两角和与差的正弦、余弦、正切公式

3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式新课导入想一想：cos15?30sin45sin30cos45cos42621222322那呢？cos75cos15cos(4530)cos75cos(3045)?分析：注意到，结合两角差的余弦公式及诱导公式，将上式中以代得（）cos()cos[()]coscos()sinsin()coscossinsin上述公式就是两角和的余弦公式，记作。()ccoscossinsincos()cos()?思考：由如何求:探索新知一1、cos(α+β)=cosαcosβ－sinαsinβ探索新知二sin()?思考：如何求sincos[()]2coscossinsin22sincoscossincos[()]2sin)sincoscossin(2、()S上述公式就是两角和的正弦公式，记作。探索新知二sin()?－那()S上述公式就是两角差的正弦公式，记作。sin)sincoscossin(3、sincoscossinsin[()]sincos()sin()cos有将上式中以代得sin由sincoscossin探索新知三用任意角的正切表示的公式的推导:,tan()tan()及sincos+cossincoscos-sinsinsin(+)cos(+)coscos0当时，coscos分子分母同时除以tan()tan+tantan(+)=1-tantan()记：+T4、sintan,cos由将上式两角和的正切公式以代得tantan()tan[()]1tantan()tan-tan=1+tantan探索新知三()记-Ttan-tantan(-)=1+tantan5、注意：1、必须在定义域范围内使用上述公式。2、注意公式的结构，尤其是符号。即：tan，tan，tan(±)只要有一个不存在就不能使用这个公式。tan()?－那(1)、两角和、差角的余弦公式cos)coscossinsin(cos)coscossinsin(CC(2)、两角和、差角的正弦公式sin)sincoscossin(sin)sincoscossin(SS(3)、两角和、差的正切公式tantantan)1tantan(tantantan)1tantan(TT例1.利用和（差）角公式，求下列各式的值：cos75tan15（3）⑵⑴62423例题讲解o105sin426例题讲解.)4tan(),4cos(),4sin(,,53sin2的值求是第四象限角已知例由以上解答可以看到，在本题的条件下有。那么对于任意角，此等式成立吗？若成立，你会用几种方法证明？)4cos()4sin(练习：1,已知cos=,∈(,),532求sin(+)的值。32,已知sin＝,是第三象限角，1312求cos(+)的值。63,已知tan＝3,求tan(+)的值。α4α10334263512-2公式逆用：sinαcosβ+cosαsinβ=sin(α+β)cosαcosβ-sinαsinβ=cos(α+β)sinαcosβ-cosαsinβ=sin(α-β)cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)=tan(α+β)tanα+tanβ1-tanαtanβ=tan(α-β)tanα-tanβ1+tanαtanβ例3、利用和(差)角公式计算下列各式的值：①sin72cos42-cos72sin42°°°°②cos20cos70-sin20sin70°°°°°③1+tan151-tan15°②cos20cos70-sin20sin110°°°°①cos72sin42-sin72cos42°°°°变式：公式的变形tantan)tan(tantan)tan(tantan)tan(tantan)tan(13000028tan17tan28tan17tan)1(000025tan85tan325tan85tan)2(练一练：例4、△ABC中，求证：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.证明：,tantan1tantanBABA∴tanA+tanB=∵tanA、tanB、tanC都有意义，∴△ABC中没有直角，∵tan(A+B)==tan(180°–C)–tanAtanBtan(180°–C)=–tanC+tanAtanBtanC，∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.tan(A+B)–tanAtanBtan(A+B)∴tanAtanB≠1.引例31sincos22(1)把下列各式化为一个角的三角函数形式cos22sin22（2）?cossin)4(cossin3)3(sincosxbxa化为一个角的三角函数形式sincosxbxa222222sincosbabxxababa令2222cossinabbaba22sincoscossinxabx22sinabx22cosabxxcosbxsina)xsin(ba22.sinbab,cosbaa2222其中:统一函数名简称：“化一公式”引例31sincos22(1)把下列各式化为一个角的三角函数形式cos22sin22（2）cossin)4(cossin3)3(化简:①②2(sincos)xx222(sincos)22xx2sin()4x2cos4x2cos6sinxx22cos3x)sin23cos21(22xx22sin6x=小结3.公式应用：1.公式推导2.余弦：符号不同积同名C(α-β)S(α+β)诱导公式换元C(α＋β)S(α-β)诱导公式(转化贯穿始终,换元灵活运用)正切：符号上同下不同正弦：积不同名符号同T(α+β)弦切关系T(α-β)弦切关系