高等传热学课件对流换热-第3章-4

3-4湍动能方程与耗散方程湍流脉动动能K（湍动能）、脉动的粘性耗散ε是描述湍流中能量输运与转化的重要物理量。但在基本的时均化守恒方程中没有反映，需要建立专门的输运方程来揭示其输运规律。本节介绍K方程与ε方程。1).湍动能K''''()222211K22kvuvw==++(3.4.1)它表示：单位质量流体速度脉动所具有的动能。2).湍流脉动的粘性耗散项ε:'2()ijvx∂=⋅∂εν(3.4.2)它表示：单位质量流体的脉动速度变形引起的粘性耗散。一、湍动能方程—K方程K方程的推导思路与雷诺应力方程的推导类似。仍以常物性、不可压牛顿流体为例。动量方程的瞬时量形式为：2211iiikikikvvvpvBxxx∂∂∂∂+=−+∂∂∂∂ντρρ(a)式中，i—轮换指标，k—迭加指标。以'iv乘以方程各项，然后取时均得：左边'''''''''iiiiikikikikkkvvvvvvvvvvvxxx∂∂∂∂=+⋅+⋅+⋅∂∂∂∂τKK'2'''()2iikikkkkkvvvvvvxxx∂∂∂∂=+⋅+⋅+⋅∂∂∂∂τ(b)右边''''''2(')111''()()iiiiiiiiikkkpvvvvBvpvxxxxx∂∂∂∂∂=−++−∂∂∂∂∂ννρρρ(c)其中,''0iivpx∂=∂。对常物性流体，一般体积力无脉动，则：''0iiBv=于是，得到如下形式的K方程：KKK'2''2'''22[()]()2iiikkikkkkkkvvvpvvvvxxxxx∂∂∂∂∂∂+=−+−+−∂∂∂∂∂∂νντρ(3.4.3)0ABCDEFGK方程中各项的物理意义：A：K的当地变化率；B：时均流场引起的K的对流转移(湍流转移)；C：速度脉动引起的脉动压能的扩散传递(湍流扩散)；D：速度脉动引起的K的扩散传递(湍流扩散)；E：雷诺应力在时均速度变形下的变形功，它使K增加，推动和维持湍流运动，称为湍流生成项(制造项)；F：粘性引起的K扩散传递(粘性扩散)；G：脉动速度变形引起的粘性耗散(ε项)，它总为负值，因此总是导致K减小，称为湍流脉动的粘性耗散项。二、耗散方程－ε方程ε方程是描述湍流脉动粘性耗散效应的生成、输运规律的守恒方程。以常物性、不可压牛顿流体为例。'2()ikvx∂=∂εν导出思路：由瞬时量形式的动量方程、时均形式的动量方程相减得出脉动形式的动量方程，然后对kx求导，再乘以'2ikvx∂∂ν后取时均。常物性、不可压牛顿流体的动量方程瞬时量形式：221iiijjijvvvpvxxx∂∂∂∂+=−+∂∂∂∂ντρ(a)时均形式：''22()1ijiiijjijjvvvvvpvxxxx∂∂∂∂∂+=−+−∂∂∂∂∂ντρ(b)()()ab−得：''''2'''''2()1ijiiiiijjjjijjjjvvvvvvvpvvvxxxxxx∂∂∂∂∂∂∂+=−++−−∂∂∂∂∂∂∂ντρ(c)将各项对kx求导：'''''221()()()()jiiiijkkjjkikkjvvvvvpvxxxxxxxxx∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂++=−+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ντρ2''''2'2'''()ijjjiiiijjjkkjjkkjjkvvvvvvvvvvxxxxxxxxxx∂∂∂∂∂∂∂+−−−−∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂(d)(a)(b)(c)(d)(e)(f)(g)(h)(i)(j)将各项乘以'2ν∂∂ikvx，然后取时均(注意：2'()ikvx∂=∂εν)：(a)='''22()[()]iiikkkvvvxxx∂∂∂∂∂∂⋅=⋅=∂∂∂∂∂∂ενντττ(b)=''''22jjiiiikkjjkjvvvvvvxxxxxx∂∂∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂νν(c)='''22()[()]iiijjjkjkjkjvvvvvvxxxxxx∂∂∂∂∂∂==⋅∂∂∂∂∂∂ενν(d)=''''22()()iikikikkvvppxxxxxx∂∂∂∂∂∂−=−⋅∂∂∂∂∂∂ννρρ(利用了'0iivx∂=∂)(e)=''2'22222222()2()iiikkjkjjvvvxxxxxx∂∂∂∂∂=−∂∂∂∂∂∂εννν因为：22''''[()][()]iiiikjjkjkjkvvvvxxxxxxxx∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂νν2''()()iijkjkvvxxxx∂∂∂∂−∂∂∂∂ν222'22()ijkjvxxx∂∂=−∂∂∂εν(f)=2'''()20ijikjkvvvxxx∂∂=∂∂∂ν(g)=''''22jjiiiikkjjkkvvvvvvxxxxxx∂∂∂∂∂∂−=−∂∂∂∂∂∂νν(h)='22'''22∂∂∂∂−=−∂∂∂∂∂∂iiiijjkjkkjkvvvvvvxxxxxxνν(i)='''2jiikkjvvvxxx∂∂∂−∂∂∂ν(j)='2''2'''''22iiiijjjkjkkjkjvvvvvvvxxxxxxx∂∂∂∂∂−=−=−∂∂∂∂∂∂∂ενν于是有：''''2222()jiiijjkkjikkjvvvvpvxxxxxxxx∂∂∂∂∂∂∂∂∂++=−+∂∂∂∂∂∂∂∂∂εενενντρ2'2''''22'''''2()222jiiijjkkkjjjiiiijkjkjkkvvvvvxxxxxxvvvvvvxxxxxx∂∂∂∂∂−−⋅⋅⋅−∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅∂∂∂∂∂∂ενννν(3.4.4)将方程两边最后一项合并：''''22jjiiiikkjjkkvvvvvvxxxxxx∂∂∂∂∂∂−−∂∂∂∂∂∂νν将第一项中的指标ij↔互换、第二项中jk↔互换⇒''''''''222()jjiiikkkikjjjjiikkkijjvvvvvvxxxxxxvvvvvxxxxx∂∂∂∂∂∂−⋅⋅−⋅⋅⋅∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=−⋅+⋅∂∂∂∂∂ννν最后则得如下形式的ε方程：''''''22jjiikijjkkijjikkvvvvvvpvxxxxxxxxx⎛⎞⎛⎞∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎜⎟⎜⎟+=−+−⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠εενντρ2'2'''22222jiiijkkkjjvvvvxxxxxx⎛⎞∂∂∂∂∂+−−⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂∂∂⎝⎠εννν(3.4.5)2''''2iijjjkjkvvvvxxxx⎛⎞∂∂∂⎜⎟−−⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠εν„ε方程中许多项的物理含义已比较复杂，难以解释。