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3-3雷诺应力与雷诺热流方程对一般不可压缩流体的湍流问题，若不考虑粘性耗散，时均化守恒方程中的附加项是雷诺应力项和雷诺热流项。为了使方程组封闭，首先想到的办法就是补充描述这两种脉动附加项的方程，称为雷诺应力方程和雷诺热流方程。一、雷诺应力方程考虑常物性、不可压牛顿流体，并对张量的指标作如下规定：1).指标i、j只取1、2、3之一，称为轮换指标；2).指标k，用作重复出现时，称为迭加指标。''tjiijvvτρ=−雷诺应力是速度脉动量的乘积，所以从动量方程出发。应力形式动量方程：[]iikikikikvvpvBxxx∂∂∂∂+=−+∂∂∂∂τρτ(a)对常物性、不可压缩牛顿流体：∂∂∂=+→∂∂∂∂=+∂∂∂∂222()()ikkkiikkiikkikvvxxvxvxxxτµτµ又22()0∂∂=∂∂∂∂=→∂∂kkiikkkivxvxxxτµ(b)动量方程变形为：∂∂∂∂+=−+∂∂∂∂22[]iiikikikvvvpvBxxxρµτ(3.3.1)方程两边同时乘以'jv，然后取时均：方程左边=∂∂∂∂+++∂∂∂∂'''''''''[]iiiijkjkjkjkkkvvvvvvvvvvvxxxρτ(c)方程右边=∂∂−+∂∂2''''''2iijjjikvpBvvvxxµ(d)于是有脉动量关系式：=∂∂∂∂∂∂+++−⋅+∂∂∂∂∂∂'''2''''''''''''2[]iiiiijkjkjkjijjjkkkikvvvvvpvvvvvvvBvvvxxxxxρµτ(e)若将方程(3.3.1)中的iv换作jv，然后方程各项乘以'iv，再取时均得：=∂∂∂∂∂∂+++−⋅+∂∂∂∂∂∂'''2''''''''''''2[]jjjjjikikikijiiikkkjkvvvvvpvvvvvvvBvvvxxxxxρµτ(f)*也可直接将(e)式中轮换指标ij↔(互换)得出(f)式。将(e)、(f)两个脉动量关系式相加有：左边∂∂∂∂∂+⋅+⋅+⋅+⋅∂∂∂∂∂'''''''''''()()()[]=ijijjijikkjkikkkkkvvvvvvvvvvvvvvxxxxρτ(LL)其中，''''''''''''()()()ijijkijkkkijkkkkvvvvvvvvvvvvxxxx∂∂∂∂⋅=−⋅=∂∂∂∂,(g)右边∂∂∂∂=+−⋅+⋅++∂∂∂∂2'2'''''''''''22()()()jijiijijijjikkvvppBvBvvvvvxxxxµ其中，∂∂∂∂∂∂⋅+⋅=+−+∂∂∂∂∂∂'''''''''''()()()jjiiijjijijipvvpvvppvvpxxxxxx∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂+=−⋅+−⋅∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=−⋅⋅∂∂∂2''''2''2''''''''''222()()()2jjjjiiiiijijkkkkkkjiijkkkkkkkvvvvvvvvvvvvxxxxxvvvvxxxxxxxx于是右边[]∂∂=+−+∂∂''''''''()()()jijiijjipvpvBvBvxx∂∂∂∂∂+++−⋅⋅∂∂∂∂∂''''2'''2()()2jjiiijjikkkvvvvpvvxxxxxµµ(RR)将式(LL)与式(RR)合并，整理可得：''''''''''2''''''2()()()[]()()[()]2ijijijkjikkkjiABCDijiijkjikkkEFvvvvvvvvvvpxxxxvvvpvvxxρρτδδµµ∂∂∂∂∂+⋅=−++∂∂∂∂∂∂∂∂−⋅++−⋅∂∂ '''''''''[]()jkkGjijkikijjikkIHvxxvvvvvvvBvBxxρ∂⋅∂∂∂∂−⋅+⋅++∂∂ (3.3.2)上式是以''ijvv为因变量的动量输运方程，因''tjiijvv=−τρ，所以上式即是描述雷诺应力输运关系的方程，称为雷诺应力方程。