对流换热-第1章-123

第一章对流换热微分方程组内容提要：§1-1场论初步§1-2流体特性量的变化率§1-3雷诺输运定理§1-4对流换热基本控制方程§1-5状态方程§1-6熵方程§1-7对流换热数学描述的适定性本章介绍描述对流换热问题的基本微分方程及其定解条件。首先，了解有关的数学描述方法和预备性定理。§1-1场论初步一．方向导数与梯度在空间区域D上，111(,,)xyz、222(,,)xyz是某条曲线S上相邻的两点，l是曲线S在111(,,)xyz点的切线，S∆是曲线段长度，对某一标量函数(,,)xyzϕ，则2221110(,,)(,,)limSxyzxyzlSϕϕϕ∆→∂−=∂∆（1.1.1）称为函数(,,)xyzϕ在111(,,)xyz点沿l的方向导数。lϕ∂∂代表了标量函数(,,)xyzϕ沿方向l的变化率，是标量。lϕ∂∂可由(,,)xyzϕ沿三个坐标轴的方向导数表示为：cos(,)cos(,)cos(,)lxlylzlxyzϕϕϕϕ∂∂∂∂=++∂∂∂∂（1.1.2）其中，cos(,)lx、cos(,)ly、cos(,)lz是l与三个坐标轴的夹角余弦。对空间区域中的任一点，标量函数(,,)xyzϕ的方向导数有无穷多个，其中沿等势面法线方向的方向导数值最大，称为该标量函数的梯度：gradnnϕϕ∂=∂（1.3）标量函数的梯度是矢量．．，其方向指向ϕ值增大的法线方向。(,,)xyzϕ沿某一方向l的方向导数是梯度在该方向上的投影：0lgradlϕϕ∂=⋅∂(1.1.3)0l是l方向的单位矢量。梯度的三个分量是该标量沿三个坐标轴的方向导数：gradijkxyzϕϕϕϕ∂∂∂=++∂∂∂(1.1.4)二、散度与旋度在空间区域D上，设A是包围某点(,,)Oxyz的封闭曲面，dA是任一微元面积，n是dA的法向矢量。对在D上定义的一个矢量函数(,,)axyz，其通过封闭曲面A的通量为：[cos(,)cos(,)cos(,)]xyzAAandAanxanyanzdA⋅=++∫∫∫∫(a)如aυ=，上式代表体积流量；aρυ=，上式代表质量流量；aq=，OD（x,y,z）VAndAaO(x,y,z)上式为热流量。若V是A所包围的容积，则：0limAVandAV→⋅∫∫表示矢量a通过点O处单位体积微元体界面的通量，称为矢量a的散度，记为diva：0limVandAdivaV→⋅=∫∫（1.1.5）矢量的散度是一个标量，它表示通过包围某点的单位体积微元体界面的通量。根据奥—高定理：()yxzAVaaaandAdVxyz∂∂∂⋅=++∂∂∂∫∫∫∫∫,有:yxzaaadivaxyz∂∂∂=++∂∂∂(1.1.6)对区域D上某点(,,)Oxyz，考虑围绕该点的封闭曲线S，设dr是曲线上任一点的切向量，对D上定义的矢量函数(,,)axyz，积分Sadr⋅∫称为a的环量。若A是以S为周界的曲面，法向为n，n与dr构成右手螺旋系。矢量a的旋度定义为：OSAndra0limsAadrrotanA→⋅=∫（1.1.7）旋度是矢量。空间区域中一矢量在某点的旋度，表示该矢量沿围绕这点的单位面积曲面的周界曲线的环量。在直角坐标系中，()()()xyzrotarotairotajrotak=++(1.1.8)rota的三个分量xrota、yrota、zrota分别为：yzxxzyyxzaarotayzaarotazxaarotaxy∂⎧∂=−⎪∂∂⎪∂∂⎪=−⎨∂∂⎪∂⎪∂=−⎪∂∂⎩或xyzijkrotaxyzaaa∂∂∂=∂∂∂(1.1.9)若aυ=，则2rotaw=，w为当地的转动角速度。三、微分算子1.哈密尔顿算子(Hamiltonoperator)∇(Nabla)ijkxyz∂∂∂∇=++∂∂∂(1.1.10)∇具有对标量与矢量进行微分运算的双重性。对标量函数(,,)xyzϕ：ijkgradxyzϕϕϕϕϕ∂∂∂∇=++=∂∂∂(1.1.11)对矢量函数(,,)axyz：yxzaaaadivaxyz∂∂∂∇⋅=++=∂∂∂(1.1.12)即∇与a的标量积等于该矢量a的散度。