2014届高考数学一轮复习教学案二次函数与幂函数(含解析)

第六节二次函数与幂函数[知识能否忆起]一、常用幂函数的图象与性质函数特征性质y＝xy＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1图象定义域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(－∞，0]减(0，＋∞)增增增(－∞，0)和(0，＋∞)减公共点(1,1)二、二次函数1．二次函数的定义形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数．2．二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．3．二次函数的图象和性质a0a0图象图象特点①对称轴：x＝－b2a；②顶点：－b2a，4ac－b24a性质定义域x∈R值域y∈4ac－b24a，＋∞y∈－∞，4ac－b24a奇偶性b＝0时为偶函数，b≠0时既非奇函数也非偶函数单调性x∈－∞，－b2a时递减，x∈－b2a，＋∞时递增x∈－∞，－b2a时递增，x∈－b2a，＋∞时递减[小题能否全取]1．若f(x)既是幂函数又是二次函数，则f(x)可以是()A．f(x)＝x2－1B．f(x)＝5x2C．f(x)＝－x2D．f(x)＝x2解析：选D形如f(x)＝xα的函数是幂函数，其中α是常数．2．(教材习题改编)设α∈－1，1，12，3，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为()A．1,3B．－1,1C．－1,3D．－1,1,3解析：选A在函数y＝x－1，y＝x，y＝x12，y＝x3中，只有函数y＝x和y＝x3的定义域是R，且是奇函数，故α＝1,3.3．(教材习题改编)已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是()A.0，120B.－∞，－120C.120，＋∞D.－120，0解析：选C由题意知a0，Δ0，即a0，1－20a0得a120.4．(教材习题改编)已知点M33，3在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的表达式为________．解析：设幂函数的解析式为y＝xα，则3＝33α，得α＝－2.故y＝x－2.答案：y＝x－25．如果函数f(x)＝x2＋(a＋2)x＋b(x∈[a，b])的图象关于直线x＝1对称，则函数f(x)的最小值为________．解析：由题意知－a＋22＝1，a＋b＝2，得a＝－4，b＝6.则f(x)＝x2－2x＋6＝(x－1)2＋5≥5.答案：51.幂函数图象的特点(1)幂函数的图象一定会经过第一象限，一定不会经过第四象限，是否经过第二、三象限，要看函数的奇偶性；(2)幂函数的图象最多只能经过两个象限内；(3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．2．与二次函数有关的不等式恒成立问题(1)ax2＋bx＋c0，a≠0恒成立的充要条件是a0，b2－4ac0.(2)ax2＋bx＋c0，a≠0恒成立的充要条件是a0，b2－4ac0.[注意]当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况．幂函数的图象与性质典题导入[例1]已知幂函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3在(0，＋∞)上是增函数，则m＝________.[自主解答]∵函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3是幂函数，∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.当m＝2时，－5m－3＝－13，函数y＝x－13在(0，＋∞)上是减函数；当m＝－1时，－5m－3＝2，函数y＝x2在(0，＋∞)上是增函数．∴m＝－1.[答案]－1由题悟法1．幂函数y＝xα的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α的正负：α0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α1时，曲线下凸；0α1时，曲线上凸；α0时，曲线下凸．2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数．借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．以题试法1．(1)如图给出4个幂函数大致的图象，则图象与函数对应正确的是()A．①y＝x13，②y＝x2，③y＝x12，④y＝x－1B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x12，④y＝x－1C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x12，④y＝x－1D．①y＝x13，②y＝x12，③y＝x2，④y＝x－1解析：选B由图①知，该图象对应的函数为奇函数且定义域为R，当x0时，图象是向下凸的，结合选项知选B.(2)(2013·淄博模拟)若a0，则下列不等式成立的是()A．2a12a(0.2)aB．(0.2)a12a2aC.12a(0.2)a2aD．2a(0.2)a12a解析：选B若a0，则幂函数y＝xa在(0，＋∞)上是减函数，所以(0.2)a12a0.所以(0.2)a12a2a.求二次函数的解析式典题导入[例2]已知二次函数f(x)有两个零点0和－2，且它有最小值－1.(1)求f(x)解析式；(2)若g(x)与f(x)图象关于原点对称，求g(x)解析式．[自主解答](1)由于f(x)有两个零点0和－2，所以可设f(x)＝ax(x＋2)(a≠0)，这时f(x)＝ax(x＋2)＝a(x＋1)2－a，由于f(x)有最小值－1，所以必有a0，－a＝－1，解得a＝1.因此f(x)的解析式是f(x)＝x(x＋2)＝x2＋2x.(2)设点P(x，y)是函数g(x)图象上任一点，它关于原点对称的点P′(－x，－y)必在f(x)图象上，所以－y＝(－x)2＋2(－x)，即－y＝x2－2x，y＝－x2＋2x，故g(x)＝－x2＋2x.由题悟法求二次函数的解析式常用待定系数法．