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§2-2层流边界层对流换热相似解法及换热分析一、仿射相似以常物性、不可压牛顿流体绕流一般曲壁面的二维层流边界层为例，来说明仿射相似。设来流速度为u∞，边界层内速度为(,)uxy，主流速度为U(x)，x是沿曲面的坐标。一般来说，不同x处截面上的无量纲速度分布(,)()()uxyfyUx=随y的变化规律不同，如图(a)所示。(,)uxyxu∞1x2x()xδyU(x)(a)(b)若存在一个函数()hx，当以()yhxη=为横坐标时，(,)()uxyUx的分布对所有的x截面都相同，即与x无关，如图（b）。那么，这个边界层内的速度分布存在仿射相似性（相似性）。()hxyη=称为相似变量，()hx是不同截面速度分布的伸缩因子。y1x2x3x(,)()uxyUx1.0(,)()uxyUx1x2x3x1.0()yhx显然，若一个边界层内的速度分布存在相似性，那么其无量纲速度分布仅取决于相似变量η。这样，以x、y为自变量的描述边界层内速度分布的偏微分方程，应可变换为一个关于η的常微分方程，使求解变得容易起来。这即是相似解法的基本思想。譬如，对绕流平壁的层流边界层，无量纲速度分布(,)ufxyu∞=。对不同x处截面，当y从0变化到()xδ时，u相应地从0变化到u∞；各截面上，对应y处的uu∞不同，但对应位置()yxδ处的uu∞相同。y()xδu∞u∞(,)ufxyu∞=x1x2x这些()yxδ相同的点为相似点。这里1()xδ即是速度分布的伸缩因子。Blasius正是基于这种分析得出了著名的Blasius相似解。二、相似解的存在性上面已介绍了仿射相似概念与相似解的基本思想。那么，边界层流动是否一定存在相似解呢？若存在相似解，如何确定相似变量η呢？已有研究表明：（对一般性曲面的绕流边界层分析、推导证明）1).边界层流动并非一定存在相似解存在相似解的条件：主流区的速度分布呈幂函数规律或指数函数规律变化。1()mUxcxu∞=或2()nxUxceu∞=(2.2.1)实际上，主流区的速度分布()Ux的变化规律取决于所绕过壁面的几何形状。到目前为止，工程上还未找到符合指数规律变化的物面形状。所以一些教科书中讲，边界层流动存在相似解的条件是主流速度呈幂函数规律变化。主流速度()Ux呈幂函数规律变化的物面形状主要有以下几种：平壁绕流0m=,0β=驻点流动1m=，1β=πxy()Uxu∞=xy楔形流动，0m∞，02ββπ是物面的前端夹角，β与m间存在确定关系：21mmβ=+或2mββ=−(2.2.2)2).相似变量η的确定一般情况下，1()2mUxyxην+=(2.2.3)yβπx但对同一边界层流动，相似变量并不唯一。如对平壁绕流边界层：12uyxην∞=，或uyvxη∞=均可。三、绕流平壁二维层流边界层稳态对流换热相似解与分析考虑常物性、不可压缩牛顿流体，纵向绕流等温平壁的二维稳态层流边界层对流换热，其流动不受换热影响，并假设u∞、T∞、wT均为常数。yxwTu∞、T∞1).动量方程相似解（Blasius相似解）1908年由H.Blasius首先完成。由数量级分析，()xδ～xuν∞，则()yxδ可作为相似变量，令uyxην∞=(2.2.4)为使连续性方程自动满足，引入流函数ψ，定义uyψ∂=∂，xψυ∂=−∂(2.2.5)则dyudyyψψ∂==∂∫∫，因uu∞仅是η的函数，令()upuη∞=，则：()()()dyxupdyupdupdduνψηηηηηη∞∞∞∞===∫∫∫，令()()fpdηηη=∫，则：()()ufpuηη′∞==、()uxfψνη∞=(2.2.6)()fη称为无量纲流函数。而一阶导数()fη′为无量纲速度。由ψ与u、υ关系可以得出：[]222()1()()21()2()()uufyuffxxuufxxuuufyxuufxyψηνψυηηηηηηνην∞∞∞∞∞∞∂⎧==′⎪∂⎪⎪∂=−=′−⎪∂⎪⎪∂⎪=−″⎨∂⎪⎪∂=″⎪∂⎪⎪∂=″′⎪∂⎪⎩(2.2.7)将上述速度分量u、υ及其导数以η为自变量的表达式代入边界层动量方程：22uuuuxyyυν∂∂∂+=∂∂∂得到以η为自变量的三阶非线性齐次常微分方程，即Blasius方程。1()()()02fffηηη″′+″=(2.2.8)相应地，边界条件转变为：(2.2.9)Blasius方程中各项的物理含义：0,()0,()0,()1fffηηηηη=′==⎧⎪⎨=∞′=⎪⎩0u=0υ=1uu∞=(a).