()()xyzaijkaiajakxyz∂∂∂∇×=++×++∂∂∂(1.1.13)xyzijkrotaxyzaaa∂∂∂==∂∂∂即∇与a的矢量积等于a的旋度。2.拉普拉斯算子(Laplaceoperator)2222222xyz∂∂∂∆=∇⋅∇=∇=++∂∂∂(1.1.14)3．混合运算2()()0()()0()divrotaarotgraddivgradϕϕϕϕϕ=∇⋅∇×==∇×∇==∇⋅∇=∇(1.1.15)四、笛卡尔张量在空间区域D上，标量只有1个分量，用一个数值量可表示；矢量有3个分量，要用3个数值量方可表示；还有一些物理量须用多个分量才能表示清楚，如流体中微元体界面上的应力需要9个分量表示。将标量与矢量的概念推广，就引入了“张量”。1.张量定义含有3N个分量的物理量称为张量，N为张量的阶。普遍定义上的张量与坐标系无关，且在坐标系旋转时，其分量按一定规律变化，而维持某些量不变。标量、矢量分别为0阶与1阶张量，粘性应力为2阶张量。这里仅介绍在直角坐标系中定义的张量，称为笛卡尔张量。2.张量表示法a).坐标方向坐标系的三个坐标轴,,xyz，分别记作：123,,xxx()ixb).矢量a用ia表示，i称为自由指标。（i=1，2，3）123iaaiajak=++123igradijkxxxxϕϕϕϕϕ∂∂∂∂==++∂∂∂∂c).取和约定（爱因斯坦约定）若在同一项中有两个自由指标相同，表示对带这个指标的量从指标1到3求和，如：112233123123iiiiiababababaaaaadivaxxxxx=++∂∂∂∂=++=∇⋅=∂∂∂∂∂∴∇=∂(1.1.16)222222222123()()ijijjjiiiijbababaxxaaaaaaxxxx∂∂⋅∇==∂∂∂∂∂∂∆=∇==++∂∂∂∂(1.1.17)d).ijδ(Kronecker符号，克罗内克)取值10ijijijδ=⎧=⎨≠⎩(1.1.18)e).置换符号ijkε0,i,j,k21,i,j,k123231312-1,i,j,k132213321ijkε⎧⎪=⎨⎪⎩个中以上相同偶排列，如，，奇排列，如，，(1.1.19)123123ijkjkijkababaaabbbε×==(1.1.20)111213212223123313233ijkijkaaaaaaaaaaaaε∆==行列式(1.1.21)123123kijkjijkarotaxxxxaaaε∂∂∂∂==∂∂∂∂(1.1.22)3).张量运算(a)加减两张量相加减：指对应的分量相加减，得到一个新的同阶张量，如：ijijijABC±=（1.1.23）(b)乘积（相乘）两张量相乘：定义为二者分量遍乘，即M阶张量与N阶张量相乘，得到一个新的M+N阶张量，如：iiABϕ=、ijijABC=、ijkijkABC=（1.1.24）张量P与Q的乘积，记为PQ。(c)张量收缩令n阶张量的分量中有两个下标相同，由取和约定，该张量变为一个n-2阶张量，这种运算称为张量收缩（收缩一次降两阶），如：二阶张量ijC收缩一次后，变为标量11223344iiCCCCC=+++(d)张量内积（点乘）张量内积是矢量内积的推广，是在张量乘积的基础上令2个指标相同，进行一次收缩而成。M阶张量P与n阶张量Q的内积就是在二者乘积PQ中，各取P和Q的一个下标，令其相等，使乘积张量PQ收缩一次后得到的m+n-2阶张量，记为⋅PQ。如：ijjiPAPABB⋅===(1.1.25)而ijkijkPAPAC==，一般，PAAP⋅≠⋅。4).几个二阶张量概念(a)二阶共轭张量若ijPP=是一个二阶张量，而cjiPP=也是一个二阶张量，那么cP称为P的共轭张量（共轭矩阵）。(b)二阶对称张量与反对称张量若ijjiPP=（cPP=）则张量P是一个二阶对称张量，以S表示，cSS=。二阶对称张量只有六个不同的分量。若ijjiPP=−(cPP=−)则张量P为二阶反对称张量，记为A。