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第十章 圆锥曲线方程 ·161 ·心得体会证:设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x,y),由题意知PA→AQ→=PB→QB→,设A在P,Q之间,PA→=λAQ→(λ0),又Q在P,B之间,故PB→=-λBQ→,因为PB→BQ→,所以0λ1,由PA→=λAQ→知(x1-x0,y1-y0)=λ(x-x1,y-y1),解得x1=x0+λx1+λy1=y0+λy1+λìîí,故点A坐标为x0+λx1+λ,y0+λy1+λæèöø.同理,由PB→=-λBQ→知(x2-x0,y2-y0)=-λ(x-x2,y-y2),解得x2=x0-λx1-λy2=y0-λy1-λìîí,故点B坐标为x0-λx1-λ,y0-λy1-λæèöø.因为点A在抛物线上,所以y0+λy1+λæèöø2=2px0+λx1+λæèöø,(y0+λy)2=2p(1+λ)(x0+λx)①,同理(y0-λy)2=2p(1-λ)(x0-λx)②,由①-②得2y0×(2λy)=4pλ(x+x0),则y0y=p(x+x0).所以点Q在直线y0y=p(x+x0)上.注三大圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)中,当定点P(x0,y0)在曲线上时,相应的定直线x0xa2+y0yb2=1,x0xa2-y0yb2=1,yy0=p(x0+x)均为在定点P(x0,y0)处的切线.【例10.54】 (2008·安徽理,22)设椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)过点M(2,1),且左焦点为F1(-2,0).(1)求椭圆C的方程;(2)当过点P(4,1)的动直线l与椭圆C相交于两不同点A,B时,在线段AB上取点Q,满足|AP→||QB→|=|AQ→||PB→|.证明:点Q总在某定直线上.【分析】 用待定系数法求解椭圆的方程,巧妙地利用定比分点解答点Q的轨迹问题.【解析】 (1)由题意知c2=22a2+1b2=1c2=a2-b2ìîí,解得a2=4,b2=2,所求椭圆方程为x24+y22=1.图 10-30(2)如图10-30所示,设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x,y),由题意知PA→AQ→=PB→QB→,不妨设A在P,Q之间,PA→=λAQ→(λ0),又Q在P,B之间,故PB→=-λBQ→,因为PB→BQ→,所以0λ1,由PA→=λAQ→得(x1-4,y1-1)=λ(x-x1,y-y1), 新课标高考数学题型全归纳·162 ·心得体会解得x1=4+λx1+λy1=1+λy1+λìîí;同理,由PB→=-λBQ→,得(x2-4,y2-1)=-λ(x-x2,y-y2),解得x2=4-λx1-λy2=1-λy1-λìîí.因为点A在椭圆上,所以4+λx1+λæèöø24+1+λy1+λæèöø22=1,即4+λx()24+1+λy()22=1+λ()2①.同理,由点B在椭圆上,得4-λx()24+1-λy()22=1-λ()2②.由①-②得8×2λx4+2×2λy2=4λ,因为λ≠0,所以x+y2=1.所以点Q在定直线2x+y-2=0上.【评注】 由模型的结论不难知动点Q(x,y)总在定直线x0xa2+y0yb2=1上,a2=4,b2=2,x0=4,y0=1,得4x4+y2=1,即2x+y-2=0.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈题型153 定值问题思路提示:求定值问题常见的方法有两种:(1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.(2)直接推理,计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈模型一:三大圆锥曲线中,设过焦点F且不垂直于坐标轴的弦为AB,其垂直平分线交焦点所在轴于点R,则FRAB=e2.图 10-31 证:设椭圆x2a2+y2b2=1ab0(),如图10-31所示,作辅助线,设Ax1,y1(),Bx2,y2(),易知Rt△FMR∽Rt△AHB,所以FRAB=FMAH=AF-BF2x1-x2=AF-BF2x1-x2(∗)由定义知AF+AF′=2a①,从而AF-AF′=AF2-AF′22a=(x1+c)2+y21-(x1-c)2+y21[]2a=2ex1②.①+②2得AF=a+ex1③,同理BF=a+ex2④.③-④得AF-BF=ex1-x2(),代入式(∗)得FRAB=ex1-x2()2x1-x2=e2.类比椭圆,在双曲线中有FRAB=e2.第十章 圆锥曲线方程 ·163 ·心得体会图 10-32在抛物线中,设抛物线方程为y2=2pxp0(),如图10-32所示,作辅助线方法同椭圆中,得FRAB=AF-BF2AH=AF-BF2AS-BT=AF-BF2AF-BF=12.即FRAB=12=e2(抛物线离心率为1).【例10.55】 (2010·全国Ⅱ理,12)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1ab0()的离心率为32,过右焦点F且斜率为kk0()的直线与C相交于A,B两点,若AF→=3FB→,则k=( ).A.1B.2C.3D.2图 10-33【解析】 如图10-33所示,不妨设AF→=3,则FB→=1,MF→=1,RF→=e2AB=2e=3,在Rt△FMR中,k=tan∠RFM=RMFM=3-11=2.故选B.【评注】 若lAB的倾斜角为θ,且AF→=λFB→λ0(),则cosθ=λ-1eλ+1().