必修五第一章解三角形单元测试

必修五第一章解三角形（14）一、选择题1．在△ABC中，∠A=45°，∠B=60°，a=10，则b的值为()A．5B．5C．5D．无解2．在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝3b＝12，则c的值为()A．4B．8C．4或8D．无解3．若三角形的三个内角之比为1：2：3，则它们所对的边长之比为（）A．1：2：3B．1：：2C．1：4：9D．1：：4．已知△ABC中，∠A=60°，a=，b=4，那么满足条件的△ABC的形状大小（）A．有一种情形B．有两种情形C．不可求出D．有三种以上情形5．在△ABC中，若a2+b2﹣c2＜0，则△ABC是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．都有可能6．在△ABC中，下列关系式①asinB＝bsinA②a＝bcosC＋ccosB③a2＋b2－c2＝2abcosC④b＝csinA＋asinC一定成立的有()A．1个B．2个C．3个D．4个7．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c.若b2＝ac，且c＝2a，则cosB等于()A.14B.34C.24D.238．在△ABC中，若a＝7，b＝3，c＝8，则△ABC的面积等于()A．12B.212C．28D．639．在△ABC中，若a＝2bcosC，则△ABC是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形10．有一电视塔，在其东南方A处看塔顶时仰角为45°，在其西南方B处看塔顶时仰角为60°，若AB=120米，则电视塔的高度为（）A．60米B．60米C．60米或60米D．30米二、填空题11．在△ABC中，∠A=105°，∠B=45°，c=，则b=________．12．在△ABC中，A=60°，a=3，则=________．．13．己知三角形三边之比为5：7：8，则最大角与最小角的和=_________．14．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝3ac，则角B的值为________．三、解答题15．在△ABC中，已知a＝52，c＝10，A＝30°，求角B的值。16．在△ABC中，A＝120°，AC＝1，S△ABC＝3，求BC的长。17．若sinAa＝cosBb＝cosCc，判断△ABC的形状并说明。19．在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC，求A的大小．18．在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，且cosA＝14.若a＝4，b＋c＝6，且bc，求b、c的值．20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosC＝(2a－c)cosB.(1)求角B的大小；(2)若b2＝ac，试确定△ABC的形状．必修五第一章解三角形（14）一、选择题1．在△ABC中，∠A=45°，∠B=60°，a=10，则b的值为()A．5B．5C．5D．无解解析：在△ABC中，∵∠A=45°，∠B=60°，a=10，则由正弦定理可得，即，解得b=5，答案：C2．在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝3b＝12，则c的值为()A．4B．8C．4或8D．无解解析：由3a＝3b＝12，得a＝4，b＝43，利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA，即16＝48＋c2－12c，解得c＝4或c＝8.答案：C3．若三角形的三个内角之比为1：2：3，则它们所对的边长之比为（）A．1：2：3B．1：：2C．1：4：9D．1：：解析：设最小的角为α，则三内角分别为α、2α、3α，再由α+2α+3α=π，可得α=，故三内角的值分别为、、，故由正弦定理可得三角形的对应三边之比为sin：sin：sin=：：1=1：：2，答案：B4．已知△ABC中，∠A=60°，a=，b=4，那么满足条件的△ABC的形状大小（）A．有一种情形B．有两种情形C．不可求出D．有三种以上情形解析：已知△ABC中，∠A=60°，a=，b=4，那么由正弦定理可得=，解得sinB=＞1，故B不存在，答案：C5．在△ABC中，若a2+b2﹣c2＜0，则△ABC是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．都有可能解析：∵在△ABC中，a2+b2﹣c2＜0，∴cosC=＜0，∴＜C＜π．∴△ABC是钝角三角形．答案：A6．在△ABC中，下列关系式①asinB＝bsinA②a＝bcosC＋ccosB③a2＋b2－c2＝2abcosC④b＝csinA＋asinC一定成立的有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：由正、余弦定理知①③一定成立，对于②由正弦定理知sinA＝sinBcosC＋sinCcosB＝sin(B＋C)，显然成立．对于④由正弦定理sinB＝sinCsinA＋sinAsinC＝2sinAsinC，则不一定成立．答案：C7．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c.