合理选择解析式的形式，并根据已知条件正确地列出含有待定系数的等式，把问题转化为方程(组)求解是解决此类问题的基本方法．以题试法2．设f(x)是定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y＝x，当x2时，y＝f(x)的图象是顶点为P(3,4)，且过点A(2,2)的抛物线的一部分．(1)求函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式；(2)在下面的直角坐标系中直接画出函数f(x)的草图；(3)写出函数f(x)的值域．解：(1)设顶点为P(3,4)且过点A(2,2)的抛物线的方程为y＝a(x－3)2＋4，将(2,2)代入可得a＝－2，则y＝－2(x－3)2＋4，即x2时，f(x)＝－2x2＋12x－14.当x－2时，即－x2.又f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)＝－2×(－x)2－12x－14，即f(x)＝－2x2－12x－14.所以函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式为f(x)＝－2x2－12x－14.(2)函数f(x)的图象如图，(3)由图象可知，函数f(x)的值域为(－∞，4]．二次函数的图象与性质典题导入[例3]已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数．[自主解答](1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]．所以f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，故f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.故a的取值范围为(－∞，－6]∪[4，＋∞)．本例条件不变，求当a＝1时，f(|x|)的单调区间．解：当a＝1时，f(x)＝x2＋2x＋3，则f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此时定义域为x∈[－6,6]，且f(x)＝x2＋2x＋3，x∈0，6]，x2－2x＋3，x∈[－6，0]，故f(|x|)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．由题悟法解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论．(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上二次函数最值问题的求法．以题试法3．(2012·泰安调研)已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]时有最大值2，则a的值为________．解析：f(x)＝－(x－a)2＋a2－a＋1，当a1时，ymax＝a；当0≤a≤1时，ymax＝a2－a＋1；当a＜0时，ymax＝1－a.根据已知条件a＞1，a＝2或0≤a≤1，a2－a＋1＝2或a＜0，1－a＝2，解得a＝2或a＝－1.答案：2或－1二次函数的综合问题典题导入[例4](2012·衡水月考)已知函数f(x)＝x2，g(x)＝x－1.(1)若存在x∈R使f(x)b·g(x)，求实数b的取值范围；(2)设F(x)＝f(x)－mg(x)＋1－m－m2，且|F(x)|在[0,1]上单调递增，求实数m的取值范围．[自主解答](1)∃x∈R，f(x)bg(x)⇒∃x∈R，x2－bx＋b0⇒(－b)2－4b0⇒b0或b4.故b的取值范围为(－∞，0)∪(4，＋∞)．(2)F(x)＝x2－mx＋1－m2，Δ＝m2－4(1－m2)＝5m2－4.①当Δ≤0，即－255≤m≤255时，则必需m2≤0，－255≤m≤255⇒－255≤m≤0.②当Δ0，即m－255或m255时，设方程F(x)＝0的根为x1，x2(x1x2)．若m2≥1，则x1≤0，即m2≥1，F0＝1－m2≤0⇒m≥2；若m2≤0，则x2≤0，即m2≤0，F0＝1－m2≥0⇒－1≤m≤－255.综上所述，m的取值范围为[－1,0]∪[2，＋∞)．由题悟法二次函数与二次方程、二次不等式统称“三个二次”，它们之间有着密切的联系，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，有关“三个二次”的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．以题试法4．若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．解：(1)由f(0)＝1，得c＝1.即f(x)＝ax2＋bx＋1.又f(x＋1)－f(x)＝2x，则a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，即2ax＋a＋b＝2x，所以2a＝2，a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1.因此，f(x)＝x2－x＋1.(2)f(x)2x＋m等价于x2－x＋12x＋m，即x2－3x＋1－m0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可．∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减，∴g(x)min＝g(1)＝－m－1，由－m－10得，m－1.因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．1．已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如下表：x112f(x)122则不等式f(|x|)≤2的解集是()A．{x|0x≤2}B．{x|0≤x≤4}C．{x|－2≤x≤2}D．{x|－4≤x≤4}解析：选D由f12＝22⇒α＝12，即f(x)＝x12，故f(|x|)≤2⇒|x|12≤2⇒|x|≤4，故其解集为{x|－4≤x≤4}．2．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果abc且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是()解析：选D∵abc，且a＋b＋c＝0，∴a0，c0