二阶反对称张量主对角线上的3个分量iiP均为零。(c)二阶张量分解定理一个二阶张量可以唯一地分解为一个对称张量和一个反对称张量之和，即：PSA=+(1.1.26)这里()12cSPP=+,()12cAPP=−(1.1.27)()12ijijjiSPP=+,()12ijijjiAPP=−(1.1.28)§1-2流体特性量的变化率在研究流体流动与对流换热时，经常要涉及到流体的某一特性量（如：质量、动量、内能、P、T等）的几种不同变化率。下面我们来分析各种变化率的物理意义和导数形式。设b为流体的某一特性量（如温度）,在观察该特性量的变化时，有三种不同的情况：••••♥♥♥♥(2)(3)(1)观察者固定在空间某一位置，即观察速度为零;(2)观察者随流体一起运动;(3)观察者以一定的绝对速度aiv(矢量)运动.由于特性量b是时间τ和空间坐标ix的函数，其全导数可写作:iidbbbdxdxdτττ∂∂=+∂∂(a)对情况(1)，观察位置固定，观察到的是固定点处的b变化。这时，0idxdτ=，有:dbbdττ∂=∂(1.2.1)所以，偏导数bτ∂∂，表示的是某一位置处流体特性量b的变化率。对情况(2)，由于观察者随流体一起运动，所以iidxvdτ=，这时观察到的是某一固定的流体质点的特性变化。其dbdτ，称为实体导数（substantialderivative）、物质导数或随动导数（materialderivative,derivativefollowingthemotion）。于是iidbbbvdxττ∂∂=+∂∂(1.2.2)所以，随动导数（全导数）ddbτ表示的是固定流体质点的某一特性量的变化率。对情况(3)，观察者以aiv运动，即aiidxvdτ=，那么aiidbbbvdxττ∂∂=+∂∂(1.2.3)它表示的是以aiv速度运动的观察点上的特性变化，是不同流体质点在不同位置处的变化。这种表示应用很少。我们关注的是（1）（2）两种情况。对于稳态过程，0bτ∂=∂，说明任意固定位置处的特性量不随时间变化，但某一确定的流体质点的特性都是变化的。即：0iidbbvdxτ∂=≠∂若b代表流速iv。则随动导数ddivτ代表流体质点的真实加速度ia：ddiiiijjvvvavxττ∂∂==+∂∂（1.2.4）或d()dvvavvττ∂==+⋅∇∂(1.2.5)式中，ivτ∂∂为当地加速度，ijjvvx∂∂为对流加速度。§1-3雷诺输运定理（TheReynoldsTransportTheorem）对流换热中的流体行为遵循基本守恒原理，在建立描述对流换热基本规律的微分方程时，通常采用欧拉法，即以微元控制体为研究对象，但守恒原理的一般形式是对于确定的质量系统或流体微团而言的。因此，有必要了解流体微团（系统）特性的总变化率与控制体同一特性变化率之间的关系，这个关系通常称为雷诺输运定理。如图，在流体中，取任意的一质量系统（微团），其在τ时刻占据的空间区域为()τΩ，在ττ+∆时刻占据的空间域()ττΩ+∆，()τΩ域的边界面积为ABSSS=+体积为()Vτ。设(,)ixφτ为某一物理特性的强度量，如：ρ、h，单位体积的动量等，其广延量(,)iBxτ等于强度量与体积的乘积，即广延量：()(,)(,)iiBxxdVττφτΩ=∫∫∫(a)经过τ∆时间，强度量与广延量分别变为(,)ixφττ+∆，(,)iBxττ+∆：()(,)(,)iiBxxdVττττφττΩ+∆+∆=+∆∫∫∫(b)若τ∆足够小，则()τΩ，()ττΩ+∆部分重合，令：12()VVτΩ=+23()VVττΩ+∆=+其中，1V，2V，3V为确定的相应空间区域的体积，不随时间τ变化。则系统广延量B的变化率为：0()(,)(,)(,)limiiiBxBxDBDxdvDDτττττφττττ∆→Ω+∆−==∆∫∫∫(d)其中，B的微元时间变化量可表示为：()()(,)(,)(,)(,)iiiiBxBxxdVxdVττττ