集合-高考数学复习专题

高考培优增分课题研究高考复习专题篇高考数学复习专题集合与命题2018-6知识建构考点问题Ⅰ.集合基本概念Ⅱ.集合元素的特征形式Ⅲ.集合间关系Ⅳ.集合间运算Ⅴ.集合中的新定义问题P1概要P21．集合的有关概念(1)集合元素的特性：、、无序性．(2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作；若b不属于集合A，记作.(3)集合的表示方法：、、图示法．知识建构一集合的基本概念2．常用数集及记法数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法_____或N＋___________确定性互异性a∈Ab∉A列举法描述法NN*ZQRP3问题探究一集合元素的特征或形式[例1]指出下列集合的元素表示什么，并化简集合.(1)集合A＝{x|y=12x，x∈R}=(2)集合A＝{y|y=x2+2x-1，x∈R}=(3)已知集合A＝{(x，y)|y=x2+2x}，B＝{(x，y)|2x+y=0}则A∩B=认识集合：掌握集合元素的表示形式与特征属性知识与问题--[解析](1)(-,-1]∪[1,+)(2)[-2,+)(3){(0,0),(-4,8)}P4问题探究一集合元素的特征或形式认识集合：掌握集合元素的表示形式与特征属性知识与问题--[例2]选择或填空.(1)已知集合A={0，1，2}，B={-1,1,2,3}，C＝{x|x∈A,且x∈B};则集合C的子集个数为()A.2B.3C.4D.8(2)已知集合A={0，1，2}，C＝{x|xA}；则集合C的元素个数为：[解析](1)∵C＝{1,2}，∴C的子集个数为22=4．故选C(2)因为C中元素为集合A的所有子集，所以C的元素个数为23=8P5问题探究一集合元素的特征或形式[例3]已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A,y∈A}中元素的个数是()A．1B．3C．5D．9[解析]∵A＝{0,1,2}，∴B＝{x－y|x∈A，y∈A}＝{0，－1，－2,1,2}．故集合B中有5个元素．[答案]C认识集合：掌握集合元素的表示形式与特征属性P6问题探究一集合元素的特征或形式认识集合：掌握集合元素的表示形式与特征属性[例题]（2018-全国卷-理Ⅱ）2．已知集合22{(,)|3,,AxyxyxyZZ}，则A中元素的个数为()A．9B．8C．5D．4[解析]集合A为点集，其中元素为坐标平面上圆322yx的圆上及其内部的整点，分别为下列各点：(-1，-1)，(-1，0)，(-1，1)，(0，-1)，(0，0)，(0，1)，(1，-1)，(1，0)，(1，1)，则A中元素的个数为9，故选A．P7问题探究二集合中的含参数问题[例1]若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝()A.92B.98C．0D．0或98[解析]当a＝0时，显然成立；当a≠0时，Δ＝(－3)2－8a＝0，即a＝98.故a＝0或98.[答案]D分类讨论思想应用：字母参数分类原则：不重不漏P8[例2](2017·杭州)设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝0，ba，b，则b－a＝()A．1B．－1C．2D．－2解析：因为{1，a＋b，a}＝0，ba，b，a≠0，所以a＋b＝0，则ba＝－1，所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2.答案：C集合元素的特征：确定性与互异性特征应用P9[例3]已知A={a＋2，(a＋1)2，a2+3a＋3}，且1∈A；求实数a的值.解析：由题意可知：若12a,则1a，}1,0,1{A,所以：1a不合，舍去若1)1(2a,则2,0或a，当0a时}3,2,1{A；当2a时,133)1(22aaa,不合；若1332aa,则2,1或a（都不合）；综上：0a集合元素的特征：确定性与互异性特征应用P10含参数问题应用方法:求解含参数集合问题，注意：(1)分类讨论思想的运用：根据题意按照确定的标准对字母参数进行分层或分类讨论，利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值．(2)元素互异性特征的运用：对求出的参数值，根据集合中元素的互异性进行反代检验．[归纳总结-能力提升]P11知识建构二集合间的关系P12知识建构二子集数公式、子集的特征性质P13问题探究三集合间的关系1集合中的关系：元素与集合的关系[例1]设集合A＝{2,3,4}，B＝{2,4,6}，若x∈A，且x∉B，则x＝()A．2B．3C．4D．6[解析](1)因为x∈A，且x∉B，故x＝3.P14当2m2＋m＝3时，解得m＝－32或m＝1(舍去)，当m＝－32时，m＋2＝12≠3符合题意．所以m＝－32.[解析](2)因为3∈A，所以m＋2＝3或2m2＋m＝3.当m＋2＝3，即m＝1时，2m2＋m＝3，此时集合A={3,3}，所以m＝1不符合题意，舍去；[例2]已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为______．集合中的关系：元素与集合的关系P15集合中的关系：元素与集合的关系[例3]设集合}1)(|{2axxA，且AA3,2，则实数a的取值范围为：[解析](1)因为2∈A，且3∉A，故(2-a)21且(3-a)2≥1，解得：1a≤2，所以的取值范围为：(1，2]P16巩固训练知识应用-能力提升1.设集合P＝{x|x2－2x≤0}，m＝30.5，则下列关系正确的是()A．mPB．m∈PC．m∉PD．m⊆P解析：由已知得：P＝{x|0≤x≤2}，而m＝30.5＝32，∴m∉P，故选C.答案：CP172．已知集合A＝{1,2,4}，则集合B＝{(x，y)|x∈A，y∈A}中元素的个数为()A．3B．6C．8D．9解析：集合B中的元素有:(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共9个．答案：DP183．已知P＝{x|2xk，x∈N}，若集合P中恰有3个元素，则k的取值范围为________．解析：因为P中恰有3个元素，所以P＝{3,4,5}，故k的取值范围为5k≤6.