若b2＝ac，且c＝2a，则cosB等于()A.14B.34C.24D.23解析：由余弦定理得cosB＝a2＋c2－b22ac＝a2＋2a2－a×2a2a×2a＝14答案：A8．在△ABC中，若a＝7，b＝3，c＝8，则△ABC的面积等于()A．12B.212C．28D．63解析：由余弦定理可得cosA＝12，A＝60°，∴S△ABC＝12bcsinA＝63.故选D.答案：D9．在△ABC中，若a＝2bcosC，则△ABC是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形解析：∵a＝2bcosC＝2b·a2＋b2－c22ab＝a2＋b2－c2a，∴a2＝a2＋b2－c2，即b2＝c2，b＝c.∴△ABC是等腰三角形．故选B.答案：B11．有一电视塔，在其东南方A处看塔顶时仰角为45°，在其西南方B处看塔顶时仰角为60°，若AB=120米，则电视塔的高度为（）A．60米B．60米C．60米或60米D．30米解析：如图所示，设电视塔的高度CD=h，∠CAD=45°，∠CBD=60°，∠ADB=90°，AB=120米，则AD=h，BD=h，在Rt△ABD中，∵BD2+AD2=AB2，∴∴h=60米答案：A二、填空题(每小题5分，共10分)11．在△ABC中，∠A=105°，∠B=45°，c=，则b=_________．解析：∵在△ABC中，∠A=105°，∠B=45°，∴∠C=180°﹣A﹣B=30°．再由c=，利用正弦定理可得，即，解得c=2，答案为212．在△ABC中，A=60°，a=3，则=_________．解析：由A=60°，a=3，根据正弦定理得：==2，则=2答案为213.己知三角形三边之比为5：7：8，则最大角与最小角的和=________．解析：设最小边为5，则三角形的三边分别为5，7，8，设边长为7的边对应的角为θ，则由余弦定理可得49=25+64﹣80cosθ，解得cosθ=，∴θ=60°，则最大角与最小角的和为180°﹣60°=120°，答案为120°14．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝3ac，则角B的值为________．解析：∵a2＋c2－b22ac＝cosB，结合已知等式得cosB·tanB＝32.∴sinB＝32，∵B∈(0，π)∴B＝π3或2π3答案：π3或2π3三、解答题15．在△ABC中，已知a＝52，c＝10，A＝30°，求角B的值。解析：由正弦定理，得sinC＝csinAa＝10sin30°52＝22.∵ac，∴AC，∴C＝45°或C＝135°.∴B＝180°－(A＋C)，∴B＝105°或15°.16．在△ABC中，A＝120°，AC＝1，S△ABC＝3，求BC的长。解析：由S△ABC＝12AC·AB·sinA得3＝12×1×AB·sin120°∴AB＝4由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccosA∴BC2＝AC2＋AB2－2×AC×ABcosA=12＋42－2×1×4cos120°＝21∴BC＝21。17．若sinAa＝cosBb＝cosCc，判断△ABC的形状并说明。解析：在△ABC中，由正弦定理：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，代入sinAa＝cosBb＝cosCc得：sinA2RsinA＝cosB2RsinB＝cosC2RsinC，∴sinBcosB＝sinCcosC＝1.∴tanB＝tanC＝1，∴B＝C＝45°.∴△ABC是等腰直角三角形．18．在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC，求A的大小．解析：由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)·b＋(2c＋b)·c即a2＝b2＋c2＋bc由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，∴cosA＝－12∵A∈(0，π)，∴A＝120°.19．在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，且cosA＝14.若a＝4，b＋c＝6，且bc，求b、c的值．解析：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，即a2＝(b＋c)2－2bc－2bccosA，∴16＝36－52bc，∴bc＝8.由b＋c＝6bc＝8bc可求得b＝2c＝4.20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosC＝(2a－c)cosB.(1)求角B的大小；(2)若b2＝ac，试确定△ABC的形状．解析：(1)由已知及正弦定理，得sinBcosC＝(2sinA－sinC)cosB，即sinBcosC＋cosBsinC＝2sinAcosB，∴sin(B＋C)＝2sinAcosB.∵sin(B＋C)＝sinA≠0，∴2cosB＝1，即cosB＝12，∴B＝60°.(2)根据余弦定理，有b2＝a2＋c2－2accosB，又b2＝ac，则ac＝a2＋c2－2accos60°，即a2＋c2－2ac＝0.∴(a－c)2＝0，即a＝c.从而b＝ac＝a＝c，故△ABC为正三角形．