2019年全国高中数学联赛B卷

2019年全国高中数学联赛B卷一试一､填空题:本题共8小题,每小题8分,满分64分1.已知实数集合{1,2,3,x}的最大元素等于该集合的所有元素之和,则x的值为2.若平面向量a(2,1)m与1(21,2)mmb垂直,其中m为实数,则a模为3.设α､β∈(0,π),cosα,cosβ是方程5x2-3x-1=0的两根,则sinαsinβ的值为4.设三棱锥P-ABC满足PA=PB=3,AB=BC=CA=2,则该三棱锥的体积的最大值为5.将5个数2,0,1,9,2019按任意次序排成一行,拼成一个8位数(首位不为0),则产生的不没的8位数的个数为6.设整数n4,(21)nxy的展开式中4nx和xy两项的系数相等,则n的值为7.在平面直角坐标系中,若以(r+1,0)为圆心､r为半径的圆上存在一点(a,b)满足b2≥4a,则r的最小值是8.设等差数列{an}的各项均为整数,首项a1=2019,且对任意正整数n,总存在正整数m,使a1+a2+…+an=am.这样的数列{an}的个数为二､解答题:本大题共3小题,满分56分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤9.(本题满分16分)在椭圆Γ中,F为一个焦点,A､B为两个顶点,若|FA|=3,|FB|=2,求|AB|的所有可能值10.(本题满分20分)设a,b,c均大于1,满足lglog3lglog4baacbc求lglgac的最大值11.(本题满分20分)设复数数列{zn}满足:|z1|=1,且对任意正整数n,均有2211420nnnnzzzz,证明:对任意正整数m,均有1223||3mzzz加试一、(本题满分40分)设正实数a1,a2,…,a100满足aia101-i(i=1,2,…,50),记112(1,2,,99)kkkkaxkaaa.证明:29912991xxx二、(本题满分40分)求满足以下条件的所有正整数n:①n至少有4个正约数;②若d1d2…dk是n的所有正约数,则d2-d1,d3-d2,…,dk-dk-1构成等比数列三、(本题满分50分)如图,点A,B,C,D,E在一条直线上顺次排列,满足BCCDABDE.点P在该直线外,满足PB=PD.点K,L分别在线段PB,PD上,满足KC平分∠BKE,LC平分∠ALD.证明:A,K,L,E四点共圆(答题时请将图画在答卷纸上)四、(本题满分50分)将一个凸2019边形的每条边任意染红、黄、蓝三种颜色之一,每种颜色的边各673条.证明:可作这个凸2019边形的2016条边在内部互不相交的对角线将其剖分为2017个三角形,并将所作的每条对角线也染为红、黄、蓝三种颜色之一,使得每个三角形的三条边或者颜色分部相同,或者颜色互不相同.2019年全国高中数学联赛B卷答案一试一､填空题:本题共8小题,每小题8分,满分64分1.已知实数集合{1,2,3,x}的最大元素等于该集合的所有元素之和,则x的值为答案:-3解:条件等价于1,2,3,x中除最大数以外的另三个数之和为0,显然x0,从而1+2+x=0得x=-32.若平面向量a(2,1)m与1(21,2)mmb垂直,其中m为实数,则a模为答案:10解:令2mt,则t0,条件等价于t(t-1)+(-1)·2t=0,解得t=33.设α､β∈(0,π),cosα,cosβ是方程5x2-3x-1=0的两根,则sinαsinβ的值为答案:75解:由条件知cosα+cosβ=35,cosαcosβ=15,从而(sinαsinβ)2=(1-cos2α)(1-cos2β)=1-cos2α-cos2β+cos2α·cos2β=(1+cosα·cosβ)2-(cosα-cosβ)2=2243755254.设三棱锥P-ABC满足PA=PB=3,AB=BC=CA=2,则该三棱锥的体积的最大值为答案:263解:设三棱锥P-ABC的高为h.取M为棱AB的中点,则223122hPM.当平面PAB垂直于平面ABC时,h取到最大值22.此时三棱锥P-ABC的体积取到最大值112622322333ABCS5.将5个数2,0,1,9,2019按任意次序排成一行,拼成一个8位数(首位不为0),则产生的不没的8位数的个数为答案:95解:易知2,0,1,9,2019的所有不以0为开头的排列共有4×4!=96个,其中除了(2,0,1,9,2019)和(2019,2,0,1,9)表示同一个数20192019外,其余的数互不相等,因此满足条件的8位数的个数为96-1=95个6.设整数n4,(21)nxy的展开式中4nx和xy两项的系数相等,则n的值为答案:51.解:注意到0(21)(21)nnrnrrnrxyCxy其中4nx项系数为44(1)(2)(3)(1)24nnnnnC而xy项仅出现在求和指标r=4时的展开式11(21)nnnCxy中,其xy项系数为123314(1)(1)2(1)(2)nnnnnCCnnn因此有3(1)(2)(3)(1)2(1)(2)24nnnnnnnn注意到n4化简得n-3=(-1)n-348,故只能是n为奇数且n-3=48,即n=517.在平面直角坐标系中,若以(r+1,0)为圆心､r为半径的圆上存在一点(a,b)满足b2≥4a,则r的最小值是答案:4解:由条件知(a-r-1)2+b2=r2,故4a≤b2=r2-(a-r-1)2,即a2-2(r-1)a+2r+1≤0.上述关于a的一元二次不等式有解,故判别式(2(r-1))2-4(2r+1)=4r(r-4)≥0,解得r≥4.