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4-2管内湍流充分发展流对流换热一、管内湍流充分发展流对常物性、不可压牛顿流体的管内湍流充分发展流，有：0ux∂=∂，0v=，0pr∂=∂于是，其二维稳态的动量方程化简为：''1[()]ddudpruvrdrdrdxµρ−=（4.2.1）又：()mttdudrτττρνν=+=+，''tuvτρ=−，则上式可写成：1()ddprrdrdxτ=（4.2.2）积分得到：2rdpdxτ=（4.2.3）上式表明：管内湍流充分发展流的总切应力沿径向是线性分布的。当wrr=时，wττ=，于是：2wwrdpdrτ=（4.2.4）wwrrττ=(4.2.5）定义：y是沿半径方向离开壁面的距离，则wyrr=−。于是τ可表示为：τyxwrwτ(1)wwyrττ=−（4.2.4）采用无量纲参数：uuuτ+=,yuyτν+⋅=,wuττρ=由()tdudrτρνν=+及(1)wwyrττ=−得:2(1)(1)twduuydyrτννν+=−即：(1)1twduydyrνν+++++=−（4.2.5）与平壁湍流边界层的无量纲速度关系式：(1)1tdudyνν+++=（内层区）相比，仅在等式右侧有差别，而在管壁附近1wyr++，两式变得相同。所以，管内湍流充分发展流的近壁区与扰流平壁的湍流边界近壁区都遵循通用速度分布。.△另外，在管内充分发展湍流中，不存在平壁湍流边界层边缘那种间歇湍流脉动，因而，在近壁区外，速度分布规律偏离壁面规律不像平壁湍流边界层那样显著。这样，可近似地用通用速度分布来描述整个管截面内的速度场。正如前面一节提到的，VonKármán的三层结构通用速度分布也适用于管内湍流，即：55ln3.055(ln1)53052.5ln5.530uyyyuyyuyy++++++++++⎧=≤⎪⎪=−+≤≤⎨⎪⎪=+≥⎩（4.2.6）但也存在以下缺点：（1）当Pr30时，用上式计算管内湍流对流换热结果不满意，原因是完全忽略了粘性底层中的脉动（tν＝0）；（2）在管中心处，应有：00rdudr==，但按上述对数分布规律得出的结果不为零，这不符合实际。赖卡特（H.Reichardt），对此进行了改进，提出了公式：2[11()],5011(1)[12()],506ttwwyKythyyyyKyrr+++++⎧=−≤⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩νννν（4.2.7）由上式可以看出，当50y+≤时，tνν随y+减小而减小，在壁面处，tνν＝0（y+＝0）；在中心线处，wyr=，tkyνν+=。将上式代入动量方程：(1)1twduydyrνν+++++=−得22[1()][12()]6τ=−+（4.2.8）当0r=时，00rdudr==。最终可得无量纲通用速度分布：0.331121.5(1)2.5ln[(1)]7.8[1]1112()yywwrryuKyeerr+++++−+=++−−+（4.2.9）工程上更多地直接采用尼古拉兹提出的速度分布。尼古拉兹对36410Re3.210××范围内的管内湍流阻力与速度分布进行了广泛的实验研究，认为管内的湍流速度分布可表示为：1max()nwuyru=（4.2.10）其中，maxu是管中心线处速度，指数n随Re的变化（Remudν⋅=），如下表：Re3910×42.310×51.110×61.110×6210×63.210×n66.678.81010maxmuu0.7910.8070.8170.8500.8660.866施里希延（Schlichting.H.）