方程中各项的物理意义：A：雷诺应力的当地变化率；B：时均流场引起的雷诺应力对流输运(湍流转移)；C：速度脉动(脉动流场)引起的雷诺应力扩散传递(湍流扩散)；D：压力脉动与应变脉动所做的“变形功”，可引起湍流产生或衰减；E：脉动压力在脉动流场中所做“脉动压力功”的空间变化；F：雷诺应力在分子热运动作用下的粘性扩散，引起脉动衰减；G：湍流脉动(与雷诺应力相对应)的粘性耗散(系由脉动变形与粘性阻尼产生)，引起湍流衰减；H：雷诺应力在时均流场下的变形功，引起湍流产生；I：体积力脉动与速度脉动所做的脉动功。二、雷诺热流方程''tjpjqcvT=ρ雷诺热流输运方程的推导与雷诺应力方程类似。仍考虑常物性、不可压牛顿流体，无内热源、无辐射，不考虑体积力与粘性耗散。能量方程与动量方程瞬时量形式为：22jkkkvTTvaxx∂∂∂+=∂∂∂τ(a)221jjjkkjkvvvpvxxx∂∂∂∂+=−+∂∂∂∂ντρ(b)'()jav×取时均、'()bT×取时均，得：∂∂∂∂∂++⋅+⋅=⋅∂∂∂∂∂'''2''''''''2jkjkjjkjkkkkTTTTTvvvvvvvavxxxxτ(c)'''2''''''''''21jjjjjkkkkkkjkvvvvvpTvTvTvTTTxxxxx∂∂∂∂∂∂+⋅+⋅+⋅=−+⋅∂∂∂∂∂∂ντρ(d)两式相加得：(((∂∂∂∂∂+⋅=−−⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂∂∂−++⋅∂∂∂∂∂∂∂−⋅⋅+⋅∂∂∂'''''''''''''''''''')))[]1()1()(jjkjjkkjkkkkkjjjkkjkkkvTvTvvTvTvvvvTxxxxpTTTpavxxxxvTaTxxxτρρν∂∂∂−⋅⋅∂∂∂''')jjkkkvvTxxxν(e)进一步整理可得：((∂∂∂∂∂+⋅=−+−−∂∂∂∂∂∂∂∂−⋅+⋅+∂∂∂'''''''''''''''''''))[][] jjjkkjjkjkkkkCADBEFjkjkkkGHvTvTvpTTvvvTavTxxxxvTpTvvvTxxδντρρ∂∂−+⋅⋅∂∂''() jjkkJIvTaxxxν(3.3.3)上式为雷诺热流方程。(j轮换指标，k迭加指标)各项物理意义：A：雷诺热流的当地变化率；B：时均流场引起的雷诺热流对流输运(对流转移)(湍流转移)；C：速度脉动引起的雷诺热流扩散转移(湍流扩散)；D：压力脉动引起的温度脉动(焓脉动)(热扩散)；E：湍流脉动引起的导热扩散脉动(脉动温度场下的导热)；F：粘性应力脉动引起的湍流热扩散；G：雷诺应力引起的湍流热产生或衰减；H：时均流场变形引起的雷诺热流产生或衰减；I：压力脉动引起的湍流热产生或衰减；J：脉动速度下粘性扩散与温度脉动下的热扩散所引起的湍流热衰减。三、分析说明1).通过推导雷诺应力与雷诺热流的输运方程，深入了解了湍流中的动量、热量输运机制，同时为后续的湍动能方程等推导提供了借鉴与方便。2).雷诺应力与雷诺热流方程中，出现了多个新的未知量，尤其是出现了脉动量的三阶相关项'''ijkvvv、'''jkvvT，上述脉动量三阶相关项的出现，使得无法直接利用这两个方程来解决时均守恒方程的封闭性问题。