因式分解掌握方法与技巧

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..因式分解一、因式分解的技巧:1.首选提取公因式法:即首先观察多项式中各项有没有公因式,若有,则先提取公因式,再考虑其他方法。2.当多项式各项无公因式或已提取公因式时,应考察各多项式的项数。(1)当项数为两项或可看作两项时,考虑利用平方差公式[a2-b2=(a+b)(a-b)]。(2)当项数为三项时,可考虑完全平方公式、十字相乘法、求根公式法、配方法。(3)当项数为四项或四项以上时,可考虑分组分解法。a.当项数为四项时,可按公因式分组,也可按公式分组。b.当项数为四项以上时,可按次数分组,即可将次数相同的项各分为一组。3.以上两种思路无法进行因式分解时,这时考虑展开后分解或拆(添)项后再分解。二.因式分解的方法:(一)提公因式法方法介绍:如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式。例1.分析:此多项式各项都有公因式x,因此可提取公因式x。(二)应用公式法方法介绍:应用乘法公式,将其逆用,从而将多项式分解因式,如果是两项的考虑平方差公式,如果是三项的考虑用完全平方公式。例2.分析:此多项式看作两项,正好符合平方差公式,因此可利用平方差公式分解。..解:例3.分析:此多项式有三项,正好符合完全平方公式,因此考虑用完全平方公式分解。解:(三)分组分解法方法介绍:分组分解法是因式分解中的重要方法和技巧之一,分组的目的是为提取公因式,应用乘法公式或其它方法创造条件,以便顺利地达到分解因式的目的。下面介绍八种常见的思路:1.按公因式分组:例4.分析:此题有四项,考虑将它们分组,其中第1、2项有公因式m,第3、4项有公因式p,可将它们分别分为一组。解:2.按系数特点分组:例5.分析:观察系数特点第一、二项和第三、四项的系数比为1:2,所以可考虑将第一、二项和第三、四项分为一组,或第一、三项和第二、四项分为一组。解:3.按字母次数特点分组:例6.分析:此题有一次项,也有二次项,可将一次项分为一组,二次项分为一组。解:4.按公式特点分组:..例7.分析:此题可将第2、3、4项分为一组,运用完全平方公式,再从整体上运用平方差公式。解:5.拆项分组:例8.分析:为了便于运用乘法公式,可将-3拆成-4+1,再适当分组,达到因式分解的目的。解:7.换元分组:例9.分析:观察代数式中的x+y,xy可考虑用换元法,使之结构简化,再分组。解:,则..(四)待定系数法方法介绍:首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解。例10.分析:观察这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式。解:利用恒等式的性质可得:(五)十字相乘法:方法介绍:对于mx2+px+q形式的多项式,如果ab=m,cd=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为:(ax+d)(bx+c)。例11...分析:这是一个三项式,它不符合完全平方公式,因此可考虑用十字相乘法分解因式:解:(六)巧用换元法:方法介绍:对于较复杂的一些多项式,通过适当的换元,可达到减元降次,化繁为简的目的。1.取相同部分换元例12.分析:若将上式展开,得到一个四次多项式,更加难分解了,如将m2-5m看作一个整体,这样乘积得到的式子就简化了。解:三、分解因式:1、234352xxx2、2633xx3、22)2(4)2(25xyyx4、22414yxyx5、xx56、13x7、2axabaxbxbx28、811824xx9、24369yx10、24)4)(3)(2)(1(xxxx(1)(x+p)2-(x+q)2;(2)16(a-b)2-9(a+b)2;1.211122xx2.6752xx3.2152xx4.42562xx5.4254xx6.42552xx7.3072xx8.253092xx9.61972xx10.209202xx11.939362xx12.435924xx13.437924xx14.2222021417yyxx15.123222yyxxyxy16.cabcbabca322320920..17.121233xxxx18.baaba242319.22221baba20yzyzyx2221.234bayxyx22.123aabba23.xxxx21213324.36492222yxyx25.22822baba26.2222zyzyx27.42242bbaa28.221yxxy29.acbcabcba22222230.14442baba31.2222zyzyx32.122baaba33.222cbacbcab34.baaxb22235.12222yxxyx36.12222yxyxyxy37.abxybayx244222238.49142xx39.1692xx40.1216692xx41.xx12136242.2216249baba43.2941542251yxyx44.42216249yxyx45.42242bbaa46.2521022baba47.2294249xxbaba48.aaa51052349.812x50.49162x51.22254ba52.2241yx53.2182x54.xx416355.2224baa56.23216yx57.223412xx58.25242yx

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