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3-7湍流模型简介一、概述湍流模型是半经验、半理论的研究方法，其目的是将湍流的脉动相关项与时均量联系起来，使时均守恒方程封闭。自1925年Prandtl提出混合长度理论，各国学者对湍流模型进行了大量研究，提出了许多模型。W.C.Regnolds建议按模型中所包含的微分方程数目进行分类，成为目前适用的湍流模型分类方法。一般将湍流模型分为：z零方程模型（代数方程模型）z一方程模型z二方程模型z多方程模型研究（Morkovin莫尔科文）表明：当M5时，流体的可压缩性对湍流结构不起主导影响，因此我们仅参考不可压缩情况。根据大量的实验研究结果，湍流边界层对流换热的强弱主要取决于内层区(0.2)yδ的特性。在内层区：由相似原理分析得出，Prt近似是一个常数（Prt≈0.9）这样，只要确定了tν，即可容易地得到tα，所以在介绍湍流模型时，只给出tν或tµ时均量的关系式。二、零方程模型（代数方程模型）零方程模型中不包含微分方程，而用代数关系式将tν与时均量关联起来。Prandtl混合长度理论是昀早的代数方程模型。它适用于：充分发展的湍流剪切流边界层内层，y≤0.2δ。对外层区，一些学者研究后仍沿用Prandtl混合长度的模型关系式：2tuLyν∂=∂，但，Lλδ=⋅（3.7.1）实验常数λ在0.08~0.09之间。VonKármán、Deissler、VanDriest、Taylor等人先后提出了更完善的代数方程模型。(1)VonKármán模型VonKármán假设湍流内各点的脉动相似（局部相似），即各点之间只有长度尺度与空间尺度的差别。对平行流流场，若对某点（0y处）附近的时均速度进行Taylor展开：00220002()()()()2yyyyuuuyuyyyyy−∂∂=+−+⋅+∂∂（a）若流动相似，则必有尺度L与速度0u（0u＝0()uy）使上式无量纲后成为通用分布。令yYL=；00()()uyUYu=则有无量纲形式：0022002()()1()2YYYYUUUYYYYY−∂∂=+⋅−+⋅+∂∂（b）若上式是相似的通用速度分布，则式中各系数之比应与位置无关，而是一个常数。则令：0022YYUUKYY∂∂=∂∂，222uuLLKyy∂∂⇒⋅⋅=∂∂得出：22uuLKyy∂∂=⋅∂∂（3.7.2）其中：0.40.41K=∼。(2)Deissler模型与VanDriest模型Deissler与VanDriest均认为，在靠近壁面的粘性底层，脉动并不为零，而是逐渐衰减，只在壁面上才严格为零。建议采用指数函数阻尼因子的形式。Deissler模型：22[1exp()]tuynuynνν=−−（3.7.4）式中，n＝0.124.VanDriest模型：[1exp()]yLKyA++=−−（3.7.5）其中，0.4K=，26A+=，yyuτν+=⋅，wuττρ=（剪切速度）.或：222[1exp()]tyuKyAyνν+++++∂=−−⋅∂（3.7.6）其中：uuuτ+=，称为无量纲速度。(3)Nikuradse（尼古拉兹）模型对直圆管内的充分发展湍流，尼古拉兹推荐仍用Prandtl模型中的tν关系式（2tuLyν∂=∂），但混合长度L由下式计算：240.140.08(1)0.06(1)LyyRRR=−−−−（3.7.6）式中，y是离开壁面的距离。（4）代数模型的特点对湍流边界层流动，采用许多代数方程模型的求解都获得了满意结果，目前仍被广泛采用。但零方程模型的缺点也很明显:将脉动量与时均量的关联，过于简单，有时与实际情况差别较大。譬如，当0uy∂=∂时，tν＝0，这与实验结果不符合；在管内轴线处，0ur∂=∂，但tν≠0，仍有脉动。三、一方程模型一方程模型是指用一个偏微分方程来确定tν。昀著名的一方程模型是K方程模型。1942年，前苏联的科尔莫哥洛夫（колмоглов）基于分子运动论，提出了一个用K计算tν的关系式。分子热运动引起的运动粘度ν，正比于分子平均速度与平均自由行程的乘积。类似地：''12tcKlµν=⋅⋅（3.7.7）式中，''1.0cµ=为实验常数，l为湍流特性尺度。该模型主要适用于边界层流动。而应用该模型的关键是如何确定湍动能K及l。前面，我们已推导出了常物性、不可压缩牛顿流体在体积力无脉动时的K方程。2'''2'''22[()()]2∂∂∂∂∂∂+⋅=−+−⋅+−∂∂∂∂∂∂iiijjijjjjjjvvvKKPKvvvvxxxxxνντρ（3.7.8）其中，右边昀后一项为湍流耗散项，'2()ijvxεν∂=∂。(1)若以K和湍流尺度l（脉动尺度）来表示ε项，经过量纲分析可得到：'232()iDjvcKlxεν∂==∂（3.7.9）其中，0.080.38Dc=∼为实验常数，常取0.09Dc=.