二维傅里叶变换谱中却也存在水平和垂直的分量。这些分量的形成与MATLAB中的fft2函数的算法有关，这里来根据代码进行深入讲解。代码如下：f=imread('lines.png');f1=f;[m,n]=size(f);m1=hamming(m);n1=hamming(n);fori=1:mforj=1:nf1(i,j)=f(i,j)*m1(i)*n1(j);endendimshow(f1,[])%显示加了窗之后的图像figure;F=fft2(f);%F对原图进行傅立叶变换后的结果Fc=fftshift(F);%将傅立叶变换的中心移至频谱的中心位置S=log(1+abs(Fc));%取傅立叶变换的频谱，即傅里叶谱imshow(S,[]);%显示原图频谱figure;F=fft2(f1);%F对原图进行傅立叶变换后的结果Fc=fftshift(F);%将傅立叶变换的中心移至频谱的中心位置S=log(1+abs(Fc));%取傅立叶变换的频谱，即傅里叶谱imshow(S,[])%显示加了窗函数后的频谱figure;f=imread('rice.tif');f1=f;[m,n]=size(f);m1=hamming(m);n1=hamming(n);fori=1:mforj=1:nf1(i,j)=f(i,j)*m1(i)*n1(j);endendimshow(f1,[])%显示加了窗之后的图像figure;F=fft2(f);%F对原图进行傅立叶变换后的结果Fc=fftshift(F);%将傅立叶变换的中心移至频谱的中心位置S=log(1+abs(Fc));%取傅立叶变换的频谱，即傅里叶谱imshow(S,[])%显示原图频谱figure;F=fft2(f1);%F对原图进行傅立叶变换后的结果Fc=fftshift(F);%将傅立叶变换的中心移至频谱的中心位置S=log(1+abs(Fc));%取傅立叶变换的频谱，即傅里叶谱imshow(S,[])%显示加了窗函数后的频谱如上，由于要解释rice-f中出现的水平与垂直分量，这里就从程序的后半部分开始解释。其前半部分与后半部分的算法完全一致，就不做赘述。首先读入图像，获得其大小。而后生成两个汉明窗，分别加在x和y两个方向上，这样就生成了rice1这样的四周是黑色的图像。之后对原图进行傅里叶二维变换。这里就要说到MATLAB中fft2函数的算法，其在运算的过程中对图像进行了周期延拓，x轴y轴两个方向都进行了无限的循环。由于图像本身左右两个边界像素不同，上下两个边界像素也不同，就产生了高频的水平或垂直分量，也就是形成了rice-f中的效果。Fftshift函数是为了把频谱的原点搬移到图像正中心，便于观察。随后对加了汉明窗的图像也进行了傅里叶变换，可以看见水平和垂直的分量消失了，说明缺少了边界上的变化，就会减少水平和垂直的高频分量。对于lines来说同理，由于lines本身是很有规律的，但是由于他的边界反而没有图片本身有规律，却符合了一些其他的频率，因此就在频域图中生成了其他的水平与垂直分量的线。在把边界拉低后，边界的变化很小，因此就少了很多其他水平与垂直频率的分量，但是本身图片体现出来的频率还保留着。Testtest-ftest1-ftest-i之后来说第二个任务，首先test为原图，test-f为原图的傅里叶变换（没有使用fftshift函数搬运），test1-f为原图像素乘以（-1）^（x+y）后的傅里叶变换（没有使用fftshift函数搬运），而test-i为傅里叶变换后做共轭，再做反变换后再乘以（-1）^（x+y）的结果。代码如下：f=imread('test.jpg');f=im2double(f);[m,n]=size(f);fs=fft2(f);S=log(1+abs(fs));imshow(S,[]);figure;fori=1:mforj=1:nif(mod((i+j),2)==1)f(i,j)=-f(i,j);endendendfs=fft2(f);S=log(1+abs(fs));imshow(S,[]);figure;fori=1:mforj=1:nfs(i,j)=conj(fs(i,j));endendfc=ifft2(fs);fori=1:mforj=1:nfc(i,j)=real(fc(i,j));if(mod((i+j),2)==1)fc(i,j)=-fc(i,j);endendendimshow(fc,[]);由于代码本身很简单，用的也都是之前用过的函数，对于本身程序的解释就不做赘述。仅对原图像素乘以（-1）^（x+y）的操作进行解释fori=1:mforj=1:nif(mod((i+j),2)==1)f(i,j)=-f(i,j);endendend如上，（-1）^（x+y）取值的效果就是如果x+y为偶数取1，如果x+y为基数就取-1，因此这里判断x+y对2取余的结果来进行判断某个像素的值是否应该取反。随后我们来解释这些操作对图像本身起到的作用。首先傅里叶变换具有特性，在时域上与e^j2π（u0x/T）做积，频域上相当于向右平移u0。这一点在空间域上也满足。因此在空间域上乘以（-1）^（x+y）,也就是相当于在频域上将图像分别向x，y两个方向平移一半的边长，达到做了fftshift的效果。随后对F（u，v）取共轭，这里根据傅里叶变换的对称性，F*（u，v）=F（-u，-v）。因此相当于将频谱图像做了一个中心对称。而根据傅里叶反变换公式：这里的u取-u，v取-v后，其底数由于是遍历求和，是没有变化的，但是指数上多了一个负号，把负号转移给xy后，就会使得f（x，y）=f（-x，-y）也就是对图像本身进行了中心对称。之后再用之前的方法把图像原本取负数的值恢复回正数，就得到了中心对称的原图。与此同时，由于计算机计算fft与ifft过程中矩阵是从0开始的，在x或y为0时，其某一个轴的值就不会变化。反映到图像中就是第一行和第一列的值会显示图像循环的边界值，而不是本来的f（-x，-y）。