推荐下面的速度分布式：1()()mnuuycnuττν⋅=⋅（4.2.11）系数()cn随n的变化如下表:Re5105510×61.310×63.210×n78910()cn8.749.7110.611.5普朗特基于通用速度分布，并综合实验数据修正，得出了通用的管内充分发展湍流阻力公式：12.035lg(Re)0.8ff=−（4.2.12）上式称为光滑圆管的普朗特通用阻力公式，适用于6Re3.410×。f是管流阻力系数或沿程阻力系数：22mdpdfdxuρ=−⋅（4.2.13）二、管内湍流换热对常物性，不可压牛顿流体的管内湍流充分发展流（热、流动都已充分发展的情况）对流换热，考虑wq＝常数、0.5Pr30（常见流体）的情况。由于0ux∂=∂，0v=，二维轴对称稳态湍流换热的能量方程为：1[()]pptTTcucaarxrrrρρ∂∂∂=+⋅⋅∂∂∂（4.2.14）对热充分发展段：0x∂Θ=∂，在wq＝常数时，有:2mwwpmwTdTdTqconstxdxdxcurρ∂====∂⋅（4.2.15）将上式代入能量方程，整理得：12[()]wptmwuqTcaarurrrrρ∂∂⋅=+⋅⋅∂∂（4.2.16）边界条件：000wrwwrrdTrdrdTqrrconstdrλ==⎧==⎪⎪⎨⎪===⎪⎩（4.2.17）用wyrr=−代换r，积分得：102()()()ywwtwmpwdTquryaarydycdycruρ−+=−+∫（4.2.18）利用0r=时，0dTdr=⇒,1(0)0wdTyrcdy⇒===，再考虑到湍流充分发展流时，管内截面上大部分区域的速度分布较平坦，速度剧烈变化仅发生在粘性底层中，可近似的有：1muu。于是，上式可近似地化为：wwpwtdTqrydycraaρ−=⋅+（4.2.19）由无量纲定义：()wpwTTcuTqτρ+−=，yuyτν+⋅=上式可变换为无量纲形式：1wtydTraadyνν++++−=+（4.2.20）利用边界条件0y+=：0T+=（壁面），积分得无量纲温度分布：0111PrPrywttyrTdyνν+++++−=+⋅∫（4.2.21）由tν、Prt关系式，最终可得T+。根据湍流边界层三层结构模型，对Pr数不很大的流体（Pr30），在粘性底层中，上式被积函数中，11PrPrttνν⋅，可忽略之；对Pr数不很小的流体（Pr0.5），在湍流核心，11PrPrttνν⋅。另外，在粘性底层与过渡层中，可认为1wyr++。则：530053011Pr111PrPrPrwwrwyrttttyrTdydydy+++++++++=−=+++⋅⋅∫∫∫ννννLbtTTT+++=∆+∆+∆（4.2.22）粘性底层：5PrLT+∆=（a）过渡层：利用近似速度分布：5(ln1)5yduudy++++=+⇒，代入管内湍流无量纲动量方程简化形式：(1)115ttwduyydyrνννν++++++=−⇒=−，得到：Pr5Prln(51)PrbtT+∆=+（b）湍流核心：2.5ln5.5uy++=+，利用1(1)2.5twwyryydurdy+++++++−==−νν⇒2.5Prln30wtrT++∆=（c）则：()5Pr5ln(5Pr1)2.5ln30wclwpwyrwuTTcrTq++++=−==+++τρclT是中心线处温度wyrT=。由Nu数定义：()()cl⋅⋅−⋅===⋅−−−λλλ其中，mT是管截面积分平均温度；clwTT−、mwTT−分别是管截面内的最大温差与平均温差。对常物性流体，截面上各处密度、比热相等，截面平均温差可按体积流量平均。于是有：0max0max122wwrwmwrwwTTTTurdrTTcluuTTclrdru−−=−−∫∫ππ在Pr1Pr1t、条件下，管截面内的无量纲温度分布与无量纲速度分布相同，利用湍流速度分布：17max()wuyru=，得到：17()wclwwTTyrTT−=⇒−65wclwmTTTT−=−，而1Re22fwwcrurτν+⋅==，最终得：6RePr2125[Prln(5Pr1)ln(Re60)]22ffcNuc⋅⋅=+++⋅（4.2.23）