()fη″′相当于u的二阶导数项，而22uy∂∂与粘性应力相联系，所以()fη″′代表了粘性力；(b).()()ffηη″相当于惯性力uux∂∂、uyυ∂∂；[()fη″相当于u的一阶导数项，而()fη是变换后的项，相当于u或υ]。1908年Blasius首先采用级数展开和匹配法给出了方程的级数解。后来，罗森哈德与伊文斯用龙格—库塔法给出了更精确的数值解。也可用分离变量法求解。令()zfη=″，方程转化为：d1()0d2zfzηη+=⇒1()d021cfzfeηηηη−∫=″()=利用边界条件：0η=，fη′()=0，进一步积分得：001()d201()d20d()dffeufueηηηηηηηηηη−−∞∞∫′==∫∫∫(2.2.10)001()d2001()d20[d]d()dffefeηηηηηηηηηηηη−−∞∫=∫∫∫∫(2.2.11)然后再用逐次逼近迭代法求解。Blasius方程的数值结果为：速度边界层分布：5.0η=时，0.9915ufuη∞′()==因此可认为：5.0η=时，对应的y值为边界层厚度δ，即：()5.0/uxxδν∞=或()5.0Rexxxδ=(2.2.12)通常按0.99uu∞=来定义δ值，相应的4.92η=，这时有：()4.92Rexxxδ=(2.2.13)由图中的结果还可看出：由壁面向边界层外缘，法向速度υ逐渐增大，当6.0η以后，不再变化，此时（主流中）：0.8604Re0.8604xuuxνυ∞∞∞==(2.2.14)z若按5Re10=计算，0.3%vu∞∞z上述结果表明：对平板层流绕流，尽管边界层对势流纵向速度u∞的影响可忽略，但随着δ增加，对主流产生排挤作用，从而在边界层外缘引起附加的法向速度υ∞。由u、υ的结果，可进一步计算流动阻力和对流换热。壁面处粘性切应力：0wyuyτµ=∂=∂范宁摩擦系数：12220.66412Rewfxcuτρ−∞==(2.2.15)2.能量方程相似解对能量方程：22TTTuaxyyυ∂∂∂+=∂∂∂可用类似的方法求解。定义无量纲温度：wwTTTT∞−Θ=−，方程与边界条件变为：22uaxyyυ∂Θ∂Θ∂Θ+=∂∂∂0,0,1yy=Θ=⎧⎨=∞Θ=⎩采用与动量方程求解相同的相似变量：uyxην∞=，有'()2xxηη∂Θ=−Θ∂，'()uyxην∞∂Θ=Θ∂，22''()uxyην∞∂Θ=Θ∂代入能量方程得：''()Pr()'()0fηηηΘ+⋅⋅Θ=(2.2.16)边界条件为：0,0,1ηη=Θ=⎧⎨=∞Θ=⎩在流场已知条件下，()fη已知，上式是一个二阶线性齐次常微分方程——称为波尔豪森方程（Pollhausen.E），可直接积分求解。解为：00Pr2()0Pr2()0fdfdededηηηηηηηηη−∞−∫⋅Θ=∫⋅∫∫(2.2.17)将无量纲流函数()fη随η变化的数值结果代入，可求出Θ随η变化的数值结果。如图：当1.0Θ=时，对应的y值即为边界层tδ值；前面已知：4.92η=时，对应的y值为δ；从图中结果可得出：Pr1=时，tδδ=，Θ与uu∞分布相同；Pr1时，tδδ。在Pr=0.6～10范围内，（常见流体）近似有：13Prtδδ−=数值结果：1213130000.564Pr,Pr0.050.332Pr,0.6Pr100.339Pr,Pr10ddddddηηηηηη===⎧Θ=⎪⎪⎪Θ⎪=≤⎨⎪⎪Θ⎪=⎪⎩(2.2.18)由00xwyTduhTTydxηλλην∞∞==∂Θ=−⋅=⋅−∂，得出：120RexxxxdNudηαλη=Θ==⋅将无量纲温度梯度代入上式，得到绕流等温平壁的层流边界层对流换热的准则方程：1/21/21/21/31/21/30.564RePrPr0.050.332RePr06Pr100.339RePrPr10xxxxxxNuNuNu⎧=⎪⎪=≤⎨⎪⎪=⎩，，.，(2.2.19)z液态金属：由于熔点与蒸汽压力低，而比热容和导热系数高，作为高传热速率的冷却剂，如：快中子反应堆中用液态钠（Na）作冷却剂。¾说明：1.除上面的wT＝常数的情况外，对wTTcxγ∞−=变化的平壁绕流层流边界层对流换热，当c、γ、T∞为常数时也可得到相似解；同样，对楔形物，驻点流也有相似解。可参见有关教材与著作。2.另外，对工程上许多流动不相似的边界层对流换热，还发展了局部相似解法、与局部不相似解法，可见王启杰教材。U(x)