【变式1】 (2009·全国Ⅱ理,11)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a0,b0()的右焦点为F,过F且斜率为3的直线交C于A,B两点,若AF→=4FB→,则C的离心率为( ).A.65B.75C.85D.95图 10-34【变式2】 (2010·全国Ⅰ理,16)已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交C于点D,且BF→=2FD→,则C的离心率为 .【变式3】 (2007·重庆文,21)如图10-34所示,倾斜角为α的直线经过抛物线y2=8x的焦点F,且与抛物线交于A,B两点.(1)求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程;(2)若α为锐角,作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P,证明:FP-FPcos2α为定值,并求此定值.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈模型二:三大圆锥曲线中(双曲线需同支),设过焦点F且不平行于焦点所在坐标轴的弦为AB,则1AF+1BF为定值4L(L为通径长). 证:设椭圆x2a2+y2b2=1ab0(),如图10-35所示,过点F作l⊥x轴于点F,过点A,B分别作AH1,BH2垂直于l于点H1,H2,设Ax1,y1(),Bx2,y2(),lAB的倾斜角为α,不妨设x2-cx1,则AH1=AFcosα=x1+c, 新课标高考数学题型全归纳·164 ·心得体会图 10-35又由模型一中AF=a+ex1,所以eAH1=eAFcosα=ex1+ec=AF-a+ec,即AF1-ecosα()=a-ec,得AF=a-ec1-ecosα.1AF=1-ecosαa-ec=1-ecosαb2a.同理,在Rt△BH2F中,1BF=1+ecosαb2a,所以1AF+1BF=1-ecosαb2a+1+ecosαb2a=2b2a=2ab2,为定值.类比椭圆,在双曲线(同支)中,仍有1AF+1BF=2ab2为定值.对于抛物线y2=2pxp0(),如图10-36所示,过点A,B分别作垂线AS,BT垂直于准线l于点S,T,过F作垂直于x轴的直线交AS与BT的延长线(或反向延长线)于点H1,H2,在Rt△AH1F中,AH1=AFcosα①,图 10-36又AH1=AS-SH1=AF-p②,将式②代入式①得AF-p=AFcosα,得AF=p1-cosα,所以1AF=1-cosαp③.同理,在Rt△BH2F中,可得1BF=1+cosαp④.由③+④得,1AF+1BF=2p,为定值.【评注】 本结论对于AB为通径也成立,且上述结论可统一为1|AF|+1|BF|=4L(L为通径长).【例10.56】 (1)(2010·重庆文,13)已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,AF=2,BF= .(2)(2010·重庆理,14)已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A,B满足AF→=3FB→,则弦AB的中点到准线的距离为 .【解析】 (1)由1AF+1BF=2p=1,得12+1BF=1,故BF=2.(2)如图10-37所示,因为AF→=3FB→,所以设FB→=r,则AF→=3r,由1AF+1BF=2p,知13r+1r=22,即r=43.因为点M为线段AB的中点,所以MN=12AS+BT()=12AF+BF()=12r+3r()=2r=2×43=83.【变式1】 (2010·北京宣武二模理,8)如图10-38所示,抛物线C1:y2=2px和圆C2:第十章 圆锥曲线方程 ·165 ·心得体会x-p2æèöø2+y2=p24,其中p0,直线l经过C1的焦点,依次交C1,C2于A,B,C,D四点,则AB→·CD→的值为( ).A.p24B.p23C.p22D.p2图 10-37图 10-38┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈模型二的推广:三大曲线(椭圆、双曲线(同支)、抛物线)中,设Pi(i=1,2,…,n,n∈Ν∗,n≥2)为曲线上的动点,点F为曲线的焦点,且线段FP1,FP2,…,FPn把圆周角F分成n等份,则∑ni=11FPi为定值,2nL(L为通径长). 证:①对于椭圆x2a2+y2b2=1ab0(),由题意可设θ1=∠x+FP1=α,则θi=∠x+FPi=α+2i-1()πni=1,2,…,n(),且由模型一知1FPi=1-ecosθib2ai=1,2,…,n(),所以∑ni=11FPi=∑ni=11-ecosθib2a=nab2-cb2∑ni=1cosθi(∗).因为θi=α+2i-1()πn,所以单位向量FPi→FPi→的终点均匀分布在以F为圆心的单位圆上,所以∑ni=1FPi→FPi→=0(∗∗).(证明:可把FPi→FPi→逆时针旋转2πn,则式(∗∗)左边不变,其右边只能为0).所以∑ni=1cosθi,sinθi()=0,即有∑ni=1cosθi=0,代入式(∗)得∑ni=11FPi=nab2-cb2×0=nab2为定值.②类比椭圆,在双曲线(同支)中,仍有∑ni=11FPi=nab2.③对于抛物线y2=2pxp0(),设θ1=∠x+FP1=α,则θi=∠x+FPi=α+2i-1()πni=1,2,…,n(), 新课标高考数学题型全归纳·166 ·心得体会由模型一中知1FPi=1-cosθip,所以∑ni=11FPi=∑ni=11-cosθip=np-1p∑ni=1cosθi,由①中证明知∑ni=1cosθi=0,代入上式得∑ni=11FPi=np为定值.【评注】 上述结论可统一为∑ni=11|FPi|=2nL(L为通径长).【例10.57】 (2007·重庆理,22)在椭圆x236+y227=1上任取三个不同的点P1,P2,P3,使∠P1FP2=∠P2FP3=∠P3FP1,其中F为右焦点,求证:1FP1+1FP2+1FP3为定值,并求此定值.【解析】 解法一:设椭圆的右顶点为A,以F为极点,AF的延长线为极轴,建立极坐标系,并设∠AFPi=θii=1,