经检验,当r=4,(a,b)=(3,23)满足条件,因此r的最小值为48.设等差数列{an}的各项均为整数,首项a1=2019,且对任意正整数n,总存在正整数m,使a1+a2+…+an=am.这样的数列{an}的个数为答案:5解:设{an}的公差为d,由条件知a1+a2=ak(k为某个整数),则2a1+d=a1+(k-1)d,即(k-2)d=a1,因此必有k≠2,且12adk,这样就有1111(1)2nnaandaak,而此时对任意正整数n,121111(1)(1)(1)(1)(1)2222nnndnndnndaaaananaankd确实为{an}中的一项.因此,仅需考虑使k-2|a1成立的正整数k的个数.注意到2019为两个系数3和673之积,易知k-2可取-1,1,3,673,2019这五个值,对应得到5个满足条件的等差数列.二､解答题:本大题共3小题,满分56分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤9.(本题满分16分)在椭圆Γ中,F为一个焦点,A､B为两个顶点,若|FA|=3,|FB|=2,求|AB|的所有可能值解：不妨设平面直角坐标系中椭圆Γ的标准方程为22221xyab(ab0),并记22cab.由对称性,可设F为Γ的右个点.易知F到Γ的左顶点的距离为a+c,到右顶点的距离为a-c,到上、下距离均为a,分以与情况讨论:(1)A,B分别为左、右顶点,此时a+c=3,a-c=2,故|AB|=2a=5(相应地,b2=(a+c)(a-c)=6,所以椭圆的方程为2241256xy)……………………4分(2)A为左顶点,B为上顶点或下顶点,此时a+c=3,a=2故c=1,进而b2=a2-c2=3,所以|AB|=227ab(相应地,椭圆的方程为22143xy)……………………8分(3)A为上顶点或下顶点,B为右顶点,此时a=3,a-c=2,故c=1,进而b2=a2-c2=8,所以|AB|=2217ab(相应地,椭圆的方程为22198xy)……………………12分综上可知,|AB|的所有可能值为5,7,1710.(本题满分20分)设a,b,c均大于1,满足lglog3lglog4baacbc求lglgac的最大值解:设lg,lg,lgaxbycz,由a,b,c1可知x,y,z0.由条件及换底公式知3,4zzxyyx即xy+z=3y=4x……………………5分由此,令x=3t,y=4t(t0).则z=4x-xy=12t-12t2.其中由z0可知t∈(0,1]……………………10分因此,结合三元均值不等式得332(12)316lglg312(1)18(22)1818323tttacxzttttt.当t=2-2t即23t(相应的a,b,c分别为100,883310,10)时,lga·lgc取到最大值163……………………20分11.(本题满分20分)设复数数列{zn}满足:|z1|=1,且对任意正整数n,均有2211420nnnnzzzz,证明:对任意正整数m,均有1223||3mzzz证明:归纳地可知zn≠0(n∈N*).由条件得2*114210()nnnnzznNzz.解得*113()4nnzinNz.……………………5分因此1|||13|1||42nnziz,故*11111|z|=|z|()22nnnnN①进而有*1111333||||1|||()422nnnnnnnzizzznNz②……………………10分当m为偶数时,设m=2s(s∈N*),利用②可得1221221221111323||||||32smkkkkkkkkzzzzzzz……………………15分当m为奇数时,设m=2s+1(s∈N*),由①、②可知212122212111133||||2322skksskkskszzz,故122122121221111323||||||||32smkkskkkkkkzzzzzzzz综上,结论获证.……………………20分加试一、(本题满分40分)设正实数a1,a2,…,a100满足aia101-i(i=1,2,…,50),记112(1,2,,99)kkkkaxkaaa.证明:29912991xxx证明:注意到a1,a2,…,a1000.对k=1,2,…,99,由平均值不等式知121210kkkkaaaaaa,……………………10分从而有9999299112991111212kkkkkkkkkakxxxaaaaaaa①……………………20分记①的右端为T,则对任意i=1,2,…,100,ai在T的分子中的次数为i-1.在T的分母中的次数为100-i次,从而10121005050210121012(101)101101101111iiiiiiiiiiiiaTaaaa……………………30分又0a101-i≤ai(i=1,2,…,50.)故T≤1,结合①得29912991xxx……………………40分二、(本题满分40分)求满足以下条件的所有正整数n:①n至少有4个正约数;②若d1d2…dk是n的所有正约数,则d2-d1,d3-d2,…,dk-dk-1构成等比数列解:由条件可知k≥4,且3212112kkkkdddddddd……………………10分易知d1=1,dn=n,12dknd,23kndd,代入上式得3222123nndddnndddd化简得(d3-d2)2=(d2-1)2d3……………………20分由此可知d3是完全平方数,由于d2=p是n的最小素因子.d3是平方数,故只能d3=p2……………………30分从而序