18.1函数的概念

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大千世界处在不停的运动变化之中,如何来研究这些运动变化并寻找规律呢?数学上常用变量与函数来刻画各种运动变化18.1(1)函数的概念——变量与函数长明中学秦海燕数学是知识的工具,亦是其他知识工具的源泉,所有研究顺序和度量的科学均和数学有关——笛卡尔人们在认识和描述某一事物时,经常会用“量”来具体表达事物的一些特征(属性),同时用“数”来表明量的大小。数和度量单位合在一起,就是“数量”。例如,我们居住的地球,可以用下列数量来描述它的一些特征:平均半径6371.22千米表面积510×106平方千米体积1083×109立方千米质量598×1019吨地心最高温度5000℃自转一周所需的时间23时56分4.1秒绕太阳运行的平均速度29.77千米/秒我们常用的“量”包括:长度,面积,体积,质量,温度,时间,速度等。arr=02220arr=在研究过程中,可以取不同数值的量叫做变量;保持数值不变的量叫做常量。是常量和是变量和20rra材料1地球上的赤道是一个大圆,半径长有一个飞行器环绕赤道飞行一周,它的飞行轨道与赤道是在同一平面上的同心圆。如果圆E的周长比赤道的周长多a米,那么圆E的半径r是多少米?米6010378.6r变量a取一个确定的值变量r的值随之确定变量r与变量a之间存在确定的依赖关系材料2:一辆汽车行驶在国道上,汽车油箱里原有汽油120升,每行驶10千米耗油2升。(1)填表汽车行驶的路程100km150km200km250km油箱里剩余的油量100升90升80升70升(2)在汽车行驶过程中,汽车行驶的路程和油箱里剩余的油量都是变量吗?答:汽车行驶的路程x(千米)和油箱里剩余的油量y(升)都是变量,随着汽车行驶路程的增加,剩余的油量在减少,即变量y随着变量x的变化而变化.y=120-0.2x(0≤x≤600)能不能用数学式子表示这种关系?每行驶1千米耗油0.2升(3)设汽车行驶的路程为x千米,油箱里剩余的油量为y升,那么y与x之间是否存在确定的依赖关系?当x取一个确定的数值,y的值也随之确定,所以y与x之间存在确定的依赖关系。概括上面两个问题中,都出现了两个变量,它们互相依赖,密切相关.一般地,在某个变化过程中有两个变量,例如x和y,在变量x的允许取值范围内,变量y随着x的变化而变化,它们之间存在确定的依赖关系,那么变量y是变量x的函数,x叫做自变量.式子称为函数解析式。量之间依赖关系的数学两个变表达出来的,这种表达系,是由的变化而变化的依赖关随着其中是自变量。的函数,是变量中,变量在问题2.01202xyxyxxy判断下列各题中两个变量是否存在确定的依赖关系?如果存在,指出哪个变量是另一个变量的函数。(1)一个正常婴儿的体重(千克)与该婴儿成长经过的月数(个)。存在,婴儿的体重是该婴儿成长经过的月数的函数。(2)一次数学考试中某学生的成绩(分)与该学生的体重(千克)不存在。(3)汽车行驶的速度(千米/时)与该驾驶员的身高(厘米)不存在(4)某班支援灾区的捐款数(元)与该班学生个人捐款平均数(元)。存在,某班支援灾区的捐款数是该班学生个人捐款平均数的函数。例题1:气温的摄氏度数x与华氏度数y之间可以进行如下转化:y是不是x的函数?为什么?解:在把摄氏度转化为华氏度的过程中,华氏度y随着摄氏度x的变化而变化;3259xy由,当x取一个值时,y的值也随之确定,3259xy例如下表:摄氏度数x(℃)…-1002535100…华氏度数y(℉)……可见,变量y与x之间存在确定的依赖关系,y是x的函数,是这个函数的解析式。3259xy14327795212时间t(时)810246121416182022240温度T(C)2468-2-40例题2下图是某地一天的气温变化图,在变化过程中,两个变量是否存在确定的依赖关系?其中一个变量是另一个变量的函数吗?在以上变化过程中存在着两个变量t和T,对于时间t每取一个值,温度T就有一个确定的温度我们就说T随着t的变化而变化.温度T是时间t的函数.t是自变量例题3银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率,下表是2011年7月中国银行为“整存整取”的存款方式规定的年利率:观察上表,说说随着存期x的增长,相应的年利率y是如何变化的。是否存在确定的依赖关系?在以上变化过程中存在着两个变量x和y,当x取定一个值,y的值随之确定。我们就说y是x的函数.x是自变量存期x三月六月一年二年三年五年利率y()3.103.303.504.405.005.501、某校学生总人数1200,某天实际到校的学生人数n与学生的出勤率p是两个变量.试说明p是n的函数,并写出这个函数解析式.答:出勤率p随着到校人数n的变化而变化,出勤率p与到校人数n之间存在确定的依赖关系,p关于n的函数解析式为1200np2、已知物体匀速运动中,路程s、速度v、时间t之间有关系式s=vt.(2)如果路程不变,试写出速度关于时间的函数解析式.(1)如果速度不变,那么这个式子里哪两个量是变量?这两个变量中哪一个是自变量?哪一个是自变量的函数?如果时间不变呢?3、如图,线段AB=a,在垂直于AB的射线DE上有一个动点C(C与D不重合),分别联结CA、CB,得到△ABC.(1)指出△ABC的面积的变化过程中,线段AB、CD的长哪个是常量?哪个是变量?(2)设CD的长为h,△ABC的面积为S,S是不是h的函数?ADBCE归纳总结巩固新知这节课你有什么收获?完成《练习册》、《上海作业》练习18.1(1)对于代数式x+2,给定x的一个值,可以求出这个代数式的一个值。如果x是一个变量,那么x+2也是一个变量。试问:变量x+2是不是变量x的函数?拓展时间刚记忆完20分钟后1小时后9小时后1天后2天后记忆量100%58.2%44.2%35.8%32.7%27.8%德国著名心理学家艾宾浩斯(1850年~1909年)对人的记忆进行了研究,他采用无意义的音节作为记忆的材料进行研究,获得了如下相关数据:艾宾浩斯保持曲线(1)在这一变化过程中,有哪两个变量?它们之间是否存在确定的依赖关系?其中一个变量是另一个变量的函数吗?(2)你从图中发现怎样的规律?对你的学习有什么启发?

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