(2)由Boussinisqe假设：''tjiijtijvvDτρρν=−=，可将K方程中的湍流生成项表示为：''()jiiiiijtijtjjjijvvvvvvvDxxxxxνν∂∂∂∂∂−==+∂∂∂∂∂（3.7.9）(3)再将方程中的脉动压能与脉动动能的扩散项表示成通常的扩散项形式：2''2'2[()]2itjjKjvPKvxxνρσ∂∂−+=∂∂（3.7.10）其中：kσ称为脉动动能的普朗特数（kσ相当于tα一样的扩散系数），一般kσ≈1.0。于是脉动动能方程可模式化为：'32[()]()jtiijtDjjKjjjivvvKKKvcKlxxxxxxννντσ∂∂∂∂∂∂∂+=+++−∂∂∂∂∂∂∂（3.7.10）上式即是昀初由Kolmogrov在1942年提出的K方程，在K方程模型中广泛采用该式。（1）可以看出，K方程模型的求解，关键是确定湍流尺度l，对近壁区域，l可近似地用Prandtl混合长度代替。（2）与代数方程模型相比，K方程模型考虑了代表湍流特性的K的生成、运输和耗散。因而能更深入地反映湍流本质，能获得更精确的结果。尤其是对湍流较强的情况。（3）但求解K方程，须确定湍流尺度l。l可由实验获得，也可通过解ε方程求出，这就导致二方程模型。（4）目前，一方程模型应用不多。四、二方程模型昀早的二方程模型是Kolmogrov于1942年提出的，K-f模型。其中，f是脉动效率。他将f与l关联为：12fKl⋅∼通过解K方程与f方程来确定l。除此之外，还有六、七十年代提出的KKl−模型（1970年），和K－W模型（1972年），W是涡量的脉动时均值。目前应用昀广泛的二方程模型是由周培源教授在1945首先提出的Kε−模型。（1945年，QuartlyJ.ofAppliedMathematics1（1）：38-54.应用数学季刊.Vol.1，No.1）Kε−模型是通过解K方程和ε方程来确定tν。前面，我们已经推导出了K方程、ε方程：'32[()]()jtiijtDjjKjjjivvvKKKvcKlxxxxxxννντσ∂∂∂∂∂∂∂+=+++−∂∂∂∂∂∂∂（3.67）''''''2'222()()jjikijjkijjikkjvvvvvPvxxxxxxxxxεενενντρ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂+=−⋅+⋅−⋅+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂'2''''22'2()2jiiijjkkkjjvvvvvxxxxxxενν∂∂∂∂∂−−⋅⋅−⋅∂∂∂∂∂∂'2'2()iijkjkvvvxxxν∂∂−⋅∂∂∂（3.68）K方程中，右边昀后一项为湍流耗散项。'232()iDjvcKlxεν∂==∂（a）而''12tcKlµν=⋅⋅（b）若用K和ε来表示tν，则可消去湍流尺度l，即：''1232tDcKcKµνε=⋅⋅（3.69）这时，将K方程表示为：'[()]()jtiijtjjKjjjivvvKKKvxxxxxxνννετσ∂∂∂∂∂∂∂+=+++−∂∂∂∂∂∂∂(3.70)将耗散方程进一步模式化：（1）方程右边第一项近似表示为：''''12()()jjiikiiktkkijjkkivvvvvvvvcxxxxxKxxxενν∂∂∂∂∂∂∂∂−⋅+⋅+∂∂∂∂∂∂∂∂（c）（2）方程右边第二项，经推导，发现包含时均参数的高阶导数，与其它项相比，可略去，即：''2()0iikkvPxxxνρ∂∂∂−⋅∂∂∂（d）（3）方程右边第四项、第五项，在高Ret时可认为与ν无关，而模式化为：'2'''22222()2jiiijkkkjvvvvcxxxxxKενν∂∂∂∂+⋅⋅⋅∂∂∂∂∂（e）这里，湍流雷诺数RetKxν⋅=，是以当地脉动速度()K定义的Re数。（4）第六项是脉动引起的ε扩散，可表示为：''()tjjjjvxxxενεεσ∂∂∂−⋅=⋅∂∂∂（f）这里，εσ与kσ一样，可视为ε的Pr数。（5）昀后项可转化为时均流动参数的一阶导数和二阶导数的乘积，也可忽略。经上述模式化后，得到了ε方程形式为：2'12[()]()tiikjtjjjkkivvvvccxxxKxxxKενεεεεενντσ∂∂∂∂∂∂∂+=++⋅+−⋅∂∂∂∂∂∂∂（3.71）将K方程与ε方程联立求解，得到了K和ε，再由2tcKµνε=（3.72）求出tν。K方程、ε方程及tν表达式中各系数为（对高Ret情况）：0.09cµ=，11.44c=，21.92c=，1.0Kσ=，1.3εσ=◎.上面的K－ε模型及各系数组，适用于高Ret情况，即离开壁面一定距离的湍流核心区，又称为高Ret模型。对紧贴壁面的粘性底层，Ret很小，须考虑分子粘性的影响。相应地，需将K方程、ε方程进行适当的修正，可参考相关著作。