答案：(5,6]P194．若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝________.解析：当a＝0时，方程无解；当a≠0时，则Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4.故符合题意的a的值为4.答案：4P20[例1]已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A．1B．2C．3D．4[解析]由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，所以A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，所以满足条件的集合C为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2，3,4}，共4个．[答案]D集合中的关系：集合与集合的关系-子集问题探究三集合间的关系2P21[例2]已知集合A＝{x|y＝21x，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则()A．ABB．BAC．A⊆BD．B＝A[解析]由题意知A＝{x|y＝1－x2，x∈R}，所以A＝{x|－1≤x≤1}，所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}，所以BA.故选B.[答案]B集合间关系判定：集合的子集关系P22集合间关系判定：集合的子集关系[例3]已知集合A＝{x|x=2k，k∈Z}，B＝{x|x=2k+1，k∈Z}，C＝{x|x=4k+1，k∈Z}，又y=a+b，a∈A，b∈B，则()A．y∈AB．y∈BC．y∈CD．y不属于A、B、C任一集合[解析]由题意知A中的元素为偶数，B中的元素为奇数，从而y∈B[答案]BP23集合间关系判定：集合的子集关系ABBAABABA．B．C．D．[例4]设集合A＝{x|x=2n，n∈Z}，B＝{x|x=n+21，n∈Z}，则下列图形能表示A与B关系的是（）[解析]由题意知A中的元素为整数/2，B中的元素为奇数/2，从而B⊆A,所以选A[答案]AP24归纳：集合间关系的判定方法集合间关系判定的常用方法(1)列举法：集合中元素可用列举法表示，根据元素关系进而确定集合之间的关系．(2)特征法：根据元素具备的特征属性，结合运算、不等关系、函数性质或图形知识等对集合中的元素结构或本质进行分析判断，确定集合间关系.(3)数形结合法：运用数轴或坐标平面对集合进行直观表示，由图形的关系进而确定集合与集合之间的关系．特别地：在用数轴或坐标平面法判断集合间的关系时，要注意射线或线段的端点及平面的边界是否取到，特殊点可用代入验证的方法确定．P25[例1]已知集合A＝{x|x2－x－6=0}，B＝{x|ax－1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为________．[解析]∵B⊆A，∴①若B＝∅，则a=0.②若B≠∅，则B={a1}，而A={-2,3}，由B⊆A，可得a1=-2，或3;所以：a=21或a=31．综上：a的取值集合为：{0，21，31}[答案]{0，21，31}问题探究三集合间关系与含参数问题3P26[例2]已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．[解析]∵B⊆A，∴①若B＝∅，则2m－1m＋1，此时m2.②若B≠∅，则2m－1≥m＋1，m＋1≥－2，2m－1≤5.解得2≤m≤3.由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为(－∞，3]．[答案](－∞，3]问题探究三集合间关系与含参数问题3P27[例3]设集22{430},{10}AxxxBxxaxa,2{10},Cxxmx且ABA,CCA，分别求,am的取值集合.问题探究三集合间关系与含参数问题3P28[解析]}3,1{A，由ABA得AB，方程012aaxx的判别式0)2(21a，且1,121axx或；所以：31a，即4a，此时}3,1{B;或11a，即2a,此时}1{B；由CCA，得AC，而方程012mxx的判别式为：422m当0422m时，AC，所以22m；当0422m时，若C1，得2m，则AC}1{，若C3得310m，则}31,3{C，此时关系AC不成立，综上：22m；所以：,am的取值集合分别为：}4,2{，]2,2(.问题探究三集合间关系与含参数问题3P29子集的两个重要特征：①空集的特殊性特征：Ф⊆A即：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．②若A⊆B，则A＝Ф或AB或A＝BP30子集关系的确定在确定集合间的关系时注意以下几方面：①空集与集合自身的特殊性；Ф⊆A，A⊆A；②含参数的集合间关系问题，通过特征或结构分析将集合间关系，转化为参数所满足的方程或不等关系，然后求解方程或不等式进而得到参数的取值或取值范围；③注意子集与真子集的区别，注意区间端点或特殊的值或点。特殊的端点值通过代入进行验证，避免产生增解或漏解．P311．集合A＝{x∈N|0x4}的真子集个数为()A．3B．4C．7D．8解析：因为A＝{1,2,3}，所以其真子集的个数为23－1＝7.答案：C巩固训练知识应用-能力提升P322．已知集合A＝{0,a2+1}，B＝{0，2，a＋3}，且A⊆B，则a＝解析：∵A⊆B，∴a2＋1=2或a2＋1=a+3，若a2＋1=2解得a＝－1或a＝1；当a＝－1时，不合题意若a2＋1=a+3解得a＝－1或a＝2；当a＝－1时，不合题意.故a＝1或a＝2.P333．设P＝{y|y＝ex，x∈R}，Q＝{y|y＝－x2＋2x，x∈P}，则集合P,Q的关系为()A．P⊆QB．Q⊆PC．∁RP⊆QD．Q⊆∁RP解析：因为P＝{y|y＝ex，x∈R}＝{y|y0}，Q＝{y|y＝－x2＋2x，x∈P}＝{y|y≤1}所以∁RP＝{y|y≤0}，所以∁RP⊆Q，故选C.答案：CP344．已知集合A＝{x|4≤2x≤16}，B＝[a，b]，若A⊆B，则实数a－b的取值范围是________．解析：由已知集合A＝{x|4≤2x≤16}＝{